МУ до ПЗ КЛ 2012 укр вер 2 семестр (2)

20

Таблиця 2.3

Таблиця 2.4.

Викладені методи взаємної трансформації автоматів Мілі і Мура показують, що при переході від автомата Мура до автомата Мілі число станів автомата не змінюється, тоді як при зворотному переході число станів в автоматі Мура, як правило, зростає.

Задача 1.

Перетворити автомата Мура, заданий графом (рис. 2.2) в еквівалентний йому автомат Мілі.

Рис. 2.2 Граф автомата Мура

Рішення

При цьому виді перетворення сигнал yg, записаний поруч з вершиною aS переноситься на всі дуги, що входять на цю вершину.

А це означає, що граф автомата Мілі, еквівалентний графу автомата Мура по рис. 2.2 буде виглядати наступним чином (див. рис. 2.3)

21

Рис. 2.3 Граф автомата Мілі

Щоб переконатися в еквівалентності перетворень знайдемо реакцію обох автоматів на довільне вхідне слово, наприклад слово X= x1 x2 x1 x2 x2 x1 x1. Реакція автомата Мура (див. рис.2.2) на вхідне слово Х:

Реакція еквівалентного автомата Мілі (див. рис.2.3) на вхідне слово Х:

Без урахування реакції автомата Мура в початковому стані а1/у2, так як вона не залежить від х1 в початковий момент часу, а визначається лише станом автомата в початковий момент часу (а1), реакції автомата Мура та автомата Мілі є однаковими, а, значить, автомати еквівалентні.

Задача 2.

По графу автомата Мілі (см. рис. 2.3) скласти матрицю з’єднань.

Рішення

22

Задача 3.

Використовуючи граф автомата Мілі (рис. 2.3) і матрицю з'єднань (зад. 2) скласти таблиці переходів і виходів, а також зазначену таблицю переходів.

Рішення

Нехай автомат Мілі заданий зазначеною таблицею переходів (див. табл. 2.5)

Потрібно побудувати еквівалентний йому автомат Мура.

Рішення

Поставимо у відповідність кожній парі ai/xk стан bik (i-номер стану, k- номер вхідного сигналу), з урахуванням b0 (див. табл. 2.6).

Таблица 2.6

XA b0

23

Складемо таблицю переходів автомата Мура, керуючись наступними правилами:

1) Випишемо з таблиці 2.6 стани автомата Мілі і відповідні кожному з них

2)Якщо стан автомата Мура bik входить в множину ар автомата Мілі, то в стовпчик таблиці переходів автомата Мура для стану bik слід записати стовпчик з таблиці переходів автомата Мілі, який відповідає стану ар (з табл. 2.6).

3)Функцію виходів автомата Мура визначимо наступним чином λВ=(bik)=λA(ai,xk). Для початкового стану b0 значення вихідного сигналу можна вибрати довільно, але породжуваний початковим станом а0 (з урахуванням поняття еквівалентності стану).

Результуюча таблиця переходів і виходів автомата Мура еквівалентного автомату Мілі, заданому в табл. 2.6, представлена в табл. 2.7.

4) Знайдемо в табл. 2.7 еквівалентні стани і видалимо їх (замінимо на представника класів еквівалентності).

Якщо вихідний сигнал біля b0 довизначити y1, то виявиться, що в даній таблиці переходів знаходиться три еквівалентних стани: b0 ≡ b02 ≡ b11. Замінивши клас еквівалентності одним представником (b0), отримаємо остаточну зазначену таблицю переходів автомата Мура (табл. 2.8). При цьому стовпці, що відповідають еквівалентним станам (b02 і b11) видаляємо з таблиці, а в інших стовпцях замінюємо їх представником класу еквівалентності, тобто b0.

26

3 МІНІМІЗАЦІЯ ЧИСЛА ВНУТРІШНІХ СТАНІВ АВТОМАТА (АЛГОРИТМ АУФЕНКАМПА-ХОНА).

3.1 Мета заняття

Вивчити поняття еквівалентних станів абстрактного автомата. Засвоїти суть метода мінімізації числа внутрішніх станів абстрактного автомата Мілі і Мура з використанням алгоритму Ауфенкампа-Хона та набути практичних навичок шляхом вирішення типових задач.

3.2 Короткі основні відомості з теорії та вирішення типових завдань

Мінімізація числа внутрішніх станів автомата.

Алгоритм Ауфенкампа-Хона.

Основна ідея цього методу полягає в розбитті станів вихідного абстрактного автомата на класи еквівалентних станів, які попарно не перетинаються, і заміні кожного класу еквівалентності одним станом - представником даного класу.

Два стани автомата аm і as називаються еквівалентними (аm ≡ as), якщо λ(аm,X) = λ(as,X) для всіх можливих вхідних слів довжини X.

Якщо аm і as не еквівалентні, вони різні. Більш слабкою еквівалентністю є k -еквівалентність. Стани аm і as k-еквівалентні, якщо λ (аm, Xk) = λ (as, Xk) для всіх можливих вхідних слів довжини k.

При мінімізації числа внутрішніх станів автомата Мілі S ={X, Y, A, λ, δ, a0} використовується алгоритм Ауфенкампа-Хона:

1. Знаходять послідовні розбиття π1, π2, ..., πk, πk+1, множини А на класи одно-, дво-, ..., k-, (k+1)-еквівалентних станів до тих пір, поки на якомусь (k +1) кроці не виявиться, що πk = πk+1. У цьому випадку k-еквівалентні стани є еквівалентними. Число кроків k, при якому πk = πк+1, не перевищує N-1, де N- число внутрішніх станів автомата.

27

2.У кожному класі еквівалентності π вибирають по одному елементу (представнику класу), які утворюють множини А' станів мінімального автомата

S'.

3.Функцію переходів δ' і виходів λ' автомата S' визначають на множині А'xX. Для цього в таблиці переходів і виходів викреслюють стовпці станів, які не увійшли до множини А', а в решті стовпців таблиці переходів всі стани замінюються на еквівалентні з множини А', (на представників).

4.В якості а'0 вибирається один зі станів, еквівалентних стану а0. Зокрема, зручно прийняти сам стан а0.

При мінімізації автомата Мура вводиться поняття 0-еквівалентності станів

ірозбиття множини станів на 0-класи: 0-еквівалентними називаються будь-які, однаково зазначені вихідними сигналами, стани автомата Мура.

Задача 1.

Мінімізувати число внутрішніх станів автомата Мура, заданого таблицею переходів і виходів (Таблиця 3.1.), використовуючи алгоритм АуфенкампаХона.

Таблиця 3.1

Виконаємо розбиття π1:

π1={С1,С2,С3,С4}; С1={а1, а2, а8}, С2={а6, а9, а11,}, С3={ а10, а12}, С3={а3, а4, а5, а7}.

28

Задача 2.

Мінімізувати число внутрішніх станів автомата Мілі, заданого таблицею переходів і виходів (Таблиця 3.2.), використовуючи алгоритм АуфенкампаХона.

Виконаємо розбиття π1:

π0={В1, В2, В3, В4, В5}; В1={а0, а6}, В2={а1, а5}, В3={а2, а7},. В4={а3}, В5={а4, а8}.

Побудуємо таблицю розбиття π1: