МВ до викон. інд. завдання (укр)
.pdf31
Закон нормального розподілу виражається рівнянням:
= ( ) = |
1 |
∙ − |
( − )2 |
|
||
2∙2 , |
(4.13) |
|||||
|
|
|||||
∙√2∙ |
||||||
|
|
|
|
|||
де – щільність імовірності відхилення випадкової величини (розміру) від середнього значення ;
– значення випадкової величини;
– середнє значення випадкової величини;
– середньоквадратичне відхилення.
Похибка замикаючої ланки є випадковою величиною, що є сумою випадкових похибок складових ланок. Похибка замикаючої ланки буде підкорятися закону нормального розподілу тем точніше, чим більше число складових ланок у розмірному ланцюзі.
При виконанні технологічних розмірних розрахунків в якості параметрівй кривої Гаусса використовують їхні статистичні значення, отримані при вимірюванні розмірів партії деталей (див. розділ 2):
|
∑ |
|
|
∙ |
|
|
|
||
= |
=1 |
|
|
, |
|
(4.14) |
|||
|
|
∑ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∑ |
( |
− )2∙ |
|
||||
= √ |
|
=1 |
|
|
, |
(4.15) |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
∑ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де – частота появи розміру зі значенням .
Для практичних цілей зручніше використовувати рівняння кривої Гаусса (4.13) в центрованому виді:
= ( ) = |
1 |
∙ − |
2 |
|
|||
2∙2 |
. |
(4.16) |
|||||
|
|
||||||
∙√2∙ |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
Параметр є мірою розсіювання випадкової величини . З видаленням значень від ймовірність їх появи зменшується й стає настільки мала, що
32
для практичних розрахунків поле розсіювання випадкової величини діапазон значень приймають рівним
= 2 ∙ ∙ , |
(4.17) |
де = – нормований параметр розподілу.
При значеннях −3 < < +3 приблизно 99,73% значень перебуває в межах поля розсіювання, рівного = 6, і тільки 0,27% значень виходить за його межі. Цей відсоток настільки малий, що значеннями , що виходять за межі = 6, можна знехтувати й уважати, що всі значення будуть лежати в межах поля розсіювання.
З теорії ймовірностей відомо, що дисперсія суми випадкових доданків дорівнює сумі дисперсій цих доданків, тобто дисперсію похибок розміру замикаючої ланки можна визначити як
2 |
= ∑ |
2 |
, |
(4.18) |
∆ |
=1 |
|
|
|
де ∆ – середнє квадратичне відхилення розміру замикаючої ланки;– середні квадратичні відхилення розмірів складових ланок.
Для запобігання браку поле розсіювання розміру повинне перебувати в межах його допуску, тобто
= 2 ∙ ∙ ≤ , |
(4.19) |
де – допуск розміру.
Звідси для замикаючої ланки:
|
= |
∆ |
, |
(4.20) |
|
||||
∆ |
|
2∙∆ |
|
|
|
|
|
||
Для складових ланок:
33
|
|
|
|
|
= |
|
, |
(4.21) |
|
2∙ |
||||
|
|
|
||
|
|
|
|
Підставляючи вирази (4.20) і (4.21) в (4.18), одержимо:
|
|
∆ |
2 |
= ∑ |
|
|
2 |
|
|
( |
|
) |
( |
|
|
) , |
(4.22) |
||
2∙ |
2∙ |
|
|||||||
|
|
=1 |
|
|
|
||||
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
||
Звідси
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∆ = √(2 ∙ ∆)2 ∙ ∑=1 |
|
|
2 |
= ∆ ∙ √∑=1 |
|
|
2 |
|
|||||
( |
|
) |
|
( |
|
|
) , |
(4.23) |
|||||
2∙ |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для того, щоб урахувати при розрахунках похибок замикаючої ланки будь-який закон розподілу складових ланок, уводять коефіцієнти, що характеризують ступінь відмінності закону розподілу похибок i-тої ланки від закону Гаусса:
′ |
|
|
2∙ |
2 |
|
1 |
|
||
|
= ( |
|
|
) |
= |
|
|
, |
|
|
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
6∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коефіцієнти мають між собою співвідношення
′ = 22.
З урахуванням (4.24) і (4.26) вираження (4.23) прийме вигляд
= ∙ √∑ |
|
∙ 2. |
|
∆ ∆ |
=1 |
|
|
(4.24)
(4.25)
(4.26)
(4.27)
34
Рівняння (4.27) є основним для розрахунку допусків розмірних ланцюгів по імовірнісному методу.
Значення коефіцієнтів ′ і приймають по таблицях 4 .
При розрахунках по імовірнісному методу визначають номінал замикаючої ланки, величину допуску замикаючої ланки й координату середини поля допуску замикаючої ланки.
4.4.Приклад розрахунку
Рис. 4.1. Ескіз деталі до розрахунку
Визначити величину припуску Z на чистову обробку торця деталі. Технологічний процес обробки деталі:
чорнова токарська обробка поверхонь 1 і 2;
чорнова й чистова обробка поверхні 3;
чистова токарська обробка поверхонь 1 і 2.
Розміри деталі після чорнової обробки – А1 і А2, після чистової – А3 і
А4.
Розміри в мм:
1 = 26−0.28; 2 = 35−0.34; 3 = 25−0.14; 4 = 35−0.17.
35
Величина припуску не зазначена на операційних ескізах, тому що при обробці цю величину безпосередньо не витримують. Виходячи з поставленого в прикладі завдання, розмір припуску Z буде замикаючою ланкою технологічного розмірного ланцюга.
Визначимо величину припуску Z методом повної взаємозамінності. Переконаємося, що розв’язання задачі кожним їх чотирьох способів цього методу дає однакові результати.
Номінальну величину замикаючого розміру визначимо за рівнянням
розмірного ланцюга (4.2): |
|
= ( 1 + 2) − ( 3 + 4), |
(4.28) |
де А1 і А2 – складові розміри, що збільшують; А3 і А4 – складові розміри, що зменшують.
= (26 + 35) − (25 + 35) = 1 [мм].
Величину допуску замикаючого розміру визначимо за рівнянням (4.3):
= 0.28 + 0.34 + 0.14 + 0.17 = 0.93 [мм].
Спосіб координат допусків.
Координату середини поля допуску замикаючого розміру визначимо за рівнянням (4.4):
∆0 = ( |
0.28 |
+ |
0.34 |
) − ( |
0.14 |
+ |
0.17 |
) = −0.155 [мм]. |
|
2 |
|
2 |
|||||
2 |
|
2 |
|
|
||||
Верхнє й нижнє відхилення замикаючого розміру визначимо за рівнянням (4.5):
∆В = −0.155 + |
0.93 |
= 0.31 [мм]. |
|
2 |
|||
|
|
36
∆Н = −0.155 − |
0.93 |
= −0.62 [мм]. |
|
2 |
|||
|
|
Спосіб граничних значень.
Визначимо граничні значення складових розмірів:
1 = 26 [мм]; |
1 = 25.72 [мм]; |
2 = 35 [мм]; |
2 = 34.66 [мм]; |
3 = 25 [мм]; |
3 = 24.86 [мм]; |
4 = 35 [мм]; |
4 = 34.83 [мм]. |
Граничні значення замикаючого розміру визначимо за рівнянням (4.6):
= (26 + 35) − (24.86 + 34.83) = 1.31 [мм];
= (25.72 + 34.66) − (25 + 35) = 0.38 [мм].
Величину допуску замикаючого розміру визначимо за рівнянням (4.7):
= 1.31 − 0.38 = 0.93 [мм].
Спосіб граничних відхилень.
Верхнє й нижнє відхилення замикаючого розміру визначимо за рівнянням (4.10):
∆В = (0 + 0) − (−0.14 − 0.17) = 0.31 [мм].
∆Н = (−0.28 − 0.34) − (0 + 0) = −0.62 [мм].
37
Номінал замикаючого розміру обчислюється за рівнянням розмірного ланцюга (4.28).
Спосіб середніх значень.
Представимо значення складових розмірів через їхні середні значення:
1 = 25.86 ± 0.14 [мм];2 = 34.83 ± 0.17 [мм];3 = 24.93 ± 0.07 [мм];4 = 34.915 ± 0.085 [мм].
Середнє значення замикаючого розміру визначимо за рівнянням (4.11):
сер = (25.86 + 34.86) − (25.93 + 34.915) = 0.845 [мм].
Значення замикаючого розміру за рівнянням (4.12):
= 0.845 ± 0.465 [мм].
Зрівнявши результати обчислень, отримані різними способами, переконуємося, що вони збігаються.
Визначимо величину припуску Z імовірнісним методом. Номінал замикаючого розміру був обчислений раніше (4.28):
= 1 [мм].
Для визначення величини допуску, координати середини поля допуску, верхнього й нижнього відхилень використовуємо методику, наведену в п.4.3. По табл. Г2 для досить налагодженого технологічного процесу приймемо
значення коефіцієнтів = 1.22; ′ = 16 ; ∆ = 2.86 (для числа складових ланок у розмірному ланцюзі + = 4).
Допуск замикаючої ланки за рівнянням (4.27):
38
1∆ = 2.86 ∙ √6 ∙ (0.342 + 0.282 + 0.142 + 0.172) = 0.57 [мм].
Координата середини поля допуску була обчислена раніше по способу повної взаємозамінності:
∆0 = −0.155 [мм].
Обчислюємо верхнє й нижнє граничні відхилення замикаючого розміру за рівнянням (4.10):
∆В = −0.155 + |
0.57 |
= 0.13 [мм]. |
||
|
||||
|
|
2 |
|
|
∆Н = −0.155 − |
0.67 |
= −0.44 [мм]. |
||
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
Таким чином, по імовірнісному методу = 1.0+0−0..1344 [мм].
Порівнюючи отриманий результат з розрахунками по методу повної взаємозамінності, помітимо, що величина поля допуску замикаючого розміру по імовірнісному методу вийшла менше. Розрахунок допусків по методу повної взаємозамінності дає завищені результати, що приводить до збільшення вартості обробки.
4.5.Контрольні питання
1.Що називається розмірним ланцюгом?
2.Початкова і замикаюча ланка.
3.Складові ланки.
4.Рівняння розмірного ланцюга.
5.Допуск замикаючого розміру.
6.Методи розрахунку розмірних ланцюгів.
7.Метод повної взаємозамінності.
8.Способи розрахунку по методу повної взаємозамінності.
9.Імовірнісний метод.
ДОДАТОК А
Рис. А1. Робоче креслення до завдання
ДОДАТОК Б
Таблиця Б1 – Варіанти завдань до розрахунку точності механічної обробки деталей
№ розмірної |
Інтервали розмірів, Di, мм |
Кількість деталей |
|
групи |
|
|
у групі, mi, шт |
Варіант № 1 |
|
|
|
1 |
26,005 |
… 26,015 |
3 |
2 |
26,015 |
… 26,025 |
5 |
3 |
26,025 |
… 26,035 |
9 |
4 |
26,035 |
… 26,045 |
14 |
5 |
26,045 |
… 26,055 |
16 |
6 |
26,055 |
… 26,065 |
19 |
7 |
26,065 |
… 26,075 |
15 |
8 |
26,075 |
… 26,085 |
10 |
9 |
26,085 |
… 26,095 |
6 |
10 |
26,095 |
… 26,105 |
3 |
Розмір, що контролюється: |
|
26−0,02+0,08 |
|
|
|
|
|
Варіант № 2 |
|
|
|
1 |
34,800 |
… 34,825 |
3 |
2 |
34,825 |
… 34,850 |
5 |
3 |
34,850 |
… 34,875 |
9 |
4 |
34,875 |
… 34,900 |
14 |
5 |
34,900 |
… 34,925 |
17 |
6 |
34,925 |
… 34,950 |
18 |
7 |
34,950 |
… 34,975 |
15 |
8 |
34,975 |
… 35,000 |
10 |
9 |
35,000 |
… 35,025 |
6 |
10 |
35,025 |
… 35,050 |
3 |
Розмір, що контролюється: |
|
35−0,016+0,0 |
|
|
|
|
|
Варіант № 3 |
|
|
|
1 |
99,973 |
… 99,977 |
3 |
2 |
99,977 |
… 99,981 |
6 |
3 |
99,981 |
… 99,985 |
10 |
4 |
99,985 |
… 99,989 |
14 |
5 |
99,989 |
… 99,993 |
19 |
6 |
99,993 |
… 99,997 |
17 |
7 |
99,997 |
… 100,001 |
13 |
8 |
100,001 |
… 100,005 |
10 |
9 |
100,005 |
… 100,009 |
6 |
10 |
100,009 |
… 100,013 |
2 |