Методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений

На практике часто приходится решать уравнения вида f(х)=0, где f(x) определена и непрерывна на некотором конечном или бесконечном интервале (a;b). Если функция f(x) представляет собой многочлен, то уравнение называется алгебраическим, если же в функцию f(x) входят элементарные (тригонометрические, логарифмические, показательные и др.) функции, то такие уравнения называются трансцендентными.

Всякое значение x^*, обращающее функцию в 0, т.е. такое, что f(x^*)=0, называется корнем уравнения.

Найти корни уравнения точно удается лишь в частных случаях. Кроме того, часто уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Поэтому разработаны методы численного решения уравнений f(x)=0, которые позволяют отыскать приближенные значения корней этого уравнения. При этом приходится решать 2 задачи:

• Отделение корней, т.е. отыскание достаточно малых областей, в каждой из которых находится только один корень уравнения.

• Вычисление корней с заданной точностью.

При выделении областей, содержащих действительные корни уравнения f(x), можно воспользоваться тем, что если на концах некоторого отрезка непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков, то на этом отрезке уравнение f(x)=0 имеет хотя бы один корень. Отделение корней можно выполнять графически и аналитически.

Аналитический способ отделения корней:

1) находим производную f'(x);

2) составляем таблицу знаков функции f(x), полагая x равным: критическим точкам функции или близким к ним; граничным значениям, исходя из области допустимых значений неизвестного;

3) определяем интервалы, на концах которых функция принимает значения противоположных знаков; внутри этих интервалов содержится по одному корню.

Графически корни можно отделять двумя способами:

1) строится график функции y=f(x), абсциссы точек пересечения которого с осью Ox являются приближенными корнями уравнения f(x)=0;

2) уравнение y=f(x) записывается в эквивалентном виде (x)=(x), так, чтобы графики функций (x), (x) строились проще; абсциссы точек пересечения этих графиков тоже являются приближенными корнями уравнения f(x)=0.

Метод итераций

Уравнение f(x)=0 представляем в виде x=(x). Выбираем на отрезке [a,b] произвольную точку x₀ в качестве начального приближения и строим последовательность: x₁=(x₀), x₂=(x₁), ..., x_n=(x_n-1). Процесс последовательного вычисления чисел x_n (n=1,2,3,...) называется методом итераций.

Если на отрезке [a,b] выполнено условие |'(x)|≤q<1, то процесс итераций сходится, т.е. увеличивая n, можно получить приближение, сколь угодно мало отличающееся от истинного значения корня уравнения.

Процесс итераций продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие |x_n-x_n-1|, где  — заданная точность вычислений. Если q≤0.5, то для прекращения процесса итераций можно пользоваться более простым соотношением |x_n-x_n-1|.

Геометрическая интерпретация метода итераций:

Пример: Методом итераций найти корень уравнения f(x)=arcsin(2x+1)-x²=0 расположенный на отрезке [-0.5,0] c точностью ε=10^-4.

Уравнение преобразуем к виду y=(x) следующим образом:

arcsin(2x+1)=x², sin(arcsin(2x+1))=sin(x²), 2x+1=sin(x²), x=0.5(sin(x²)-1).

Значит (x)= 0.5(sin(x²)-1), ^’(x)=xcos(x²), |^’(x)|=|xcos(x²)|≤0.5 для x[-0.5,0]. Метод итераций сходится.

Замечание: на каждом этапе необходимо помнить лишь два соседних приближения, поэтому приближение x_n обозначим через x, а приближение x_n+1 через y.

Program Iter; {метод итераций}

Uses Crt;

Const eps=0.0001;

Var

fx,x,y,delta :Real;

n :Integer;

Function Fi(z:Real):Real;

Begin

Fi:=0.5*(sin(z*z)-1)

End;

Function F(z:Real):Real;

Begin

F:=2*z+1-sin(z*z);

End;

Begin

Clrscr;

Write('Введите начальное приближениеx=');

ReadLn (x);

n:=0;

Repeat

y:=Fi(x);

delta:=abs(y-x);

n:=n+1;

x:=y;

Until delta<eps;

WriteLn('Корень уравнения x=',x:8:4);

WriteLn('Проверка  f(',x:8:4,')=',f(x):8:5);

WriteLn('Количество итераций n=',n);

Repeat Until KeyPressed;

End.