ФАН - конспект лекций
.pdff [a, b] & & [a, b]
f '# @ f (a) f (x) f (b)
! C AC = {x|f (x) < C} % f %
4 & '# * @
8 @ %
x0 [a, b] xn → x0 & xn < x0 9 {f (xn)} & + f (a)
f (b) 5 ' & & ' * * %
& & f 9 f (x0 −0) 4 & f (x0 +0)
, 8 % & * @ & & |
1 |
f [a, b] |f (b) − |
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! * ' & & & |
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− f (a)| n & & & " & |
n & 5 n = |
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= 1, 2, ... & & # & & & & |
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[a, b] & & & & x1, . . . , xn |
, . . . * |
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& & hn > f [a, b] f (x) = |
hn f (x) |
xn<x
& '# xn
* * & & hn
?! / ' ' ' @ ' *
* @ @ & |
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f % '# @ x1, x2, . . . % & h1, h2, . . . |
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& & H(x) = xn<x hn |
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+ϕ = f − H '# @ |
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(x ) |
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H(x )) x < x |
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ϕ(x ) − ϕ(x ) = (f (x ) − f (x )) − (H |
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ϕ % '# |
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ϕ(x − 0) = f (x − 0) − H(x − 0) = f (x − 0) − |
xn<x |
hn |
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ϕ(x + 0) = f (x + 0) |
− |
H(x + 0) = f (x + 0) |
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h |
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− xn<x |
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n |
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− |
x |
− |
0) |
h = 0 h & @ H x > ' |
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ϕ(x + 0) ϕ(x 0) = f (x + 0) f ( |
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f, H ϕ |
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|
:! 2! // , " /, 3 / @
[a, b] & ' & ' ' [a, b]
5 ( 7 A O
x
( f [a, b] f (t) dµ ' [a, b]
a
% x f (t) dµ @
a
7 f [a, b] % % & & |
|
Vab[f ] = sup k=1 |f (xk ) − f (xk−1)| < +∞ & [a, b] |
|
n |
|
a = x0 < x1 < . . . < xn = b |
|
V b[f ] $ f [a, b] |
|
a |
|
/ & & R '# . VR[f ] = lim |
V b[f ] |
b→+∞ |
a |
a→−∞
! 7 f & ' ' f = g − α g, α '#
@
( 7 & * ' & ' & ' ' |
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5 9 |
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x |
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( |
f (t) dµ ' * * [a, b] @ f & ' ' |
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a |
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5 9 |
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: ; ( /, " |
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! f [a, b] |
d |
x f (t) dt |
. . |
f (x) [a, b] |
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dx |
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|
a
7 f [a, b] & [a, b] ε > 0 δ >
> 0 : & * '# (ak , bk ), k = 1, n [a, b] * *
< δ % n |f (bk ) − f (ak )| < ε
k=1
f ' [a, b] [a, b]
ε > 0 δ > 0 : x , x [a, b] : |x − x | < δ |f (x ) − f (x )| < ε + (x , x )
>
7 [0, 1] ' % (
f (x) = 2k−1 , k = 1, 2n−1 k% n% % [0, 1] + %
2n
' 9 f (x) = 12 , x [ 13 , 23 ] f (x) = 14 , x [ 19 , 29 ] f (x) = 34 , x [ 79 , 89 ]
! @ ' " & '# * + '# * %
# & & @ * *
[0, 1]
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f |
' * @ |
F |
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[a, b] |
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x |
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! |
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x |
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[a, b] |
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+= |
% |
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[a, b] |
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f (t) dµ(t) = F (x) − F (a) |
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a
.
X = ' X ρ : X × X → R *
(x, y) X × X * & & ' .
1)ρ(x, y) = 0 x = y
2)ρ(x, y) = ρ(y, x) x, y X
3)ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z, y) x, y, z X
& % , ρ(x, y) 0 x, y X ! * , ρ(x, x) ρ(x, y) + ρ(x, y)
0 2ρ(x, y) ρ(x, y) 0
X = * * %
A X ρA(x, y) = ρ(x, y) x, y A (A, ρA) %
(X, ρ)
|
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X = R, ρ(x, y) = |x − y| |
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n |
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X = Rn, ρ(x, y) = i=1(xi − yi)2 |
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p, q |
R : 1 < p < ∞, |
1 |
+ |
1 |
= 1 |
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a, b R |
: a, b 0 |
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# |
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p |
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q |
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p |
q |
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ab ap |
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+ bq |
+ |
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0 < α < 1 ϕ(x) = xα − αx, 0 < x < +∞; ϕ (x) = αxα−1 − α = α(xα−1 − 1), ϕ (x) > 0 0 < x < 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x > 1 ϕ < 0 |
|
x = 1 ϕ(x) < ϕ(1), x |
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(0, |
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) |
1 |
} |
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ϕ(1) = 1 |
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∞a \{ |
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aα |
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a |
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− |
α |
xα |
αx + 1 |
− |
α, 0 < x < + |
∞ |
x = |
|
a, b = 0 |
|
|
α |
|
+ 1 |
− |
α |
|
aαb1−α |
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|
α |
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1 |
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1 |
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b |
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b |
|
b |
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||||||||||
αa1+ (11− α)b. α = p |
p > 1 0 < p |
< 1 |
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p |
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1−p |
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a |
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1 |
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a 1 b |
1 |
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p + (1 − p )b |
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1 |
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|
a p b q |
ap + qb |
|
2 % % + (a = (a p )p) P QRD % + & |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
#1 |
|
= ($ 1 |
p, q R 1 < p < +∞, |
p1 + q1 = 1 a, b Rn |
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n |
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p |
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n |
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q |
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k=1 |ak bk| |
k=1 |ak |p |
k=1 |bk|q |
+ |
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n |
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K & + * . + |
a, b R |
λa |
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µb |
λ, µ R. |
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n |
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|ak |p = |
n |
|bk|q = 1 +, |
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=1 |
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|
n |
1 |
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1 |
, µ = |
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1 |
1 |
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k |
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k |
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|p p |
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n |
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q |
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k=1 |ak |
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k=1 |bk |q |
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+, % + n |ak bk| 1 +? ! +? +, /
% . |
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k=1 |
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n |
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|
p |
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|
q |
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|
n |
|
|
|
|
n |
|
| |
|
p| |
+ |
| |
q| |
|
n |
|
|ak|p + q |
n |
|bk|q = p |
+ q |
= 1 |
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||||||||
|
k=1 |akbk | k=1 |
|
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|
= p k=1 |
k=1 |
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ak |
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bk |
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1 |
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1 |
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1 |
1 |
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||
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|
|
#1 |
.1 |
1 p R. 1 p |
+∞ |
a, b |
R |
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
k=1 |ak + bk|p |
|
|
|
k=1 |ak |p |
|
+ k=1 |
|bk |p |
|
+: |
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1 |
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|
n |
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p |
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|
|
n |
|
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|
|
p |
|
n |
|
|
|
p |
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|
|
n |
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n |
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q |
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q |
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n |
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q |
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n |
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n |
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n |
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n |
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p |
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n |
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|
|
|
q |
||||
|
k=1 (|ak + bk |)p = k=1 (|ak | + |bk |)p−1 |
|ak |+k=1 (|ak | + |bk |)p−1 |bk | |
k=1 |ak |p |
k=1 |
|
(|ak | + |bk |)p−1 |
|
|
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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1 |
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1 |
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|
1 |
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|||||||||||
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1 |
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n |
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1 |
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n |
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1 |
k=1 |ak |p |
|
1 |
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1 |
= |
|
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|||
+ |
k=1 |bk |p |
p |
|
|
|
|
|
(|ak| + |bk|)p−1 |
|
q |
= |
|
(|ak | + |bk |)p−1 |
|
|
q |
|
p |
+ |
|
k=1 |bk |p |
p |
|
|
|
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||||||||||||||||||
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
k=1 |
|
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|||||||||||||||||||||||||
= |
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|bk|p |
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n |
(|ak | + |
|bk|)p |
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q |
n |
|an|p p + |
|
n |
p |
|
|
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k=1 |
|
k=1 |
k=1 |
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|
k=1 (|ak | + |bk |) |
|
|
k=1 |
|ak |p |
|
|
+ k=1 |
|||||||||
p + q = 1 q = p−1 & (p − 1)q = p . |
|
1 |
1 |
|||||||||||||||||||
/ % % % |
|
|
|
|
|
|
|
1−q |
|
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||||||
1 1 |
|
p |
|
|
|
|
n |
|
|
p |
|
|
n |
|
|
|
p |
|
n |
|||
% 8 |
a = x − z = (x1 |
− z1 |
|
. . , x |
n − |
z |
), b = z |
− |
y = (z |
1 − |
y |
, . . . , z |
n − |
y |
) |
|||||||
|
|
|
, .n |
|
n |
|
|
|
1 |
|
|
|
y |
|
||||||||
& % % * 9 (R |
|
, ρ) & |
|
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||||||||||||||
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X = Rn |
|
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ρ(x, y) = |
|xi − yi| |
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n |
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1
p
|bk |p
p = 2
|
|
i=1 |
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|
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|
|
max x |
y |
i| |
|
|
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|
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|
|
ρ∞(x, y) = i=1,n | |
i − |
|
1 |
|
|
|
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||
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n |
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p |
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, ρ(x, y) = i=1 |xi − yi|p |
|
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|||||
|
X = C . |
| |
− |
|
| |
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|||||
|
|
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|
|
|
|
ρ(x, y) = x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
X = C |
[a,b] |
= { |
* & @ |
[a, b]} |
max |
|x(t) − |
y(t) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ(x, y) = a t b |
| |
x = x(t) y = y(t).
|
. |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
[a, b] |
|
|
|
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|||||||||
|
|
ρ(x, y) = 0 |
|
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|
max |
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|
|
|
|
|
|
x = y |
> & 2 |
|||||||||||
|
|
ρ(x, y) = a t b |x(t) − y(t)| = 0 x(t) = y(t) t |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
% |
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||||||||||
|
% & |
= max |
|
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|
max |
|
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|
|
max |
|
= |
|||||||||||||
|
, ρ(x, y) = max |
|x(t) − y(t)| |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
− y(t)| |
||||||||||||||||
|
|
|
|
a t b |
|
|
a t b |x(t) − z(t) + z(t) − y(t)| a t b |
|x(t) − z(t)| + a t b |z(t) |
|
||||||||||||||||||||||
= ρ(x, z) + ρ(z, y) 2 ,% |
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
|
8 % C[a,b] * * |
∞ |
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|
p |
< +∞ |
|
|
||||
|
|
X = lp p 1 % 8 % % * {xn} k=1 |xk | |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
= (y1, . . . , yn, . . .) |
|
% @ . |
ρ(x, y) = |
|||||||||||||||||||
|
= (x1, . . . , xn, . . .) y |
|
|
|
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||||||||||||||||||
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1 |
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∞ |
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p |
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|
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||
= k=1 |ak − bk |p |
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|||||
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. |
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|
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|
|
|||||||||
|
ρ(x, y) = 0 |
∞ |
|ak − bk |p = 0 nlim |
n |
|ak − bk |p = 0 xk = yk k N & |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
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|
→∞ k=1 |
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||
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) % & |
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||||
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|
ρ(x, y) = ρ(y, x |
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|||||||
|
, % +: + % 8 n → ∞ + . |
||||||||||||||||||||||||||||||
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p |
|
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|
p |
|
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|
|
p |
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|||
∞ |
|
p |
|
|
∞ |
|
p |
< +∞ & % . |
|
|
|
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|||||||||
k=1 |
|ak | < +∞ k=1 |bk| |
|
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|
# |
|||||||||||||||||||
|
k=1 |ak + bk |p |
1 |
k=1 |ak |p |
|
1 |
+ k=1 |
|bk|p |
1 |
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||
|
2 |
|
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lp |
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R |
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|
∞ |
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|
∞ |
|
|
|
∞ |
|
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% % |
|
+ & |
|
n |
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% lp |
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|||||
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|
(X, Σ, µ) % % X Σ % σ% < % M µ% σ% |
||||||||||||||||||||||||||||
σ% & Σ |
|
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> & & Lp(x)% % M @% * % < |
||||||||||||||||||||||||||||||
% M |
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|
> & & |
|
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|
. . |
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M} |
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|
Lp(x) = {x(t)| |
|
|x(t)|p |
dµ(t) < +∞, x(t) |
|
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|||||||||||||||
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X |
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f = {g Lp(x)|g |
|
|
X} |
|
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||||||
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|
f Lp(x) |
|
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|
f |
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|
|
Lp(x) % % @% * ' "
% Lp(x) Lp(x) = {f |f Lp(x)} 9 . ρ(f , g) =
1
|
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p |
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|
p |
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|
/ *" |
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||||
= X |f (t) − g(t)| |
|
dµ(t) |
|
|
|
|
|
p 1 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
Lp & " |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f |
|
L & f % |
|
|
@ * |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
p |
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|
|
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||
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|
. |
|
|
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|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
ρ(f, g) = 0 |
X |
|
|x(t) − g(t)|pdµ(t) = 0 % * @% |f (t) − |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− g(t)| |
p |
|
|
M |
|
. . |
|
g |
M |
|
f = g |
|
M + > & |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= 0 |
|
|
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|
f |
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|||||||||||||
|
|
>& |
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|
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||||||||||||
|
|
, |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
* ($ - = ($ x |
|
L |
(X) y |
|
L |
|
(X) 1 < p < + |
∞ |
1 |
+ 1 |
= 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
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|
1 |
|
p |
|
|
|
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|
1 |
q |
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
p |
|
q |
|
|||||||
xy L1(X) . X |x(t)y(t)|dµ(t) X |x(t)|pdµ(t) p |
X |y(t)|q dµ(t) q |
+F |
|
|
|
x(t) |
|
p |
|
|
|
y(t) |
|
q |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
p |
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|
q |
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|
|
t X |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
X |x(t)| |
dµ(t) = X |y(t)| dµ(t) = 1+I / % |x(t)y(t)| | |
|
p |
|
| |
|
|
+ |
| |
q |
| |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 % & . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
+ I |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
t |
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|x(t)y(t)|dµ(t) p + q = 1 |
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|
X |
|
|
|
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|
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Ix = |
|
|
|x(t)| |
p |
|
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|
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|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
Ix = 0 |
|
|
Iy |
|
= 0 |
% & |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dµ(t), Iy = |y(t)| dµ(t) |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
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I |
|
|
= |
|
|
0 |
|
|
I |
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
x (t) |
|
= |
|
x(t) |
, |
y |
(t) |
|
= |
|
|
x(t) |
|
|
|
|
|
|
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& |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
@% |
|
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
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|
(Ix ) p |
|
0 |
|
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|
(Ix ) q |
|
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|||||||||||
|
|
|
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1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
X | |
x(t)y(t) dµ(t) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
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1 |
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1 |
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X |x(t)|pdµ(t) |
p |
|
X |y(t)|q dµ(t) |
q |
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| |
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|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
* ($ - . |
x, |
y |
|
L |
(X), 1 |
|
p |
|
+ |
∞ |
x + y |
|
L |
(X) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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1 |
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1 |
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1 |
p |
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|
|
|
|
p |
|
|
||||||||||||||
X |x(t) + y(t)|pdµ(t) p |
|
X |x(t)|pdµ(t) p |
+ |
X |y(t)|pdµ(t) p |
|
+J |
|
|
|
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p |
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|
p |
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|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
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|
|
p |
|
|
p |
|
2 |
p |
|
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|
|
p |
|
|
|
|
|
|
t X |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|x(t) +py(t)| |
|
(2 max{|x(t)|, |y(t)|}) |
|
= 2 |
|
max{|x(t)| , |y(t)| } |
|
(|x(t)| |
+ |
|y(t)| |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
q = |
|
(|x(t) + y(t)|p−1)q = |x(t) + y(t)|p |
|
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|
p−1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
/ % G . X |x(t) + y(t)|pdµ(t) X |x(t) + y(t)|p−1|x(t)|dµ(t) + X |x(t) + y(t)|p−1|y(t)|dµ(t) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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|||
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p |
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q |
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|
p |
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q |
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|
p |
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|
p 1 q dµ(t) |
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|
y(t) pdµ(t) |
|
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|
( x(t) + y(t) p 1)q dµ(t) |
|
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|
|
= |
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
X |x(t)| |
dµ(t) |
|
X (|x(t1) + y(t)| |
− ) |
|
1 |
|
|
|
|
|
+ X | |
|
1 |
|
| |
|
|
|
|
|
X |
| |
|
|
|
|
|
|
|
| − |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
q |
|
|
|
|
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|
|
p |
|
|
|
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|
|
p |
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|
||||
= |
X |x(t) + y(t)|pdµ(t) |
|
|
X |x(t)|p |
|
+ |
|
|
X |y(t)|p |
|
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1 |
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|
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|||||||||
|
|
6 % . X |x(t) + y(t)|pdµ(t) q |
|
& % +J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 % 8 % % Lp(X) |
|
|
|
|x(t) − y(t)|2dt) |
1 |
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
b |
2 |
|
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|||||||||||||||||
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||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
X = C2[a,b] % % @% * [a, b] * ρ(x, y) = a |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
% |
|
& |
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% * |
* |
|
|
|
|
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|
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y |
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x = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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= l∞ |
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ρ(x, y) |
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− |
k | |
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|||||||||||||||||||
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|
X |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
k |
| k |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= (x1, ..., xn, ...), y = (y1, .., yn, ...). |
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
9 |
|
|
X % % |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
ρ(x, y) =
0, x = y
1, x = y
! ( 4
4- (- 4 4
(X, ρ)% & % % {xn} & &
( (X, ρ) a X : ρ(xn, a) → 0 n → ∞ ε > 0 Nε N : n > Nε ρ(xn, a) < ε
% {xn} (X, ρ) & $ ) & * +
ε > 0 Nε : n > Nε, m > Nε ρ(xn, xm) < ε ε > 0 Nε : n > Nε p N ρ(xn, xn+p) <
<ε
% & @
! * ρ(xn, xm) ρ(xm, a) + ρ(xn, a) a % {xn} > &
, -
5 % τ % % X X .
Uα τ α Uα τ |
|
||
,X, τ |
|
|
τ |
U1, U2 |
τ U1 |
U2 |
(X, ρ)% & %, ) + & x0 r
% . B(x0, r) = {x X|ρ(x, x0) < r} (B[x0 , r] = {x X|ρ(x, x0) r})
B[ |
1 X |
= R+ = [0, +∞] ρ(x, y) = |x − y| x, y X . B[3; 3] = [0; 6] B[ 21 ; 5, 5] |
2 ; 5, 5] = [0; 5, 5] |
|
|
|
(X, ρ)% & % 8 % A X ' * & x0 A r > 0 |
|
& B(x0, r) A |
|
|
|
> * " B(x0, r) & % % |
|
|
x1 B(x0, r) |
r1 = r − ρ(x0, x1) x B(x1, r1) ρ(x, x0) ρ(x, x1) + ρ(x1, x0) < r1 + ρ(x1, x0) = r |
> * " %
9 & x0 % A B(x0 , r) : B(x0, r) ∩ A =
9 " % ' & " A " *
A % " &
9 & x0 % % A ' " B(x0, r) ∩ A =
8 %
! (X, ρ) & % A X 5 '# .
T % |
|
¯ |
¯ |
,A |
A A % 4 % & 4 |
¯ |
|
A = A |
? 2 & xn → x0, xn A x0 A= K !>(%/4
# 4 4
> f : (X, ρX ) → (Y, ρY ) x0 X ε > 0 δε > 0 : x
X, ρX (x, x0 ) < δε, ρY (f (x), f (x0)) < ε
> f M + A X f x0 X( A X)
! f : (X, ρX ) → (Y, ρY ) 5 '# .
U x0 X
{xn} : xn → x0, x0 X, f (xn) → f (x0)
+1 2 f % x0 xn → x0 δε
Nδε : n > Nδε ρX (x, xn) < δε ρY (f (xn), f (x0)) < ε
+2 1+ f x0 ε0 : δ > 0 xδ X : ρx(xδ , x0) < δ,
ρy (f (xδ ), f (x0)) ε0 (1)
{δn} : δn → 0, n N xn = xδn : ρ(xn, x0) < δn xn → x0 (x, ρx )
9 f (xn) → f (x0) (Y, ρy ) & & '
( ' * {xn} & xn → x0, xn X '# {f (xn)}
(Y, ρy ) f : (x, ρx) → (y, ρy ) % x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
n → |
x |
0 |
(X, ρ |
x |
) f (x ) |
→ |
y = f (x ) |
x |
& x |
= x , x |
|
= x |
|
|||||
|
|
|
|
n |
|
0 |
{ n} |
2n |
n |
2n+1 |
|
|
0 |
) = |
||||||
|
|
|
|
|
n → |
x (X, ρ) |
/ |
|
|
f (x ) |
(Y, ρ |
y |
) f (x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n2+1 |
|
|||
= f (x0) → f (x0) & K & y = f (x0) f % x0 |
|
|
|
|
|
|
> f : (X, ρx) → (Y, ρy ) .
f %
ρx(x, y) = ρy (f (x), f (y)), x, y X
! & (X, ρx), (Y, ρy ) % #
(X, ρx) (Y, ρy )
% C[0,1] C[a,b] &
x = a − (a − b)t f C[a,b] f → f (a − (a − b)t) 9 C[a,b] C[0,1]
* &
; > , ( 4 4 |
|||||||||||||
8 A X |
& ¯ |
|
|
||||||||||
|
|
¯ |
|
A = X |
|
||||||||
|
Q ' R |
Q = R |
n |
|
|
||||||||
X = C[0,1] % P = { |
|
|
|||||||||||
ak tk |ak R, n N} * @ . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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=1 |
|
|
|
n |
|
k |
: |f0 |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
ε > 0 Pn(t) = k=1 akt |
|
(t) |
− Pn(t)| < ε, t [0, 1] |
, f ) < ε ' @ & * |
|||||||||
ρ(f, P |
max f |
(t) |
|
|
P (t) |
< ε B(f |
, ε) % " ρ(f |
||||||
n) = |
0 |
|
− |
n |
|
| |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
t [0,1] | |
|
|
|
|
|
|
|
|
P 8 % & ' % @ *
(
( ( 4 ( 4 4
8 & % (X, ρ) @ %
|
|
|
|
X = |
R, ρ(x, y) = x |
− |
y |
| |
|
(R, ρ) % |
|
( " |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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n |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
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|
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n |
, ρ) % |
|
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|
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||
|
|
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X = R |
|
, ρ(x, y) % (R |
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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X = (−1, 1), ρ(x, y) = |x − y| |
xn = |
n |
|
, {xn} |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n+1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X = Q, ρ(x, y) = |x − y|. xn = (1 + n1 )n (Q, ρ) % |
|
|
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|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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X = C1[0, 1], ρ(x, y) = |x(t) − y(t)| dt |
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1≤ |
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n→∞ |
0, x |
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2 ) |
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| − |
x |
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1] * @ y |
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C |
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[ 2 , 1] |
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− x0| dt |
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|
|xn |
|
− x0| dt → 0 y0 |
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/ & C1[0, 1] |
|
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|
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0 |
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! C[a,b] % |
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t [a, b] |
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(1) K @ t0 [a, b] H |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
{xn(t0)} @ R R nlim |
xn(t0) = x(t0) 9 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
@ x(t) = nlim |
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||||||||||||||||||||||||||||
xn(t) & xn → x C[a,b]. + |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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! lp (p 1) %
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
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{xm} % @ lp ε > 0 Nε : m, n > Nε |
|
|
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p |
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ρ(xn, xm) = k=1 |xk |
− xk | |
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n |
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n |
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xk @ |
R xk → xk n →n |
∞ |
|
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x = (x1, . . . , xk , . . .) |
|
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|
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p |
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|
|
|
∞ |
n p |
p |
< ε (4) +? |
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m → ∞ % k=1 |xk |
− xk | |
|
< ε (3) & k=1 |xk − xk | |
|
||||||||||||||||
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|
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n → ∞ & xn → x |
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+ xk | |
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k=1 |xk − xk | |
1 |
k=1 |xk | |
1 |
|||||||||||
k=1 |xk |p |
1 |
= k=1 |xk − xk |
+ |
|
< +∞ |
|||||||||||||
∞ |
p |
∞ |
n |
n p |
p − |
|
∞ |
|
n p |
p |
|
∞ |
n p |
p |
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|
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xn |
|
|
( - Lp(X)
! % L1(x) %
{f } % @ % L (x)
n 1
ε > 0 Nε : n, m > Nε ρ(fn, fm) = |fn −fm| dµ < ε k N nk :
X
|fnk −fnk+1| dµ < 21k
X
/ 9 = %< & & {nk} '#
6 |fn|+ |fn+1 −fn|+ . . . X fn + fn+1 −fn + . . . X {fnk } %
X |
* |
|
|
7 & |
|
|
|
||||||||||||||
→∞ |
|
|
|
|
|
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klim fnk |
= f X @ {fnk |
} ε > 0 |
k0 |
N : k, l > k0 |
|fnk |
|
− |
||||||||||||||
& & {fnk } L1(X) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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X |
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− fnl | dµ < ε (4 ) |
|
|
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l → ∞ |
|
|
|
|
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X |
|fnk − f | dµ < ε |
|
|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||
|fn − f |dµ |
|fn − fnk + fnk − f |dµ |
|fn − fnk |dµ + |fnk − f |dµ < 2ε |
+ 2ε |
= ε |
|
|
|
|
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X |
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x |
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X |
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X |
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1q dµ |
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= (µA) q |
A |fn − fm|pdµ |
|
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A X : µ(A) < +∞ A |fn −fm|dµ A |fn − fm|pdµ |
|
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f |
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@ L (A) |
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1 |
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1 |
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1 |
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L (A) |
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q |
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p |
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p |
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1 |
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|
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p |
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9 , A X : µ(A) < +∞ % fnk |
→ A Lp(X) |
||||||||||||||||||||
/ " * |
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f 1 |
k X 2 % |
f 2 |
|
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|
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& µ σ% & X = |
Xk : µ(Xk ) < +∞ |
|
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1 |
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{ nk2 } → |
X2 / fn11 , fn22 , . . . , fnkk , . . . + % & % # ' |
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lim fnk = f ! *" & |
|
∞ |
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% Xk, k = 1, 2, . . . µ % σ% µ(X) = |
µ(Xk ) X |
k=1 |
|
k |
9 , V % 8 |
|
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k→∞ |
|
"
! (X, ρ) % & ' %
" D &
(X, ρ) % Bn[xn, rn] : Bn Bn+1, rn → 0 n → ∞ / " . mn xm Bn[xn, rn] ρ(xm, xn) rn rn → 0 {xn} % @ % {xn}
x X
ρ(xn, x ) ρ(xn, xm) + ρ(xm, x ) rn + ρ(xm, x ) m → ∞ & ρ(xn, x )
rn, n N ∞ Bn[xn, rn] =
n=1
& '
" D &
' % " D
& {xn} % @ % |
9 |
n1 |
N : ρ(xn,1xn1 ) < |
1 |
, n n1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
" B[x |
|
, 1] |
|
|
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/ |
n2 > n1 |
: ρ(x , x |
) < |
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, |
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n > n |
|
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B[x |
|
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, |
|
] |
= B |
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|
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n |
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> n |
k−1 |
: |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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n1 |
|
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1 = B1 |
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1 |
|
n n2 |
|
|
22 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
n2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
||||||||||
ρ(xn, xnk ) < |
|
|
, n > nk & B[xnk |
, |
|
] = Bk |
|
|
|
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|
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|||||||||||||||
|
k |
k |
|
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|||||||||||||||||||
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2 |
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|
2 |
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|
x |
|
||
|
%1 |
% ' |
" ! * |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Bk+1 ρ(xnk , x) |
|
ρ(xnk , x) ρ(xnk , xnk+1 ) + ρ(xnk+1 , x) |
|
|
+ |
|
|
|
= |
|
x Bk |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2k |
2k |
|
2k |
2k−1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
/ |
% & |
x |
Bk k N |
9 |
x Bk ρ(xnk , x) < |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
→ 0 k → ∞ xnk → x (X, ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
< |
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2k−1 |
|
|
x |
|
xn |
|
% @ ε > 0 |
|
k1 : ρ(xn |
|
, x) < |
ε |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ρ(xn, x) |
|
ρ(xn, xn |
) + ρ(xn |
|
, x) ( ) 9 xn |
k → |
{ |
} |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
εk |
|
|
|
k |
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
2 |
||||||||
k2 : ρ(xn, xnk ) < |
2 |
k = max{k1, k2} & & ( ) < ε > ' xn → x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
& |
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|||||||||||||||||||
|
& |
|
|
(Y, ρy ) |
|
|
& |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(X, ρx) . |
X |
= Y ρx(x, y) = ρy (x, y) x, y X |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
& (Y, ρy ) ' * %
X = Q, Y = R ρ(x, y) = |x − y| (R, ρ) (Q, ρ)
! <' &
X = Y ' @ % {xn}, xn X Y Y %
+ %
+ (X, ρ) % & % Z @ % *
# X = & & % |
{ |
z |
n} |
|
{ |
z |
lim ρ(z |
|
, z |
) = 0 +6 @ % |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n} |
|
|
|
|
n→∞ |
n |
n |
|
|
||||
& & & % |
||||||||||||||||||||||||
" Z '# ( |
|
|||||||||||||||||||||||
{ |
z |
n} |
& [z |
n |
] 8 % [z |
n |
] & Z ( x |
|
X |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
Y |
|||||||||
% * [xn] : xn → x & X |
|
|
Y = Z + X |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
'# . ρY ([xn], [yn]) = lim ρX (xn, yn) |
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
& +, # {xn} |
[xn] {yn} [yn] / & . |ρ(xn, yn) − ρ(xm, ym)| ρ(xn, xm) + ρ(yn, ym) (4)
& " m n. |ρ(xn, yn) − ρ(xm, ym)| ε {xn} {yn} @ 9 {ρ(xn, yn)}
% @ &
{xn} [xn] {yn} [yn] ! * {xn}, {xn} [xn]
{yn}, {yn} [yn]
| |
ρ(x , y |
n |
) |
− |
ρ(x , y |
) |
ρ(x , x ) + ρ(y |
n |
, y ) / |
& lim |
ρ(x , y |
n |
) = |
||
n |
|
n n |
| |
n |
n |
n |
n |
→∞ |
n |
|
|||||
= lim ρ(xn, yn) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! & Y |
& % 4 |
||||||||||||||
|
@ % * 4 & , 9 |
||||||||||||||
X |
ρ(xn, zn) ρ(xn, yn) + ρ(yn, zn) n → ∞ +, & |
& ρ([xn], [zn]) ρ([xn], [yn]) + ρ([yn], [zn])
! & X % Y ( x X
* # x ' %
& * x 5 x [xn] & XY 9 X % Y
& X = Y +X ' Y [xn] Y ε > 0 / [xn]
N : ρ(xn, xm) < ε n, m > N |
9 |
lim |
ρ(xn, xm) ε |
9 |
|
|
ρ(xn, [xn]) = m |
→∞ |
|
||
|
|
|
|
|
& [xn] ' & X 9 X = Y
K & ' Y ' @ % & X Y %
'& & Y %
>? 4 "
>? (
(X, ρ) &
f : (X, ρ) → (X, ρ) &( α R : α [0; 1) ρ(f (x), f (y))
αρ(x, y) x, y X
/ '#
2 ρ(f (x), f (y)) < ρ(x, y)
x X ' % f : (X, ρ) → (X, ρ) f (x) = x
! 2 >? 3 / '# * '#
& ' &
x0 X x1 = f (x0), x2 = f (x1), . . . , xn = f (xn−1), . . .! & (xn)@
! |
ρ(xm, xn) m > n f n(x) = f (f n−1(x)) f 1(x) = f (x), f 0(x) = x |
|
ρ(xn, xm) = ρ(f n(x0), f m(x0)) 0 W%X% 1 ρ(f n(x0), f n+1 |
(x0)) + |
|
+ρ(f n−1(x0), f n(x0))+. . .+ρ(f m−1(x0), f m(x0)) = ρ(f (f n−1(x0)), f (f n(x0)))+. . .+ρ(f (f m−2(x0), f (f m−1 |
(x0)) |
|
|
0 1 αρ(f n−1(x0), f n(x0)) + . . . + αρ(f m−2(x0), f m−1(x0)) αnρ(f 0(x0), f (x0)) + |
+αn+1ρ(x0, f (x0)) + . . . + αm−1ρ(x0, f (x0)) = ρ(x0, f (x0))(αn + αn+1 + . . . + αm−1) ρ(x0, f (x0))(αn + αn+1 +
+. . . + αm−1 + . . .) = ρ(x0, f (x0)) 1α−nα → 0 n → ∞ > ' (xn) @
9 X (xn) lim xn = x f f (x) = f ( lim xn) = |
|
n→∞ |
n→∞ |
= lim f (xn) = x 9 x &
n→∞
! . & y = x : f (y) = y ρ(x, y) = ρ(f (x), f (y)) < ρ(x, y) %
& 3 &
( 9 ? * & x
|
αn |
|
& |
|
||||
ρ(xn, x0) ρ(x0, f (x0)) 1−α , n N / |
x → ρ(xn, x) |
|||||||
n |
|
|||||||
xn @ ρ(xm, xn) ρ(x0, f (x0)) |
α |
! . % |
||||||
1−α |
||||||||
|ρ(xn, x) − ρ(xn, x0)| < ρ(x, x0) + 0. |
|
ε > 0 δε > 0 : x X |
ρ(x, x0 ) < δε |f (x) − f (x0)| < ε |
ρ(x0, x) < αn ρ(x0, f (x0))
1−α
") >? 4 "
6 x = f (x) f ' < " [a; b] M > 0 : |f (x) − f (y)| < < M |x − y| x, y [a; b] 5& & f : [a; b] → [a; b]
M < 1 f '# / '# * ' %
' & " x = f (x) / x0 [a; b]
f (x0), f (f (x0)), . . . & " ' * & '
6 F (x) = 0 f (x) = x − λF (x) 9 f ' x = f (x) λ = 0
F ' 0 k1 F (x) k2 n |
1 − λk2 f (x) 1 − k1λ |
x [a; b] |
|
|||||||||||||||||||||||
6 x = Ax |
|
A : Rn → Rn |
yi = |
=1 aij xj + bi K A = (aij ) |
|
|||||||||||||||||||||
ρ2(y , y ) = |
n |
(y |
|
y )2 = |
|
n ( |
|
n a |
(x x ) )2 |
n |
j n |
( n |
(a )2 |
(x |
x ))2 |
0 G) 1 |
|
|||||||||
n |
n |
i |
|
i |
− |
n |
|
|
|
ij j − |
n |
|
ij |
j |
− j |
|
|
|||||||||
|
=1 |
|
i |
|
|
i=1 |
| j=1 |
j | |
i=1 j=1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
x 2)) = ρ2(x , x ) |
|
(a |
|
|
)2 = ρ2(x |
, x )α |
|
|
|
|||||||||||
(( |
a )2 |
· |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
i=1 |
j=1 | |
ij |
| |
|
j=1 | |
j − |
|
j | |
|
|
|
i=1 j=1 |
|
ij |
|
|
1 |
|
'# % |
|||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'# |
|
|
|||||||||||
n |
n |
|
) |
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
α = |
(a2 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
=1 j=1 |
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
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|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ρ(y , y ) ρ(Ax , Ax ) √ |
|
|
< 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|aij | < n |
i, j |
|
|
|
|||||||||||
α |
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*
>? 4 " @
dxdy = f (x, y) + & y0 = f (x0) + = & & f (x, y) % |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
G R2 ' < " y M : (x, y1), (x, y2) G |
|f (x, y1) − |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− f (x, y2)| M (y1 − y2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||
|
# d y = ϕ(x) ) {x| |
|
|x − x0| d} |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
" + + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|f (x, y)| |
||||||||||||||||||||||
|
G G G f G M > 0 : (x, y) G |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
) K & |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||
(x, y) G |
|
|
(x, y) : |x − x0| < d |y − y0| < Kd |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|||||||||||||
M d < 1 |
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
||||
|
C [x0 − d, x0 + d] @ * ϕ & |ϕ(x) − y0| < Kd ρ(ϕ1, ϕ2) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
max |
|
ϕ (t) |
− |
ϕ (t) 9 (C |
[a;b], ρ) 6 % |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
t [x0 |
− |
d,x0+d] | |
1 |
|
2 |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
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|
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|
|
|
|
|
A : C |
→ C |
ψ = Aϕ = y0 + x0 x |
|
|
|Aϕ − y0| = |x0 f (t, ϕ(t))dt| |
Kd & |
A |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t, ϕ(t))dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
ρ(Aϕ |
, Aϕ ) = t [x0−d,x0+d] |x0 |
f (t, ϕ |
(t)) − f (t, ϕ (t))dt| M · x [x0−d,x0+d] |x − x0 |
| · x0 t x | |
|
|
− |
||||||||||||||||||||||||||
'# |
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
max |
|
ϕ (t) |
|
||||||
− ϕ (t)| M dρ(ϕ , ϕ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|||||||||||
|
9 M d < 1 A '# 9 A ' ' & : Aϕ = ϕ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
!Y + & + ϕ(x) = y0 |
+ x0 |
f (t, ϕ(t))dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+, 2 +, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
* ($ , 5 ($ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[c, d] |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
+ ϕ(x) +? f @ K(x, y) Π = [a, b] |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- . // 0 f (x) = λ |
|
K(x, y)f (y)dy + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
× |
|
|
|
|
|
|
|
||
A(f )(x) := λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
K(x, y)f (y)dy + ϕ(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
| | |
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a y b |
1 |
|
− f2(y)| · (b − a) = |λ|M (b − |
|
1 2 |
|
(y) |
|
f |
(y))dy |
|
|
|
|
f |
(y) |
|
f |
(y) dy |
|
|||||||||||||||||
A : C |
[a;b] → |
C |
|
|
|
|
|
|
max |
K(x, y)(f |
− |
| |
|
λ M max |
− |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
[a;b] |
|
ρ(A(f1), A(f2)) = λ a x b | a |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
| | |
a x b a |
| 1 |
|
|
|
2 |
|
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λ M max |
f (y) |
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a)ρ(f , f ) |
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λ : |λ| < |
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1 |
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A '# 2 '# * |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
M (b−a) |
' ' & & " +? )
b
* @ fn(x) = λ K(x, y)fn−1(y)dy + ϕ(x) 9 & )
a
' @ 9 ?
; ($
x
9 ' f (x) = λ K(x, y)f (y)dy + ϕ(x) '
7 K(x, y) = 0 |
a |
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y > x |
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|
! |
2 ? >? 4 "3 |
A : (X, ρ) → |
(X, ρ) |
|
(X, ρ) |
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n |
'# |
|
n |
|
N |
!x |
|
X : Ax = x |
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n |
A |
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n |
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|
n |
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|||||
x = A x |
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A(x) = A(A (x)) = A (A(x)) & & & x & A |
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6 A : |
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x |
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max |
x |
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(y) |
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− |
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− |
2 |
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| | | |
a x b |
| 1 |
|
− |
2 |
A(f (x)) = λ a K(x, y)f (y)dy + ϕ(x) ρ(Af1 |
, Af2) = a x b |λ a K(x, y)(f1 |
|
|||||||||||||||||||
(y))dy |
(x) |
|
| |
− |
a) |
| | · |
(b |
− |
1 |
2 |
) |
|
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|
f |
|
|
λ M max |
f |
|
|
f |
(x) (x |
|
λ M |
|
a)ρ(f |
, f |
|
|
|
|
|
|
ρ(Anf1, Anf2) M n|λ|n(b − a)nρ(f1, f2) & " n An '# An
' ' &
A$ 4
2 3 B
8 & (X, ρ) * % &
% # # %
! + % Y
(X, ρ) % B
X &
&
! (
{xn} % @ & (X, ρ) 2
{xnk }
ρ(xn, x) − . ρ(xn, xnk ) |
+ |
||||
<ε |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|||
|
|
|
: lim xnk = x X
k→∞
ρ(xnk , x) xn → x
<ε −
>
R %
8 & (X, ρ) ' * % &
% # @ %
8 & % (X, ρ) (X, ρ) (X, ρ)
(X, ρ) 9
% {xn} % % (X, ρ) /
@ % {xnk }
8 % M & % (X, ρ) ) + (M, ρ) %
+
8 % M & % (X, ρ) %
" + x0 X r R : r > 0 M B(x0 , r)
& R % +9 / *"
% & % &
M (X, ρ) & M & x0 X r > 0 xr
M : ρ(xr , x0) r
x1 X n N xn M : ρ(xn, x1) n lim ρ(xn, x1) = +∞ 5 *
n→∞
M {xn} @ % {xnk } / & |ρ(xnk , x1)−ρ(xnl , x1)| ρ(xnk , xnl )+ρ(x1, x1) < ε + {xnk } @ ' & &
{ρ(xnk , x1)} @ R R nlim ρ(xnk , x1) < +∞ 3 % |
||||||||
|
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|
|
|
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→∞ |
% ' % '# * & |
||||||||
/ 9 / *" Rn & |
||||||||
& % # |
||||||||
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∞ |
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M l1 : M = {x = (x, . . . , xk , . . .)| k=1 |xk | 1} = |
B |
(0, 1)B |
||||||
|
n |
n m |
|
n) |
|
@ >& & ' |
||
x = (0, . . . , 0, |
|
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|||||
|
1 , 0, . . .) ρ(x , x ) = 2 (m = |
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|||
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n− |
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% @ *