ВИ_практика_Новое

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гомельский государственный университет им. Франциска Скорины

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

, B t b u,t

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.03.2015

Размер:

949.08 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

x1 x2 ,		x1 0 1,	u t 1,	t 0,5 ,	J u x2 5 x2 5 min;

	u,	x2 0 2,			1	2
x2	u,	x2 0 2,

1,t 0,1 , 3. u t 0,t 1,2 ,

1,t 2,5 .

x u,

x 0 0,

u t

2,t 0, 4 ,

J u

4 u2 t x2 t 6x t sin 2t dt min;

a) u t 2; b) u t cos2t.

x xu,

x 0 1,

u t

2,t 0,2 ,

J u ln x 2 min;

5. a) u t

2; b) u t

0,t 0,1 ,

1; c) u t

1,t 1,2 .

x xu,

x 0 1,

u t

12,t 0,2 ,

J u

x4 2 min;

a) u t 0; b) u t 1.

x1 tu,

x1 0 0,

u t

1,t 0,1 ,

J u x2 1 min;

x ,

0 0,

a) u t t; b) u t 1;

c) u t 1.

0 0,

u t

1,t 0,1 ,

J u 2x1 1 3x2 1 min;

x2 u,

x2 0

1,t 0,1

2 ,

a) u t 1; b) u t 0;

c) u t 0,t 1 2,1 .

, x

0 1,

u t

0,1 ,

J u x1 1 x2 1 min;

1,t

x ,

1,t 0,1 4 ,

a) u t 1; b) u t

0,t 1 4,1 .

x1 u,

x1 0 0,

-1

u t

1,t 0,1 ,

J u x2 1 min;

10.

a) u t 1; b) u t 1; c) u t t 2 .

x1 x2u1,

x1 0 0,

2 x1 2u2 ,

x2 0 0, u 2

t u 2

t 1,t

u2 ,

x3 0 0,

11.

t 0

t 1

;

t 1

u2 t 1 2

0 1,

u t

1,t 0,1 , J

0 1,

x ,

12.

b) u t

1,t 0,1

2 ,

a) u t 0;

2,1

1,t 1

0, , J u x2 x3 min;

u x1 1 x2 1 min;

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

x1 x2u1,

x1 0 0,

2x1 u2

x2 0 0, u

2 t u 2 t 1,t 0, , J u x

min;

u2 ,

x3 0 0,

13.

u t 1

; b)

u2 t 2 3

J u x2 2 min .

x2 ,

x1 0 1, 1 u t 2, t 0,2 ,

x2 0 0;

0,t 0,1 ,

14.

a) u t 2; b) u t 1; c) u t

1,t 1,2 .

0 0,

u t 3, t 0, , J u x1 u t dt min

x u,

0 0; 2

0,t 0,1 ,

15.

a) u t 2; b) u t 3; c) u t

1,t 1, .

0 0,

u t

t 0,3 ,

J u x1 3 x2 3 min

0 0;

x2 x2 ,

16. a) u t 1;

1,t 0,1 ,

b) u t

0,t 1,2 ,

1,t 2,3 .

x1 x2 ,

x1 0 1,

u t 1,

t 0,1 ,

J u x1 1 x2 1 min;

0 0;

1,t 0,1

17.

a) u(t) 0;b) u(t) 1;c) u(t) 1,t 1 2,1 .

x1 0 1,

x1 x2 ,

0 1; u(t) 1,

t 0;1 ,

J u x1 1 x2 1 min

u 2 ,

1,t 0,1 2

18.

a) u(t) t;b) u(t) 1;c) u(t) 1,t 1 2,1 .

u1,

x1 0 0,

1 min

u 2 t u 2 t 1, t 0;1 , J u x 1 x

u2 , x2

19.		u			t 1
	a)		1			; b)
		u		2	t 0
				2
			x1 x2 ,

			x1 2tu,
	x	2	x1 2tu,
			u
20.	x3		u
20.

a) u(t) 1; b)

u t 1
u t 1			2
	1			.
		t 1

u			2
	2
	x1	0 0,				t 0, ,
	x2	0 0;	1 u t 4,			t 0, ,	J u x2 x3 min .
	x3	0 0
		1,t 0,1
u(t)					.
		4,t 1,

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

x1 u1 u2 ,

x1 0 0,

u 2 t u 2 t 1, u

1, t 0; ,

J u x

1 min

0 0;

x 2u

t 1

u t 1

21. a)

; b)

t 1.

t 0

x u,

x 0 1;

u t

t 0;1 ,

J u sin x 1 min .

u(t) t;b) u(t) sin(t); c) u(t)

1,t 0,1 2

22. a)

1,t 1

2,1 .

x1 x2 ,

x1 0 1,

u R,

J u x2 x2

u 2

t dt min

t 0, ,

x u,

1,t 0,1 2

23.

a) u(t) t;b) u(t) 1;c) u(t) 1,t 1 2,1 .

x1 x2 u1,

x1 0 0,

u1 t

u2 t 2; 0;

2 ,

t 0;4 , J u x1 4 x2 4 min

x u

0 0;

24.

t 1

, c)

u t 1

; b)

t 2

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

u 0 t , t T ,

Лабораторная работа №9 Поиск оптимального управления

Если рассматривается линейно-выпуклая задача
		x A t x b u,t , t T t0 ,t1 , x t0 x0 ,
		u t U , t T ,									(20)
		t1									(20)
		t1			dt
		J u x t1 f0 x,u,t			dt	min,
		t0
где	A R nxn ,b u,t –	n -вектор-функция, f	0	x,u,t	a	0	x,t b	u,t , функции	x , a	0	x,t вы-
			0			0	0			0

пуклы по x , то принцип максимума для этой задачи является необходимым и достаточным условием оптимальности, т.е. справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.Для оптимальности допустимого управления u 0 t , t T , в задаче (20) необходимо

и достаточно, чтобы вдоль управления u 0 t , t T и соответствующих ему решений										x0 t , t T ,
прямой	и	0 t , t T сопряженной			системы	(16),(17),			где	H x, ,u
' A t x b u,t f			0	x,u,t , выполнялось условие максимума
			0	H x0 t , 0 t ,u0 t ,t max H x0 t ,		0 t ,u,t ,t t	0	,t	.
					u U		0	1
					u U

Задание:

1.Составить гамильтониан;

2.Составить и найти решение сопряженной системы;

3.Записать условие максимума;

4.Исходя из условия максимума, найти соответствующую оптимальную траекторию;

5.Вычислить значение функционала.

Пример 1. Найти оптимальное управление задачи:
x	x	2	, x 0 0,
1			1	0 0,
x2 u,			x2
u t 1,			t T	0,2 ,

J u x1 2 x2 2 min .

Рассматриваемая задача является линейной и по состоянию и по управлению.

Следовательно для нее справедлива теорема 1, т.е. принцип максимума необходимое и достаточное условие оптимальности. Поэтому оптимальное управление определим из

условия максимума.

1. Составляем гамильтониан:

H x, ,u,t			x			x			u;
H x, ,u,t	1	2		2	1	x	2	2	u;
	1	2			1		2	2
			u

2. Найдем 0 t , t T .Составляем сопряженную систему:

x 2 x1 2 x2 2 ,

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

u 0 t , t T ,

		1				H x, ,u,t				0
		1											,
									x
		2							x			1
		2										1
2			x 2						x 2 x					1
2													1
				x										1
				x					x 2 x2					1
		0						2 1					1				0	1,
	1	0					1	2 1			1		1				1	1,
	1						1				1						1		,t T
									2 1				1,			2 1	0		,t T
	2				1		2		2 1		2		1,		2	2 1	0	t 1
	2				1		2				2				2		2	t 1
																	2

3. Запишем условие максимума:

10 x20 20u0 max 10 x20 20u ,t 0,2 .; u U

Поскольку 10 x20 в обоих частях равенства совпадают, то условие примет вид:

20u0 max 20u ,t 0,2 .,

u 1

t 1 u0			max t 1 u,
					u	1
t 1 u max,												u0					1,t 0,1 ,
t 1 u max,									u	1		u0				1, t 1,2
																1, t 1,2

4. Найдем соответствующую оптимальную траекторию:
t 0,1 :
	0	x	0				0	0 0,					x		0	x0 , x0 0 0				x	0			1	t	2	,
				, x

x														1			2 1			1				2
1			2	1				0 0,																2
x	0	1, x					0	0 0,					x		0	t					0
	2						2						x		2	t					0	t;
t 1,2 :															2				x0			t;
t 1,2 :
0			0				0				1					0	0 0	1				0			1		2
x1		x2		, x1				1				,		x1			x2 , x1 1				x1					t		2t 1,
																		2							2
											2
											2
x	0	1,			x		0	1 1,								0	t 2					0	t 2;
	2			2										x2			t 2				x2		t 2;

5. Вычислим значение функционала:

J u0 x10 2 x20 2 12 2 2 2 2 1 2 2 1.

Пример 2.Найти оптимальное управление для задачи:

						2		3		x1 0 0,
x1		x2 2u2						u3	,
x1		x2 2u2				3		u3	,
						3							0 0,
x	2	t	2u u	2	,					x		2	0 0,
	2		1	2								2
							1,			1				1	,0 ,						t 0;3 ,
1 u			2, u	2						1	,			1		3	3	u	3	1,
1 u			2, u								,					3	3	u		1,
		1								2			4
										2			4

J u x1 3 min .

Рассматриваемая задача является линейно-выпуклой.

0		1				2	u3
				2u

A t			, B t b u,t		2	3		3 .
	0	0		t 2u u
								2
						1

условия максимума.

1. Составляем гамильтониан:

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

																																							2u									2				3
																																			x		2						2							u		3																	2
																																			x															u
H x, ,u,t																																																3											x		2 u									u3			t 2				u					u		;
H x, ,u,t																									1									2														3										1	x	2	2 u								3	u3			t 2				u				2	u	2	;
																									1									2																								1		2			1 2						3		1 3					2 1					2		2
																																			t 2u						u			2
																																							1					2
2. Найдем 0 t , t T . Составляем сопряженную систему:
x 3 x1 3 ,
										1												H x, ,u,t																			0
										1																																						,
																															x
										2																					x															1
										2																																				1
3											x 3																					x 3 x																					1
3																																															1
																x																																						0
																x																		x 3 x2																				0
										0																				3 1																	1																				0	1,
								1		0																	1			3 1															1		1																				1	1,
								1																			1																		1																						1					,t T
																															3				0												1,										3 0										0					,t T
								2											1								2				3				0										2		1,									2	3 0										0	t 3
								2											1								2																		2											2											2	t 3
																																																																			2
3. Запишем условие максимума:
		0			0										0						0						2							0		0		3				2 0							0						0		0								0			0				0			2			0			3				2 0			0
				x				2										u																	u					t								u								u			max								x				2		u						u				t				u		u		;
				x				2										u																	u					t								u								u			max								x				2		u						u				t				u		u		;
	1				2										1						2						3							1		3										2 1									2		2				u U				1			2				1		2	3			1		3						2 1		2		2
Поскольку 10 x20																																в обоих частях равенства совпадают, эти слагаемые можно не учитывать и
условие примет вид:
					0						2						0				3								2									0												0														2					3			2
2u														u										t								t 3 u								t 3 u													max								2u					u					t		t 3 u					t 3 u							;
2u														u										t								t 3 u								t 3 u													max								2u					u					t		t 3 u					t 3 u							;
					2						3						3																				1													2				u U								2		3				3									1							2
2u												2			u							3 t 2 t 3 u																			t 3 u												max,
2u							2								u					3		3 t 2 t 3 u																			t 3 u										2		max,
							2					3								3																			1												2
												3
					u1
1					u1						2,
								1,										1								1		,0 ,
u																		1				,				1
u			2																			,
			2															2								4
																		2								4
																								t 0;3
						3 u										1,
3						3 u							3			1,
													3
Последняя система эквивалентна следующим условиям:
					2			t 3 u1														max,
1)		t						t 3 u1														max,
1)																2,										t 0;3
		1 u														2,										t 0;3
													1
		1 t u2															max,
2)																							1							1										0;3
		u2									1,															,							,0 ,			t
		u2									1,															,							,0 ,			t
																							2							4
							2								3
										u										max,
										u										max,
3)							3					3									1, t 0;3
		3									u
		3							3		u						3
																	3
Из данных условий получаем:
1) поскольку t 2 t 3 0 при t 0;3 , то																																																								u 0 t 1,t 0,3 ;
																																																										1
2) поскольку 1 t 0 при t 0,1																																																			и 1 t 0 при t 1,3 , то
u20 t										0,t 0,1																					;
u20 t																															;
										1,t 1,3
3) u30 t 3
3) u30 t 3																			3,t 0,3 .
4. Найдем соответствующую оптимальную траекторию:
t				0;1 :

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

					2		3																						0		1		4	2t,
	0	0		0		0		0							0				0				0					x1				t
	0	0		0		0		0							0				0				0					x1				t
x1		x2		2u2		u3	,	x1	0 0,					x1		x2				2, x1				0	0						12
					3										0					2		0	0								1 3
	0	2 0		0	3			0							0					2		0							0		1 3
		t u1		u2 ,				x2 0 0,						x		t					, x			0
														x	2	t					, x	2		0						t ;
x2															2							2					x2			t ;
t 1;3 :																															3
t 1;3 :
	0	0		0	2	0	3	0		25					x			0	x0			4, x0			1	25				x0					1		t 4		1	t 2	5t	5	,
	0	0		0		0		0
x1		x2		2u2		u3	,	x1	1				,													12									12				2			2
x1		x2		2u2		u3	,	x1	1				,				1				2			1		12					1				12				2			2
					3					12
					3					12
x	0	t 2u0		u0 ,				x0	0		1	,						0				2		0	1	1					0				1		3
																		0				2		0							0						3
	2																		t				1, x2													t		t	1;
	2		1	2				2							x2				t				1, x2							x2						t		t	1;
											3															3									3
											3															3									3

5. Вычислим значение функционала:

J u0 x10 3 121 3 4 12 3 2 5 3 52 614 .

Варианты

1	x					x		2	,				x	0 1,
			1					2					1	0 0;
	x2 u,												x2	0 0;
	1 u t 2, t 0,2 ,																	J u x2 2 min .
																					1
2	x					x		2		u,				x 0 0,
			1					2						1		0 0;
				x2 x2 ,										x2		0 0;
	u t 2,										t 0,3 ,						J u x1 3 x2 3 min .
3															x1		0 0,
					x1 x2 ,										x1		0 0,
	x			2			x u, x									2	0 0;
				2						1						2
														t 0, ,
	2 u t 3,													t 0, ,				J u x1 u t dt min .
																							0
4	x						x				2	u ,					x 1	0,
				1							2			1			1
	x2 x2 u2 ,															x2 1 0;						1, t 1; , J u x1 x2 min .
	u1 t 2;												1; 0;				2; 3 ,			u2 t
	u1 t 2;												1; 0;				2; 3 ,			u2 t

5		x u, x 1 5;
														t 1;2 ,							2
	3 u t 1,													t 1;2 ,				J u x t u t dt						min .
																					1
6		x u, x 0 1;
											t 0;2 ,										2		x t u 2 t dt min .
		u t					2,										J u x 2
		u t					2,										J u x 2
																					0
7														x1		0 1,
				x1 x2 ,										x1		0 1,
	x			2			x u,							x	2	0 0;
				2				1							2
	u t 1,									t 0,1 ,						J u x1 1 x2 1 min .
8		x u, x 0 x0 ;
																					2
		u t					1,				t 0;1 ,						J u		1		x2 t		u 2 t dt	min .
																			1

																		2			0

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

9				x2 ,
			x1	x2 ,
	x	2	x u 2		,
		2		1
	u R,			t 0,1 ,

x1 0 x10 , x2 0 x20 ;

J u	1		1	1	1	t dt min .
		x22			u 2
	2			2
					0

10									x1		0 1,
			x1 x2 ,						x1		0 1,
	x	2	x u2 , x							2	0 1;
		2	1	t 0,1 ,						2
	u t 1,			t 0,1 ,						J u x1 1 x2 1 min .
11			x		u		2	,		x		0 0,
	x		x	2	u			,		x		0 0,
	1			2		1					1		0 1;
	x	2	x 2u				2	,		x		2	0 1;
		2	1				2					2
	u1 t 1;												-1 u2 t 2,		t 0; ,
	u1 t 1;					0; 1;			2 ,				-1 u2 t 2,		t 0; ,			J u x2 u2	t dt min .
																		0
12	x		u ,			x	0 0,
		1	1			1
	x2 u2 ,					x2 0 0;
	u 2	t u		2	t 1,				t 0;1 ,					J u x 1 x		2	1	min .
	1		2											1		2
13	x		u ,			x	0 0,
		1	1			1		0 0;
	x2 u2 ,					x2		0 0;
	u 2	t u		2	t	1,				t 0;1 ,				J u x2	1 x		2 1 min .
	1			2										1		2

14 x u ,		x 0
1	1	1
x2 u2 ,		x2 0
u R 2 ,	t 0,1 ,

1,
0;
J u x2	1 x2	1	1	x2	t u 2	t u 2	t dt min .
1	2			1	1	2
			0

x2 ,

0 0,

x 2tu,

0 0;

0 0

1 u t 4,

t 0, ,

J u x2 x3 min .

u1 u2 ,

x1 0 0,

x 2u

0 0;

u 2

t u

t 1,

t 0; ,

J u

1 min .

x u,

x 0 1;

u t

1, t 0;1 , J u sin x 1 min .

x u,

x 0 1;

0 u t ,

t 0;1 ,

J u cos x 1 min .

x u4 ,

x 0 1;

u t 2;

1; 0; 1;

2 ,

t 0;1 , J u

1 min .

0 2,

x2 u1,

0 1;

i 1,2,

t 0,1 ,

J u x2 1

min .

x2 ,

0 1,

x u,

0 0;

u R,

t 0, ,

J u x2 x2

u 2 t dt min .

x 0

0 u t 2,

t 0;2 ,

t dt

x x u,

J u 2x t 3u t u 2

min .

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

23												u,								x1			0 1,
								x1				u,								x1			0 1,
		x		2				x x								2		,		x	2		0 0;
				2									1			2					2
		u t						1,						t 0;2 ,									J u x2			2 x	2	2 min .
		u t						1,						t 0;2 ,									J u x2			2 x		2 min .
																									1

24		x				x x									2		,		x		0 1,
			1									1			2					1		0 1;
						x2 u,													x2			0 1;
		-1 u											t 2,						t				0;3 , J		u x 3				1	3u 2 t dt min .
		-1 u									2		t 2,						t				0;3 , J		u x 3					3u 2 t dt min .
											2															1			2
																													2	0
25								x2 u1,												x1			0 0,
		x1						x2 u1,												x1			0 0,
		x		2				x u								2		,		x	2		0 0;
				2									1			2					2				2 , t 0;4 ,
		u1 t								1, u2 t 2; 0;																			J u x1 4 x2 4 min .
		u1 t								1, u2 t 2; 0;																			J u x1 4 x2 4 min .

26																															4		u2 t x2 t 6x t sin2t dt min .
		x	u,									x 0 0;									u R, t 0; 4 , J u												u2 t x2 t 6x t sin2t dt min .
																																0
27		x	u,									x 0 1;									u t			2,	t 0;1 ,			J u			1	1	2 t dt min .
																															1	x
																																x
																														2		0

28						x								u		2		,		x		0 1,
		x				x							2	u				,		x		0 1,
			1										2								1		0 1;
					x				2			x ,								x	2		0 1;
									2					1							2
		u t					1,							t 0,1 ,								J u x1 1 x2 1 min .
		u t					1,							t 0,1 ,								J u x1 1 x2 1 min .

	29	x				x								u				,		x		0 1,
			1										2			2					1		0 1;
					x2 u1,															x2			0 1;
		u		t					1,					i 1,2,						t 0,1 ,					J	u x2		1	min .
		u		t					1,					i 1,2,						t 0,1 ,					J	u x2		1	min .
			i																							1
	30	x				x								u				,		x		0 0,
			1										2			2					1		0 0;
					x2 u1,															x2			0 0;
		u		t					1,					i 1,2,						t 0,1 ,					J	u x2		1	min .
		u		t					1,					i 1,2,						t 0,1 ,					J	u x2		1	min .
			i																							1

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.05.20191.37 Mб8Введение отредоктирован.docx
#
30.12.20191.34 Mб0ВВЕДЕНИЕ. Анатомо-физиологический очерк ЧЛО..doc
#
24.12.2019702.98 Кб1Введение. Эл. ток в разл. средах.doc
#
28.12.201958.37 Кб0Ведение полемики2.doc
#
25.03.2015158.72 Кб57версаль.docx
#
25.03.2015949.08 Кб10ВИ_практика_Новое.pdf
#
25.03.201548.64 Кб15видеотекст.doc
#
25.12.201833.93 Кб5Виды и функции налогов.docx
#
25.03.201535.55 Кб902Викторина ( ОБЖ).docx
#
09.03.201677.82 Кб3Винокурова Вероника.docx
#
25.03.2015158.21 Кб41ВИРУСЫ.doc