Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гомельский государственный университет им. Франциска Скорины

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ВИ_практика_Новое

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.03.2015

Размер:

949.08 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

y z'' y C ex C															e x				C			sin x C						cosx							4	e2x ;
y z'' y C ex C														2	e x				C			sin x C					4	cosx								e2x ;
					1									2						3							4		32
																													32
3. Построим экстремаль
y( 2) C e					2	C							e	2 C						sin 2 C						cos 2				4				e 4		2
y( 2) C e						C						2	e	2 C					3	sin 2 C					4	cos 2								e 4		2
		1										2							3						4				32
																													32
																														1
z( 2) C e 2						C							e2		C					sin 2 C						cos 2				1			e 4			2
z( 2) C e 2						C					2		e2		C			3		sin 2 C				4		cos 2							e 4			2
		1									2							3						4					32
																													4
y(2) C e2					C					e 2				C					sin 2 C						cos 2				4			e4 3
y(2) C e2					C			2		e 2				C			3		sin 2 C				4		cos 2							e4 3
		1						2									3						4					32
									e 2																				1
z(2) C e2					C									C				sin 2 C							cos 2				1		e4 1
z(2) C e2					C		2							C			3	sin 2 C					4		cos 2						e4 1
		1					2										3						4					32
																												32
			1 128e2 5e 6												5e6
C																					0.85
C																					0.85
1		64			e 4 e4
		64			e 4 e4
	1 128e 2					5e2								5e 2
C2																					0.02
C2	64				e 4 e									4							0.02
	64				e 4 e									4
C3				1 3e4 64 3e 4															0.86

		128					sin 2
		128					sin 2
				3 e4 64 e 4
C4																6.68
C4		128				cos 2										6.68
		128				cos 2

Таким образом, экстремали примут вид:

z 0.85ex 0.02e x 0.86sin x 6.68cosx 321 e2x ; y 0.85ex 0.02e x 0.86sin x 6.68cosx 4 e2x ;

	32
4. Значение функционала:
	2
J y, z	2 yx zx y 2 z 2 ze2x dx ... 75.02
	2

Варианты

		1	2 y' z' y2 z 2 2 ye x dx;
1	J y, z		2 y' z' y2 z 2 2 ye x dx;
1		0
		0
	y 0 0; z		0 1; y 1 1; z 1 0;

		1	2 y' z' y2 z 2 z sin x dx;
2	J y, z		2 y' z' y2 z 2 z sin x dx;
2		0
		0
	y 0 0; z 0 1; y 1 1; z 1 0;

	J y, z	1	2 y' z' y2 z 2 2cos x dx;
3	J y, z		2 y' z' y2 z 2 2cos x dx;
3		0
		0
	y 0 0; z 0 1; y 1 1; z 1 0;

	J y, z	1	y2 z 2 2 y' z' ye x dx;
4	J y, z		y2 z 2 2 y' z' ye x dx;
4		0
		0
	y 0 0; z 0 1; y 1 1; z 1 0;

	J y, z	1	y2 4 yz z 2 y'2 z'2 2zex dx;
5	J y, z		y2 4 yz z 2 y'2 z'2 2zex dx;
5		0
		0
	y 0 0; z 0 1; y 1 1; z 1 0;

			1	y z 2 y'2	z'2 2 y sin x dx;
6	J y, z			y z 2 y'2	z'2 2 y sin x dx;
6			0
			0
	y 0 0; z 0 1; y 1 1; z 1 0;

			1	y z 2 y'2	z'2 2z cos x dx;
7	J y, z			y z 2 y'2	z'2 2z cos x dx;
7			0
			0
	y 0 0; z 0 1; y 1 1; z 1 0;

	J y, z		1		2 2 y cos x dx;
8	J y, z		2 y' z' y2 z		2 2 y cos x dx;
8			1
			1
	y 1 2; z 1 1; y 1 0; z 1 2;

	J y, z		1		2 2zex dx;
9	J y, z		2 y' z' y2 z		2 2zex dx;
9			1
			1
	y 1 3; z 1 0; y 1 1; z 1 2;

		J y, z		1
10		J y, z		2 y' z' y2 z 2 2z sin x dx;
10				1
				1
		y 1 2; z 1 0; y 1 0; z 1 2;

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

	J y, z		1
11	J y, z		y2 z 2 2 y' z' y cos x dx;
11			1
			1
	y 1 2; z 1 0; y 1 0; z 1 2;

	J y, z		1	x dx;
12	J y, z		y2 4 yz z 2 y'2 z'2 2 ye	x dx;
12		1
		1
	y 1	2; z 1 1; y 1 0; z 1 2;

	J y, z		1
13	J y, z		y z 2 y'2 z'2 2zx dx;
13			1
			1
	y 1 2; z 1 0; y 1 0; z 1 2;

	J y, z		1
14	J y, z		y z 2 y'2 z'2 2xy dx;
14			1
			1
	y 1 1; z 1 0; y 1 0; z 1 2;

	J y, z		2
15	J y, z		2 y' z' y2 z 2 2 y sin x dx;
15			0
			0
	y 0 1; z 0 2; y 2 1; z 2 1;

	J y, z		2
16	J y, z		2 y' z' y2 z 2 2z cos x dx;
16			0
			0
	y 0 1; z 0 2; y 2 1; z 2 1;

	J y, z		2
17	J y, z		2 y' z' y2 z 2 2zex dx;
17			0
			0
	y 0 1; z 0 2; y 2 1; z 2 1;

	J y, z		2
18	J y, z		y2 z 2 2 y' z' z sin x dx;
18			0
			0
	y 0 1; z 0 2; y 2 1; z 2 1;

	J y, z		2
19	J y, z		y2 4 yz z2 y'2 z'2 ze3x dx;
19			0
			0
	y 0 1; z 0 2; y 2 1; z 2 1;

	J y, z		2
20	J y, z		y z 2 y'2 z'2 2 ye2x dx;
20			0
			0
	y 0 1; z 0 2; y 2 1; z 2 1;

	J y, z		2
21	J y, z		y z 2 y'2 z'2 x2 z dx;
21			0
			0
	y 0 1; z 0 2; y 2 1; z 2 1;

	J y, z	2
22	J y, z	2 y' z' y2 z 2 ze2x dx;
22		2
		2
	y 2 0; z 2 2; y 2 3; z 2 1;

	J y, z	2
23	J y, z	2 y' z' y2 z2 2 ye x dx;
23		2
		2
	y 2 0; z 2 2; y 2 3; z 2 1;

	J y, z	2
24	J y, z	2 y' z' y2 z2 2 ye x dx;
24		2
		2
	y 2 0; z 2 2; y 2 3; z 2 1;

	J y, z	2
25	J y, z	y2 z 2 2 y' z' 2ze x dx;
25		2
		2
	y 2 0; z 2 2; y 2 3; z 2 1;

	J y, z	2
26	J y, z	2 y' z' y2 z 2 2z sin x dx;
26		1
		1
	y 1 2; z 1 0; y 2 0; z 2 2;

	J y, z	2
27	J y, z	y2 z 2 2 y' z' y cos x dx;
27		2
		2
	y 2 2; z 2 0; y 2 0; z 2 2;

	2
J y, z y2 4 yz z 2 y'2 z'2 2 ye 2x dx;
	2
y 2 3; z 2 0; y 2 1; z 2 2;

	J y, z	2	dx;
29	J y, z	y z 2 y'2 z'2 4xz	dx;
29		2
		2
	y 2 2; z 2 0; y 2 0; z 2 2;

	J y, z	2	dx;
30	J y, z	y z 2 y'2 z'2 4xz	dx;
30		2
		2
	y 2 1; z 2 0; y 2 0; z 2 2.

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

Лабораторная работа №4 Задача с функционалом, зависящим от производных высших порядков

Теорема (Эйлера-Пуассона)

Для того, чтобы фукнционал

I ( y) F(x, y, y', y'')dx

определенный на множестве фукнций

y x C 2

удовлетворяющих условиям

y a c , y b d и

y' a c

, y' b d

, достигал

[a,b]

экстремума

на данной функции

y x необходимо,

чтобы

эта фукнция

удовлетворяла

уравнению Эйлера-Пуассона:

d 2F

y''

0. (уравнение Эйлера-Пуассона)

(5)

dx2

Если функционал зависит от производных более высоких порядков, то уравление ЭйлераПуассона будет иметь вид:

Fy	dFy'	d	2	Fy''	... 1 n	d n F	y	n	0
						dxn
	dx		dx2

и дополняться 2n граничными условиями: значения искомой фукнции и ее производных до n 1 -го порядка включительно и на концах интервала a,b должны равняться заданным величинам.

Задание:

1.Составить уравнение Эйлера;

2.Найти общее решение уравнения;

3.Построить экстремаль;

4.Вычислить значение фукнционала.

Пример

J y y''2 4 y' y'' y'2 4 ye x dx;

y 0 1, y 2 4; y' 0 0, y' 2 1

1. Составляем уравненеие Эйлера:

d 2

dx2

yxx

4e x ,

4 y xx

2 y x ,

4 y xxx

2 y xx ,

y x

dx y x

2 y xx

4 y x

2 y xxx

4 y xx

d 2

2 y xxxx

4 y xxx ;

y xx

dx 2

y xx

4e x 4 y 3 2 y' ' 2 y 4 4 y 3 0,

y 4 y' ' 2e x

2. Находим общее решение уравнения:

y 4 y'' 2e x

y y0 y1,

: 4 2

3,4

1 y

C C

x C

e x

e x ;

1,2

: y Axe

x , y ' 1 x Ae

x , y '' 2 x Ae

x y

(4) 4 x Ae x

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

x 4 x 2 Ae x 2e x , A 1 y xe x
																					1
y C C			2	x C					3	e x C					4	e x xe x
1			2						3						4
3. Строим экстремаль:
																									5e4 17e2 17 e 2
																							C							6.43,
																							C				4 e2 1			6.43,
																							1
y 0 : C1 C3 C4 1,
y 0 : C1 C3 C4 1,																							C			1	5e2 2 e 2		8.7,
																										1
y 2 : C 2C						2		C				3	e2 C				4	e 2		2e 2		4,		2	4
1						2						3					4						→
y' 0 : C		C					C						1 0,										→			5e2 8 e 2
y' 0 : C	2	C			3		C				4		1 0,													5e2 8 e 2
	2				3						4												C3				4 e2 1		1.14,
y' 2 : C2 C3e								2	C4e					2		e			2	1			C3						1.14,
								2						2					2

																							C4			5e4 8e2 5		8.56
																							C4				4 e2 1	8.56
																											4 e2 1

y 6.43 8.7x 1.14e x 8.56e x xe x – экстремаль.

4. Вычисляем значение функционала:

y' 8.7 1.14e x 8.56e x e x xe x 8.7 1.14e x 7.56e x xe x , y'' 1.14e x 7.56e x e x xe x 1.14e x 6.56e x xe x ,

J y 2 yxx 2 4 yx yxx yx 2 4 ye x dx ... 35.71;

Варианты:

	1	y'' 2 y'2 y2 2 ye x dx;
1	J y
	0

	y 0 2; y 1 0; y' 0 1; y' 1 1;
	1	y''2 y2 2 y sin x dx;
2	J y
	0

	y 0 2; y 1 0; y' 0 1; y' 1 1
	1	y''2 4 y' y'' y'2 2 ye x dx;
3	J y
	0

	y 0 2; y 1 0; y' 0 1; y' 1 1
	1	y''2 y' y'' y'2 2 ye x dx;
4	J y
	0

	y 0 2; y 1 0; y' 0 1; y' 1 1
	1	y''2 y'2 4 ye x dx;
5	J y
	0

	y 0 2; y 1 0; y' 0 1; y' 1 1
	1	y''2 y'2 yy' yx dx;
6	J y
	0

	y 0 2; y 1 0; y' 0 1; y' 1 1
	1	y''2 2 y'2 y2 2 ye x dx;
7	J y
	0

	y 0 2; y 1 0; y' 0 1; y' 1 1

	J y		1	y''2 y2 ye x dx;
8	J y			y''2 y2 ye x dx;
8			0
			0
	y 0 2; y 1 0; y' 0 1; y' 1 1;
	J y		1	y''2 3y' y'' y'2 2xy dx;
9	J y			y''2 3y' y'' y'2 2xy dx;
9			0
			0
	y 0 2; y 1 0; y' 0 1; y' 1 1;
		J y		1
10		J y		y''2 4 y' y'' y'2 2 y sin x dx;
10				0
				0
		y 0 2; y 1 0; y' 0 1; y'			1 1;
		J y		1
11		J y		y''2 y'2 2 ye x dx;
11				0
				0
		y 0 2; y 1 0; y' 0 1; y'			1 1;
		J y		1	x dx;
12		J y		y''2 y'2 4 yy' 2 ye	x dx;
12				0
				0
		y 0 3; y 1 1; y' 0 0; y'			1 1;
		J y		1
13		J y		y''2 2 y'2 y2 2 y sin x dx;
13				1
				1
		y 1 1; y 1 2; y' 1 1; y' 1 1;
		J y		1
14		J y		y''2 y2 2 y cos x dx;
14				1
				1
		y 1 1; y 1 2; y' 1 1; y' 1 1;

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

	J y	1
15		y''2 4 y' y'' y'2 2 ye x dx;
		1

	y 1 1; y 1 2; y' 1 1; y' 1 1;
	J y	1
16		y''2 y' y'' y'2 ye x dx;
		1

	y 1 1; y 1 2; y' 1 1; y' 1 1;
	J y	1
17		y''2 y'2 4xy dx;
		1

	y 1 1; y 1 2; y' 1 1; y' 1 1;
		1
18	J y, z y''2 y'2 2 yy' ye x dx;
		1

	y 1 1; y 1 2; y' 1 1; y' 1 1;
	J y	2
19		y''2 2 y'2 y2 2 ye x dx;
		0

	y 0 1; y 2 4; y' 0 0; y' 2 1;
	J y	2
20		y''2 y2 2 ye x dx;
		0

	y 0 1; y 2 4; y' 0 0; y' 2 1;
	J y	2
21		y''2 3y' y'' y'2 4 ye x dx;
		0

	y 0 1; y 2 4; y' 0 0; y' 2 1;
	J y	2
22		y''2 4 y' y'' y'2 4 ye2x dx;
		0

	y 0 1; y 2 4; y' 0 0; y' 2 1;
	J y	2
23		y''2 y'2 2 ye x dx;
		0

	y 0 1; y 2 4; y' 0 0; y' 2 1;

	2	y''2		dx;
24	J y	y''2	y'2 2 yy' 2xy	dx;
24	0
	0
	y 0 1; y 2 4; y' 0 0; y' 2 1;
	2	y''2	2 y'2 2 y2 4xy dx;
25	J y	y''2	2 y'2 2 y2 4xy dx;
25	0
	0
	y 0 1; y 2 4; y' 0 0; y' 2 1;
	1	y''2	4 y' y'' y'2 2 y sin x dx;
26	J y	y''2	4 y' y'' y'2 2 y sin x dx;
26	0
	0
	y 0 2; y 1 0; y' 0 1; y'			1 1;
	1	y''2	y'2 2 ye x dx;
27	J y	y''2	y'2 2 ye x dx;
27	0
	0
	y 0 2; y 1 0; y' 0 1; y'			1 1;
	1	y''2		x dx;
28	J y	y''2	y'2 4 yy' 2 ye	x dx;
28	0
	0
	y 0 3; y 1 1; y' 0 0; y'			1 1;
	1
29	J y y''2 2 y'2 y2 2sin x dx;
29	1
	1
	y 1 1; y 1 2; y' 1 1; y' 1 1;

	1		2 y cos x dx;
30	J y y''2	y2	2 y cos x dx;
30	1
	1
	y 1 1; y 1 2; y' 1 1; y' 1 1.

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

Лабораторная работа №5 Изопериметрическая задача.

Задача отыскания среди всех кривых y x C(1)	, удовлетворяющих условиям y a c ,
[a,b]

y b d (граничные условия), кривой, доставляющей экстремум функционалу

J ( y) F(x, y(x), yx (x))dx (целевой функционал) при выполнении условия

K ( y) G(x, y(x), yx (x))dx l (условие связи) называется изопериметрической задачей.

Изначально под изопериметрической задачей понималась лишь частная задачи (задача Дидоны): среди всех замкнутых кривых, имеющих заданную длину, найти ту, которая охватывает наибольшую площадь (задача с фиксированным периметром).

	b
Теорема Если кривая y x дает экстремум функционалу J ( y) F(x, y(x), yx (x))dx ,
	a
b
удовлетворяет условиям K ( y) G(x, y(x), yx (x))dx l , y a c ,	y b d и не является

экстремалью функционала K y , то существует такая постоянная , что эта кривая y x

является экстремалью функционала F G dx(функционал Лагранжа).

Таким образом, для решения изопериметрической задачи: составляется функционал Лагранжа, для него строится уравление Эйлера, находится общее решение полученного дифференциального уравления, содержащее параметр и две произвольные постоянные. Исходя из граничных условий и условия связи находятся параметр и произвольные постоянные, строится экстремаль задачи.

Задание:для задачи а) лабораторной работы 2 с соответствующими граничными условиями

1.Составить фукнционал Лагранжа;

2.Составить для него уравнение Эйлера;

3.Найти общее решение уравнения;

4.Построить экстермаль задачи;

5.Вычислить значение функционала;

6.Сравнить значение с резульататми лабораторной работы 2.

Пример

J y y'2 4 y2 8y cosx 4x2 dx, y 0

y 2 1,

sin x y dx 5

Решение

Составляем функционалЛагранжа:

F x, y, yx , y'2 4 y 2 8 y cos x 4x2

sin x y ;

d F

y 8y 8cos x ,

2 y' ,

2 y'' ;

y'' 4y 4cosx

–уравнение Эйлера.

3. Находим общее решение уравнения:

y y0 y1 ;

2 4 0;

C e2x C

e 2x

1.2

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

б) y1 Asin x B cos x D; y1' Acos x B sin x;

y1'' Asin x B cos x;

	Asin x B cos x 4 Asin x 4B cos x 4D 4cos x																																																											1		;
	Asin x B cos x 4 Asin x 4B cos x 4D 4cos x																																																										2			;
																																																											2
	A 0,			B				4		,		D											1				;
	A 0,			B				5		,		D											8				;
								5															8
y C e2x					C				e 2x											4					cosx											1		;
y C e2x					C			2	e 2x																cosx													;
	1							2											5																8
																			5																8
2																													4											1
	sin x C1e2x C2e 2x																														cos x														dx 5
	sin x C1e2x C2e 2x																														cos x														dx 5
0																													5											8
				1			C e2x									1										e 2x											4									1					2
				1												1																					4									1					2
	cos x																		C																				sin x									x							5
	cos x																		C																				sin x									x							5
				2			1									2								2													5									8					0
																																																			0
cos 2			1			C e4							1	C							e 4										4		sin 2									1		1								1		C					1			C			5
cos 2						C e4								C							e 4												sin 2											1										C								C			5
		2					1						2					2													5										4									2					1			2						2
2 e4		1 C							2 1 e 4 C																						4cos 2														16			sin 2 16
2 e4		1 C							2 1 e 4 C																				2		4cos 2																	sin 2 16
							1																						2																5
																																			e4				1 C						5
y C e2x									e 2x										4																e4				1 C							1 e 4 C											2			2cos 2						2
				C				2																cos x																			1														2										sin 2		2;
				C																				cos x																																											sin 2		2;
	1																		5																														4																	5
																			5																														4																	5
4. Находим экстремаль:																																		1 e 4 C
y 0 C1 C2											4						e4 1 C																	1 e 4 C													2		2cos 2											2
																															1																2																sin 2 2 1,
											5																												4																					5			sin 2 2 1,
											5																												4										1 e 4 C											5
y 2 C e4											e 4										4																e4 1 C												1 e 4 C									2			2cos 2					2
							C			2															cos 2																				1													2										sin 2		2	1
							C																		cos 2																																											sin 2		2	1
	1																				5																													4																5
																					5																													4																5
5 e4 C 3 e 4 C																										2				4sin 2 5cos 2 18																							,
5 e4 C 3 e 4 C																										2																											,
				1																		2																			5
				1																		2

3e4 1 C							5e 4								1 C													2				4sin 2 13cos 2 10																								,
3e4 1 C							5e 4								1 C											2		2																												,
				1																						2																	5
																																											5

C1 0.012;

C2 1.832;

1 0.012 1 e 4 1.832 2cos 2

y 0.012e2x 1.832e 2x

cos x

sin 2

1 0.012

y 0.012e2x 1.832e 2x

0.8cos x

1 e 4 1.832 2cos 2

sin 2

y 0.012e2x 1.832e 2x 0.8cos x 2.039;

Проверим, удовлетворяет ли полученная экстремаль условию связи:

sin x 0.012e2x 1.832e 2x 0.8cos x 2.039 dx

cos x 0.006e2x 0.916e 2x 0.8sin x 2.039 x

5.001

5. Вычисляем значение на экстремали:

J y y'2 4 y 2 8 y cos x 4x2 dx 27.265

Сравним результаты с лабораторной работой 2 (больше/меньше/равно и почему)

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

Вариант

b	b			b	sin x y dx 6 ;
Вариант 1 ydx 1 ;	Вариант 11 ydx 2 ;			Вариант 21	sin x y dx 6 ;
a	a			a
b	b			b	x2 y dx 8 ;
Вариант 2 ydx 4 ;	Вариант 12 ydx 6 ;			Вариант 22	x2 y dx 8 ;
a	a			a
b	b			b	y y' dx 3 ;
Вариант 3 ydx 0.5 ;	Вариант 13 ydx 4 ;			Вариант 23	y y' dx 3 ;
a	a			a
x	b			b
Вариант 4 2ydx 2 ;	Вариант 14 ydx 4 ;			Вариант 24	y y' dx 3 ;
x1	a			a
x1	x			b
b	x	2		b	y y' dx 16 ;
Вариант 5 ydx 1 ;	Вариант 15 ydx 1 ;			Вариант 25	y y' dx 16 ;
a	x1			a
a	x1			b
b	b	x y dx 4 ;		Вариант 26 x y y' dx 8 ;
Вариант 6 ydx 1 ;	Вариант 16	x y dx 4 ;		Вариант 26 x y y' dx 8 ;
a	a			a
a	a			b
b	b			b
b	b	x y dx 6 ;		Вариант 27 x y y' dx 8 ;
Вариант 7 ydx 3 ;	Вариант 17	x y dx 6 ;		Вариант 27 x y y' dx 8 ;
a	a			a
a	a			b
b	b	x2	y dx 4 ;	b
b	b			Вариант 28 x y y' dx 6 ;
Вариант 8 ydx 3 ;	Вариант 18			Вариант 28 x y y' dx 6 ;
a	a			a
a	a			b
b	b	x2	y dx 5 ;	b
b	b			Вариант 29 sin x y y' dx 10 ;
Вариант 9 ydx 2 ;	Вариант 19			Вариант 29 sin x y y' dx 10 ;
a	a			a
a	a			b
b	b			b
b	b	sin x y dx 5 ;		Вариант 30 sin x y y' dx 8 ;
Вариант 10 ydx 2 ;	Вариант 20	sin x y dx 5 ;		Вариант 30 sin x y y' dx 8 ;
a	a			a
a	a

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

Лабораторная работа № 6 Задача с подвижными концами. Условия трансверсальности.

Пусть функционал
J y F x, y x , yx x dx		(6)
L
задан на множестве всех гладких кривых L y x C(1)	: левый конец уравнения лежит на
[a,b]
заданной кривой y x , правый конец уравнения лежит на заданной кривой		y x

(смотрите рисунок). Задача нахождения среди всех кривых L такой линии

x , что она

доставляет экстремум функционалу (6) называется задачей с подвижными концами.

y=φ(x)

y(x)

y=ψ(x)

ТеоремаКривая y x L ,

является решением задачи с подвижными концами, если для нее

выполняется уравнение Эйлера и условия трансверсальности:

x y

x a

(7)

x y

x b

где a, y a и b, y b – концы кривой

y x (при этом y a a и y b b ).

О кривой y x C(1) , удовлетворяющей условиям(7), говорят, что она трансверсальна кри-

[a,b]

вым на линиях y x и y x .

На следующем рисунке представлен случай, когда свободен правый конец кривой.

y					L
					L
		y(x)			y=ψ(x)
					y=ψ(x)
c	P
	P		y x
			y x
0 a				b	x

Для решения вариационной задачи с подвижными концами нужно:

1) записать и решить соответствующее уравнение Эйлера F d F 0 ;

y dx y

2) найти значения входящих в его общее решение двух произвольных постоянных из условий трансверсальности.

Для функционалов, зависящих от нескольких функций (например двух) задача с подвижными концами сводится к отысканию экстремалей, концы которых лежат на двух фиксированных поверхностях x y, z и x y, z . Для такой постановки задачи кривая должна удовлетворять уравнениям Эйлера

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

F	d	F	0,	F	d	F	0

y	dx yx			z	dx zx

и условиям трансверсальности, которые примут вид:

F yx

x a

F y

x a

0, .

F y

x b

F y

x b

Задание.Для фукнционала а) из лабораторной работы №2 найти экстремаль при условии, что левый конец кривой закреплен: y a c , а правый конец движется по заданной линии y x :

1.Составить уравнение Эйлера;

2.Найти общее решение уравнения;

3.Построить экстермаль задачи, вычислив значения двух произвольных постоянных из условия трансерсальности для правого конца и заданного значения y(a) c для левого;

4.Вычислить значение функционала.

Пример

J y y'3 dx,

y 0

b 0

Решение

1. Составляем уравнение Эйлера: F

dx yx

3y'

d F

3y''

0 y''

dx yx

2. Находим общее решение уравнения Эйлера: y C1x C2;

3. Строим экстремаль задачи.

Из условия y 0

1/ 3 C1 0 C2

1/ 3 C2

1/ 3;

y Cx 1/ 3;

Из условия трансверсальности

x y

0 и принадлежности правого конца

x b

экстремали заданной линии b, b :

y'3 3y'2 x y'

C3 3C 2 x C

C3 3C 2 b C 0,

x b

C3 3C 2 b C 0 C 2 3b 2C 0;

C 2

3b 2C 0,

C 2

3b 2C 0,

1/ 3 b2 / 2

b2 / 2 2 / 3

из второго уравнения системы ясно, что C 0

, отсюда b

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.05.20191.37 Mб8Введение отредоктирован.docx
#
01.04.20251.34 Mб0ВВЕДЕНИЕ. Анатомо-физиологический очерк ЧЛО..doc
#
01.03.2025702.98 Кб2Введение. Эл. ток в разл. средах.doc
#
01.04.202558.37 Кб1Ведение полемики2.doc
#
25.03.2015158.72 Кб62версаль.docx
#
25.03.2015949.08 Кб10ВИ_практика_Новое.pdf
#
25.03.201548.64 Кб16видеотекст.doc
#
25.12.201833.93 Кб5Виды и функции налогов.docx
#
25.03.201535.55 Кб903Викторина ( ОБЖ).docx
#
01.05.2025164.35 Кб0Вильковская В.В. Тема № 3. ПОЛИТИЧЕСКАЯ ВЛАСТЬ...doc
#
09.03.201677.82 Кб3Винокурова Вероника.docx