ВИ_практика_Новое

Функция y y(x),

x [a,b] непрерывная вместе со своей первой производной и удовлетво-

ряющая условию y(a) c,

y(b) d называется допустимой кривой.

Обозначим через Y {y C[(1a),b] : y(a) c, y(b) d}

– множество всех допустимых кривых. Ка-

ждой

допустимой

кривой

y Y

поставим

в

соответствие

функционал

b

F (x, y, z) C(2) .

I ( y) F(x, y(x), yx (x))dx ,

где функция

Основная задача вариационного ис-

a

числения(ОЗВИ) имеет вид:

I ( y) min,

y Y

(1)

Допустимая кривая y0 Y

называется минималью,

если I ( y0 ) I ( y), y Y .

y0 Y называется слабой минималью и обозначают СМ, если I ( y0 ) I ( y), y Y

для неко-

торого 0 . Здесь Y

-окрестность в пространстве C[(1a),b] кривой y0 :

Y

yx0 (x) yx (x)

{y Y :

y0 (x) y(x)

,

, x [a,b]} .

Задание

1. Подобрать значения A и B для условия допустимости кривых y a 1, y b 1

а)

y

Ax B ; б) y

2

Ax 2 Bx C ; в)

y

3

Asin x B ; г) y

5

Ae x B .

1

2. Вычислить значение фукнционала для полученных фукнций;

3. Сравнить полученные значения и выбрать лучшую функцию для задачи минимизации

Пример

2

J y y'2 4 y2 8y cosx 4x2 dx, y 0 1,

y 2 2 .

0

а)

y

Ax B ; б) y

2

x 2 Ax B ; в) y

3

Asin x B ; г)

y

4

Ae x

B .

1

1. Подберем значения коэффициентов A и B для заданного условия допустимости кривой

а)

y1

Ax B

y1

0 A 0 B 1

B 1

B 1

1

y

2 A 2 B 2

A 2 1 2 A 1 2

y1

x 1;

2

1

б) y2 x 2 Ax B

y

0 0 A 0 B 1

B 1

B 1

2

y2 x2 1.5x 1;

3

y2

2 4 A 2 B 2

4 2A 1

2

A

B

2

в)

y3 Asin x B

y3 0 A 0 B 1

B 1

B 1

y3 33.33sin x 1;

1

y3 2 A sin 2 B

2

Asin 2 1

A

sin 2

г)

y4 Ae x B .

e

2

2

y

0 A 1 B 1

A B 1

B

4

2

e

1 y4

0.16e x 0.84;

2 A e2 B

2

y

A e2 1 1

A

1

4

2

e

1

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

1