Termeh_shpory

 где и  - масса и расстояние от оси  вращения   частицы

 твердого   тела ,  - его угловая скорость. Обозначив вел, стоящую в круглых скобках, через I, получим  

где I - так наз  момент  инерции  твер   тела  относит оси00':

48.

𝜔 – угловая скорость, - расстояние до точки, кот в данный момент вращается

;

35,36 Будем рассматривать р-е ур-ий дв-я кол-ся мех-ой сис-мы в лин прибл.,т.е когда будем строить ф-ю Лагранджа,то ф-ии будет реализовывать разложение слагаемых до 2ого порядка по оклон.обобщающих координ.от состояния устойчивого равновесия. L(ϕ,ψ,ϕ,ψ)Пусть механич.сис-ма имеет r степеней свободы.Эта механич.сис ма определ-ся обобщ.коорд. коорд-ми q_1,q_2….q_r..Обозначим q_r,где L=1,2….r,тогда L=L(q_λ,q_λ)=T-U(q_λ)Будем рассматривать состо-я мех сис-мы,где потенц.энергия минимальна.X_λ=q_λ-q⁽⁰⁾_λ отклон.обобщ.коорд-ты от положения равновесия. U(q_λ)=U(q⁽⁰⁾_λ+x_λ)= U(q⁽⁰⁾_λ)++ +…. T= Ф-ю Лагранжа для колеб.многомерной сис-мы в лин.приближении можем записать в виде L= где координаты опред.пар-ми коэ-ты

57.L^{ T}L^=L^L^{ T}=I-усл ортогональности.Матр L облад св-ми ортогон наз матр Лор. x_'=L_xx_ (1);x’=L^x(1’)- преобр Лор.Из опр этой матр след частн преобр Лор. x₁’=L₁₁x₁+L₁₄x₄;x₂’=x₂;x₃’=x₃;x₄’=L₄₁x₁+L₄₄x_4; L₁₁²+L₄₁²=1

L₁₁L₁₄+L₄₁L₄₄=0 ; L₁₄²+L₄₄²=1

x'=L₁₁x+L₁₄x₄;L₁₁x+L₁₄ict=0(3);L₁₄/L₁₁=-i

L₁₁=1/1-^{2 ;} L₄₄=1/1-² ;L₁₄=i/1-² ;L₄₁= -i/1-²

(1/1-²)+(²/1-²)=(1/1-²)-док-ли L₁₁

x₁’=(x/1-²)+(x₄i/1-²);x₄’=(-ix/1-²)+(x₄/1-²);x’=(x-t)/1-²;ict’=(i(/c²)x+ict)/1-² t’=(t-(/c²)x)/1-²; =/c;

L^= 1/1-² 0 0 i/1-² 0 1 0 0 -i/1-² 0 0 1/1-² 0 0 1 0

x’=(x-t)/1-²; y=y’ z=z’ -частные преобра Лоренца

t’=t-(/c²)x/1-²

<<cx=x’-t;y’=y;z’=z;t’=t(обычные преобразования Галилея).

50 ,-относительная (локальная) производная. Производная вектора А связана с переносным вращательным движением.

55.Ориентация вращ-ия ТВ.тела опр-ся углами Эйлера:

-прецесионный угол, θ -нутационный,

ψ -угол собств.вращения ТВ.тела.

В мех-ке вращ.тв.тела эти 3 угла явл.обобщ.коорд.и

Они явл.3 степ. свободы ТВ.тела.

X=L-ось Lили ось узлов Нутационное вращение со временем мен-ся(θ); I1=I2=I3;L=T-U==L( θ , ψ, θ , ψ); θ , ψ;

W=W1n1+W2n2+W3n3= n3+ θ n3+ ψ n3;W3= ψ+ θ;

N3=an3+bn3;n1=an2+bn1;a=sin ψ;

B=cos ψ;W1= sin ψ sin θ+ θ cos ψ;

W2= cos ψ sin θ- θ sin ψ

56Дифференциальное уравнения вращательного движения твердого тела может быть получено, исходя из теоремы об изменении кинетического момента

это кинети момент тела относительно оси вращения.принимая получимили через угол вращения. (1) это есть уравнение вращательного движения(в диф.форме) твердого тела. Используя уравнение (1)можно решать следующие две основные задачи динамики вращательного движения твердого тела:

1) Зная вращательный момент, найти закон вращения тела или его угловую скорость w , т.е. j =f(t).

2) Зная закон вращения, т.е. j =f(t), найти вращательный момент внешних сил.

Частный случай:

Если то тело вращается равноускоренно, т.е. e =const.

19.z₁=0, z₂=0 – ур-ия связи y₁=0, y₂=0 x₁+x₂+=0 – длина нерастяжимой нити. Эта система имеет одну степень свободы. Используем общее ур-ие динамики: +=0; +=0, поскольку , тогда получаем: =0, тогда , поскольку из , то .

11. Будем рассматривать движение маятника при условии, что угол отклонения мал, тогда, если измерять угол в радианах, справедливо утверждение: На тело действуют сила тяжести и сила натяжения нити. Равнодействующая этих сил имеет две составляющие: тангенциальную, меняющую ускорение по величине, и нормальную, меняющую ускорение по направлению (центростремительное ускорение, тело движется по дуге).Т.к. угол мал, то тангенциальная составляющая равна проекции силы тяжести на касательную к траектории:Угол в радианах равен отношению длины дуги к радиусу (длине нити), а длина дуги приблизительно равна смещению (x »s): Сравним полученное уравнение с уравнением колебательного движени

Аналогичные вычисления можно проделать с помощью закона сохранения энергии. Учтем, что потенциальная энергия тела в поле тяготения равна а полная механическая энергия равна максимальной потенциальной или кинетической: Запишем закон сохранения энергии и возьмем производную от левой и правой частей уравнения: Т.к. производная от постоянной величины равна нулю, то Производная суммы равна сумме производных:

Следовательно

20.Н.У. , , m=(0,-mg), =(-, -)= (-, -);

m= m; ; Пусть ;; =0; =0; ; ; ; x=C₁e^0t+ C₂e^-kt= C₁+ C₂^-kt; t=0; 0= C₁+ C₂; C₁= -C₂; =- C₁e^-kt(-k)= C₁ke^-kt

C₁=V₀cosα/k;

=-g; y=y₀+; =0; =0; x₁=0; y₀= C₃+ C₄^-kt; t=0; C₃+ C₄=0; C₃=- C₄; y₀= C₃(1-e^-kt); ; t=0; V₀sinα=; = V₀sinα/k; y₀= V₀sinα()/k; kA=-g; A=-g/k; ;

–кинем-ий з-н

h_max если t, =0; V₀sinα=g/k; g/k V₀sinα; t=-ln(g/k V₀sinα)/k; l= V₀cosα/k- gcosα/k²sinα;

h= V₀sinα (1- g/k V₀sinα) /k + g ln(g/k V₀sinα)/k²

44.В гамильтоновой механике каноническое преобразование — это любое преобразование фазового пространства системы, сохраняющее его симплектическую структуру.Канонические преобразования обычно задаются производящей функцией. Пусть F(q,Q,t) — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени: Тогда она задаёт каноническое преобразование по правилугде (q,p) — старые координаты и импульсы системы, а (Q,P) — новые координаты и импульсы.Действие, выраженное как функция координат и импульсов конечной точкизадаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы.