ПРИМАТ / лекция2

Лекция 2

Элементы тензорного исчисления.

Преобразование координат.

, - две системы координат.,

прямое преобразование

существует обратное преобразование

АВ = E

А и В – взаимообратные преобразования

введём базисные вектора

Аналогично в той же точке М введем

- ковариантное преобразование

- контрвариантное преобразование

- инвариант относительно преобразования системы координат

- вектор

Полиадное произведение

Т – тензор второго ранга

и т.д.

тензор п - ого ранга

3⁰

3¹

3²

3ⁿ

Свойства тензоров

1. Сложение А+В=С

2. Умножение на число С=kA

3. Внешнее произведение С=AB

4. Свертка

5. Перестановка индексов

6. Симметричность по 2-м индексам

7. Антисимметричность по 2-м индексам

8. След тензора

9. Симметрирование

10.Альтернирование

11. Шаровой тензор (изотропный) , λ – скаляр

12. Девиатор

,

13. Метрический тензор

14. Ковариантный базис

15. Характеристическая поверхность

инвариант

16. Главные значения и главные направления симметричного тензора второго ранга

главные оси

- собственные значения

Производная по направлению

Дивергенция вектора

Оператор Лапласа

Ротор вектора

Примеры

1. Выпишите в раскрытом виде функцию в двух случаях

1. 

2. 

2. Выпишите компоненту а₂

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

3. Выпишите I₁, I₂, I₃ через главные компоненты тензора Т.

4. Покажите, что

5. Докажите, что

6. Докажите, что

7. 

1. Вычислить все компоненты

2. Вычислить все компоненты

3. Вычислить свёртку

8. 

1. Вычислить свёртку

2. Вычислить свёртку

3. Вычислить , если .

9. 

1. Найти компоненты вектора .

2. Найти проекцию вектора на задаваемое вектором с компонентами {3/5, 0, -4/5}.

3. Вычислить .

4. Вычислить производную по направлению вектора , то есть величину .