ПРИМАТ / основы теор фильтр

Основные понятия теории фильтрации. 10

Раздел 1

Раздел 1.

Основные понятия теории фильтрации .

Пористость. Основная характеристика пористой среды - это параметр пористости - объемная доля открытого пространства, незанятого грунтом и насыщенного жидкостью или газом. Для однородного пласта пористость - константа, равная отношению объема пор в образце к объему самого образца , т.е.

(1.1).

Если же образец неоднороден, тогда формула (1) задает среднюю пористость в образце. А локальную пористость, являющуюся скалярной функцией пространства :

, (1.2)

(тут предел берется в том смысле, что объем мал по сравнению с характерными размерами задачи, например мощности пласта, но включает в себя достаточно большое число пор).

Отметим, что если скелет деформируем, то пористость будет зависеть и от времени, так как сама пористая среда может менять свои характеристики как под внешним воздействием (например, изменением давления и температуры) так и при взаимодействии с фильтратом.

Можно ввести поверхностную долю пористого пространства, называемую просветностью s, которая определяется по отношению площади пор (просветов) плоского сечения образца ко всей площади сечения, при этом s будет зависеть от сечения, т.е. от его ориентации, определенной нормалью . В общем случае неоднородной среды просветность будет функцией пространства и времени

(1.3)

Помимо пористости и просветности, существенным также является характерный размер порового пространства , в качестве которого можно рассматривать некоторое среднее значение радиуса порового канала, размера трещин или диаметр частицы грунта.

Скорость фильтрации. Для любой точки Мпористой среды через элементарную площадку с нормалью . в единицу времени протекает масса жидкости. . Массовый расход жидкости может быть вычислен по объемному расходу Q и плотности жидкости := Q. Отношение /при .называется скоростью фильтрации в направлении :

(1.4)

Подчеркнем, что расход делится на полную площадь . Если рассмотреть отношение расхода к «истинной» площади течения получим проекцию скорости движения частиц фильтрующейся жидкости в направлении нормали . Отсюда следует соотношение между скоростью фильтрации и скоростью движения:

, (1.5)

где s - параметр просветности. Из этого соотношения следует, что в общем случае неоднородной среды просветность не скалярная и даже не векторная, а тензорная функция. Однако если среда однородна, т.е. ее свойства не зависят от направления, пористость m и просветность s равны и соотношение (1.5) можно переписать:

(1.6)

Связь между вектором скорости фильтрации и тем полем давления, которое вызывает фильтрационное движение, задается законом фильтрации Дарси, который для каждой точки изотропной среды записывается в виде линейной зависимости:

= (1.7)

Здесь - вязкость жидкости, - приведенное давление с учетом силы тяжести, p - давление в жидкости, а параметр k называется проницаемостью (имеет размерность площади, не зависит от свойств жидкости и является чисто геометрической характеристикой пористой среды).

Для определения параметра проницаемости используется уравнение Козени-Кармана, полученное на основе аналогии между пористой средой и системой параллельных трубок, выражающее проницаемость через удельную поверхность и пористость т:

. (1.8)

Удельную поверхность высчитывается по отношению площади поверхности пустотного пространства пор ко всему объему пористой среды V: .

Постоянная k определяется по опытным данным и оказывается разной для пористых сред различной структуры

Если пористая среда не изотропна, то в произвольной ортогональной декартовой системе координат , и компоненты вектора gradp выражаются через компоненты вектора следующим образом:

(1.9)

где — некоторый тензор. В случае безынерционных движений компоненты тензора могут зависеть только от вязкости жидкости и тех или иных геометрических характеристик пористой среды. Аналогично получаем

(1.10)

где — симметричный тензор проницаемости зависит только от геометрических характеристик пористой среды и имеет размерность площади. Зависимость (1.10) описывает закон Дарси для анизотропной пористой среды.

При значительных скоростях, когда уже нельзя не учитывать инерционной составляющей сопротивления движению жидкости, предпосылки, заложенные при выводе закона Дарси, перестают быть справедливыми. К числу определяющих параметров следует добавить число Рейнольдса , а сам закон фильтрации Дарси перестанет быть линейным и записывается в двучленном виде, предложенном Форхгеймером:

(1.11)

Здесь в качестве характерного размера a принята величина и учтено, что при должен быть справедлив закон Дарси. (1.11) хорошо описывает данные наблюдений для чисел Рейнольдса больших критических чисел Рейнольдса (0,1 —10) вплоть до 100. Коэффициент является функцией пористости. Уравнение (1.11)

можно преобразовать к виду:

,

где -структурный коэффициент, характеризующий извилистость и непостоянство сечения поровых каналов. Параметры k и , вообще говоря, являются независимыми характеристиками пористых сред, однако для большого класса пористых сред между ними можно установить некоторую зависимость. Ширковским А.И. установлена статистическая корреляционная зависимость вида:

.

В задачах теории фильтрации нефти и газа в природных пластах применение двучленного закона ограничено движением в прискважинной зоне высокодебитных скважин и фильтрацией в трещиноватых средах.

Кроме того, для высокодебитных скважин в условиях нарушения линейного закона Дарси используются также степенные зависимости между градиентом давления и скоростью фильтрации.

Заметим, что нарушение линейного закона Дарси может происходить и при очень малых скоростях фильтрации, когда проявляются аномальные реологические свойства так называемых неньютоновских жидкостей жидкостей.

Уравнение неразрывности. Плотности фаз, участвующих в процессе фильтрации, определяются обычным образом, только с учетом, что каждая из фаз занимает свой собственный объем. Так, если через пористую среду фильтруется только одна жидкость, заполняющая весь объем пор, тогда плотность определяется как масса на единицу объема жидкости:

, (1.12)

(предел берется в том же смысле, что и выше). Может быть вычислена и средняя (сренеобъмная) плотность жидкости , как масса жидкости на единицу объема пористого образца :

(1.13)

Очевидно, что средняя плотность связана с истинной через пористость (1.1):

. (1.14)

Для среднеобъемной плотности справедливо обычное для теории гидромеханики уравнение притока массы - уравнение неразрывности:

,

которое с учетом соотношения (1.6) для скорости движения жидкости и скорости фильтрации имеет вид:

(1.15)

Важным частным случаем является допущение о несжимаемости жидкости и недеформируемости грунта, что в отсутствии химических реакций и фазовых переходов между жидкостью и грунтом приведет к выводу о постоянстве пористости и уравнению неразрывности в виде:

(16)

Подстановка, например, линейного закона фильтрации Дарси (1.7) в уравнение неразрывности (1.16) даст уравнение для расчета приведенного давления :

(1.17)

В предположении о постоянстве коэффициентов вязкости (при неизменности температурного режима) и проницаемости k (в изотропной среде) и учитывая, что гравитационная составляющая много меньше градиентов давлений, реализующихся в пласте, уравнение (17) преобразуется в уравнение Лапласа для давления:

(1.18)

Заметим, что среди переменных в уравнениях (1.16) и (1.17) отсутствует время, следовательно в этой постановке полученное решение также не будет зависеть от времени, то есть будет установившимся.

Ввести ф-цию Лейбензона.

Математическая модель пласта. Будем считать, что пласт представляет собой слой грунта толщины h (мощность пласта), насыщенный жидкостью (газом) и ограниченный непроницаемыми поверхностями – кровлей и подошвой ( в природе такими непроницаемыми оказываются пропластки глин, каменной соли, базальтов и т.п.). Причем мощность пласта будем считать много меньшей по величине, чем протяженность насыщенной породы. Кроме того будем считать, что нет выклинивания - вертикальных или наклонных непроницаемых границ. При этом на непроницаемых поверхностях будем ставить условие непротекания, т.е. для любой точки на поверхности : должно выполняться условие равенства нулю проекции скорости на нормаль к поверхности:

, (1.19)

Кроме того для решения задачи необходимо задать условия как на самой скважине, так и в области «невозмущенного» флюида. Скважину будем считать вертикальной, цилиндрической формы и скважине так и в области невозмущенного пласта, вскрывающей пласт на всю его глубину и проницаемой по всей ее поверхности контакта с пластом. Такая схематичная скважина называется совершенной и характеризуется радиусом . При установившемся режиме течения на поверхности скважины задается условие постоянного напора, т.е. постоянного давления на забое скважины (забойного давления) .

Условие постоянства давления ставится и на контуре питания - внешней границе области возмущенного течения. Обычно под контуром питания понимается внешняя граница области фильтрации, через которую проникает жидкость, скорость фильтрации на этой границе мала, а давление можно, фактически, фактически считать неизменным. Это давление называется контурным. Для нефтеносных пластов в качестве контура питания часто принимается граница внешней водоносной зоны с нефтеносной - водонефтяной контакт (закачка вода воды как раз и производится для поддержания пластового давления). Обратим внимание, что для стационарного течения в качестве контура питания можно принять любую произвольную поверхность, давление на которой постоянно. Обычно положение контура питания по геологическим данным известно лишь приближенно. Однако из решения математической задачи дальнейшего будет видно, что для области со скважинами даже значительные ошибки в определении положения контура питания несущественно влияют на величину притока.

Если в горизонтальном бесконечном пласте постоянной мощности имеется одна

совершенная скважина все частицы флюида двигаются строго по прямолинейным траекториям, радиально сходящимся к скважине при соблюдении полной симметрии течения относительно оси скважины, то такое течение называется плоскорадиальным или течением с цилиндрической симметрией (Рис.1).

Рис.1 Схема течения при плоскорадиальной симметрии

В этом случае условия постоянства забойного () и контурного () давлений ставится на соответствующих цилиндрических поверхностях соответствующих радиусу скважины и радиусу контура питания .

Для решения математической задачи о расчете давления от забоя к скважине и дебита скважины необходимо решить уравнение (18), которое в цилиндрических координатах в случае плоскорадиального течения приобретает вид обыкновенного дифференциального уравнения от одной независимой переменной r - расстояния от оси скважины:

, (1.20)

решать которое необходимо при соблюдении граничных условий на забое и контуре:

при , при . (1.21)

Решение уравнения (1.20) с граничными условиями (1.21) представляет собой формулу Дюпюи для расчета давления:

=. (1.22)

Из закона Дарси (1.18) следует распределение скорости по пласту:

(1.23)

Знак минус показывает, что жидкость будет двигаться к скважине, если>0, т.е. скважина добывающая, и от скважины, если <0, т.е. скважина нагнетательная. С учетом, что площадь цилиндрической поверхности вычисляется по длине окружности радиуса r и мощности пласта h : s = 2rh, расход жидкости будет постоянен и равен

. (1.24)

Расчет притока к несовершенным скважинам. Реальные скважины не представляют собой идеальной цилиндрической поверхности, пересекающей пласт по всей его толщине. Достаточно часто вскрывается лишь часть толщины пласта, такие скважины называются несовершенными по степени вскрытия. При этом граничные условия следует задавать на некотором фиктивном контуре, радиус которого (приведенный радиус) может быть значительно меньше истинного радиуса скважины.

Если скважина обсажена стальной или пластмассовой трубой, открытой для потока лишь в ряде перфорационных отверстий, то она называется несовершенной по характеру вскрытия. Для задания граничных условий на контуре такой скважины также необходимо рассматривать условную скважину с приведенным радиусом, меньшим истинного (если вскрывается пласт, подвергшийся гидравлическому разрыву, то приведенный радиус становится большим истинного).

Приток жидкости к несовершенной скважине даже в горизонтальном однородном пласте постоянной толщины перестает быть плоскорадиальным. Поэтому использование формул (1.22)-(1.24) становится неправомерным. Найти аналитическое решение задачи о притоке жидкости к несовершенной скважине в пластах конечной толщины не представляется возможным.

Один из методов расчета дебитов несовершенных скважин, основан на электрогидродинамической аналогии фильтрационных процессов: продуктивный пласт моделируется электропроводящей жидкостью, в которую на определенную глубину опускается один цилиндрический электрод (моделирует скважину) и на определенном расстоянии от него другой круговой электрод (моделирует контур питания). Неполное погружение центрального электрода, на заданную глубину, соответствует неполной степени вскрытия пласта скважиной. К обоим электродам подводится разность потенциалов, являющаяся аналогом перепада давления, сила тока служит аналогом дебита скважины.

На основе таких аналоговых экспериментов по измерению разности потенциалов, силы тока и расчету сопротивления по закону Ома, В. И. Щуровым была предложена формула расчета дебита гидродинамически-несовершенной скважины:

, (1.25)

где учтены так называемые дополнительные фильтрационные сопротивления, обусловленные несовершенством скважины по степени вскрытия пласта (С₁) и характеру вскрытия (С₂). Для различных видов несовершенства скважин и построены графики зависимости С₁ (см. рис.2), от геометрических параметров разработки:

-отношения мощности пласта h к диаметру скважины а =,

-относительного вскрытия (b h) ;

Рис. 1.2. Графики В. И. Щурова для определения коэффициента С₁

(Номерам кривых соответствуют значения а: 1- 1; 2–5; 3 -10; 4–20; 5-40; 6-80; 7-160)

и С₂ в зависимости от трех параметров (рис.2):

- от произведения числа перфорационных отверстий на 1 м вскрытия толщины пласта nи диаметра скважины - ;

- отношения глубины проникновения пуль в породу к диаметру скважины ;

- отношения диаметра перфорационных отверстий к диаметру скважины .

Рис. 3. Графики В. И. Щурова для определения коэффициента С₂ при / = 0,5. (Номерам кривых соответствуют значения а: 1-0,02; 2-0,04; 3-0.06; 4-0,08; 5-0,1; 6-0,12; 7-0,14; 8-0,16; 9-0,18; 10-0,2)

Можно ввести понятие приведенного радиуса , который вычисляется для несовершенной скважины с учетом

, (1.26)

тогда дебит несовершенной скважины вычисляется по обычной формуле совершенной скважины:

. (1.27)