ПРИМАТ / лекция15-1

Основные понятия теории фильтрации. 6

Раздел 1

Лекция 15

Математическая модель пласта. Будем считать, что пласт представляет собой слой грунта толщины h (мощность пласта), насыщенный жидкостью (газом) и ограниченный непроницаемыми поверхностями – кровлей и подошвой ( в природе такими непроницаемыми оказываются пропластки глин, каменной соли, базальтов и т.п.). Причем мощность пласта будем считать много меньшей по величине, чем протяженность насыщенной породы. Кроме того будем считать, что нет выклинивания - вертикальных или наклонных непроницаемых границ. При этом на непроницаемых поверхностях будем ставить условие непротекания, т.е. для любой точки на поверхности : должно выполняться условие равенства нулю проекции скорости на нормаль к поверхности:

, (1.19)

Кроме того для решения задачи необходимо задать условия как на самой скважине, так и в области «невозмущенного» флюида. Скважину будем считать вертикальной, цилиндрической формы и скважине так и в области невозмущенного пласта, вскрывающей пласт на всю его глубину и проницаемой по всей ее поверхности контакта с пластом. Такая схематичная скважина называется совершенной и характеризуется радиусом . При установившемся режиме течения на поверхности скважины задается условие постоянного напора, т.е. постоянного давления на забое скважины (забойного давления) .

Условие постоянства давления ставится и на контуре питания - внешней границе области возмущенного течения. Обычно под контуром питания понимается внешняя граница области фильтрации, через которую проникает жидкость, скорость фильтрации на этой границе мала, а давление можно, фактически, фактически считать неизменным. Это давление называется контурным. Для нефтеносных пластов в качестве контура питания часто принимается граница внешней водоносной зоны с нефтеносной - водонефтяной контакт (закачка вода воды как раз и производится для поддержания пластового давления). Обратим внимание, что для стационарного течения в качестве контура питания можно принять любую произвольную поверхность, давление на которой постоянно. Обычно положение контура питания по геологическим данным известно лишь приближенно. Однако из решения математической задачи дальнейшего будет видно, что для области со скважинами даже значительные ошибки в определении положения контура питания несущественно влияют на величину притока.

Если в горизонтальном бесконечном пласте постоянной мощности имеется одна

совершенная скважина все частицы флюида двигаются строго по прямолинейным траекториям, радиально сходящимся к скважине при соблюдении полной симметрии течения относительно оси скважины, то такое течение называется плоскорадиальным или течением с цилиндрической симметрией (Рис.1).

Рис.1 Схема течения при плоскорадиальной симметрии

В этом случае условия постоянства забойного () и контурного () давлений ставится на соответствующих цилиндрических поверхностях соответствующих радиусу скважины и радиусу контура питания .

Для решения математической задачи о расчете давления от забоя к скважине и дебита скважины необходимо решить уравнение (18), которое в цилиндрических координатах в случае плоскорадиального течения приобретает вид обыкновенного дифференциального уравнения от одной независимой переменной r - расстояния от оси скважины:

, (1.20)

решать которое необходимо при соблюдении граничных условий на забое и контуре:

при , при . (1.21)

Решение уравнения (1.20) с граничными условиями (1.21) представляет собой формулу Дюпюи для расчета давления:

=. (1.22)

Из закона Дарси (1.18) следует распределение скорости по пласту:

(1.23)

Знак минус показывает, что жидкость будет двигаться к скважине, если>0, т.е. скважина добывающая, и от скважины, если <0, т.е. скважина нагнетательная. С учетом, что площадь цилиндрической поверхности вычисляется по длине окружности радиуса r и мощности пласта h : s = 2rh, расход жидкости будет постоянен и равен

. (1.24)

Расчет притока к несовершенным скважинам. Реальные скважины не представляют собой идеальной цилиндрической поверхности, пересекающей пласт по всей его толщине. Достаточно часто вскрывается лишь часть толщины пласта, такие скважины называются несовершенными по степени вскрытия. При этом граничные условия следует задавать на некотором фиктивном контуре, радиус которого (приведенный радиус) может быть значительно меньше истинного радиуса скважины.

Если скважина обсажена стальной или пластмассовой трубой, открытой для потока лишь в ряде перфорационных отверстий, то она называется несовершенной по характеру вскрытия. Для задания граничных условий на контуре такой скважины также необходимо рассматривать условную скважину с приведенным радиусом, меньшим истинного (если вскрывается пласт, подвергшийся гидравлическому разрыву, то приведенный радиус становится большим истинного).

Приток жидкости к несовершенной скважине даже в горизонтальном однородном пласте постоянной толщины перестает быть плоскорадиальным. Поэтому использование формул (1.22)-(1.24) становится неправомерным. Найти аналитическое решение задачи о притоке жидкости к несовершенной скважине в пластах конечной толщины не представляется возможным.

Один из методов расчета дебитов несовершенных скважин, основан на электрогидродинамической аналогии фильтрационных процессов: продуктивный пласт моделируется электропроводящей жидкостью, в которую на определенную глубину опускается один цилиндрический электрод (моделирует скважину) и на определенном расстоянии от него другой круговой электрод (моделирует контур питания). Неполное погружение центрального электрода, на заданную глубину, соответствует неполной степени вскрытия пласта скважиной. К обоим электродам подводится разность потенциалов, являющаяся аналогом перепада давления, сила тока служит аналогом дебита скважины.

На основе таких аналоговых экспериментов по измерению разности потенциалов, силы тока и расчету сопротивления по закону Ома, В. И. Щуровым была предложена формула расчета дебита гидродинамически-несовершенной скважины:

, (1.25)

где учтены так называемые дополнительные фильтрационные сопротивления, обусловленные несовершенством скважины по степени вскрытия пласта (С₁) и характеру вскрытия (С₂). Для различных видов несовершенства скважин и построены графики зависимости С₁ (см. рис.2), от геометрических параметров разработки:

-отношения мощности пласта h к диаметру скважины а =,

-относительного вскрытия (b h) ;

Рис. 1.2. Графики В. И. Щурова для определения коэффициента С₁

(Номерам кривых соответствуют значения а: 1- 1; 2–5; 3 -10; 4–20; 5-40; 6-80; 7-160)

и С₂ в зависимости от трех параметров (рис.2):

- от произведения числа перфорационных отверстий на 1 м вскрытия толщины пласта nи диаметра скважины - ;

- отношения глубины проникновения пуль в породу к диаметру скважины ;

- отношения диаметра перфорационных отверстий к диаметру скважины .

Рис. 3. Графики В. И. Щурова для определения коэффициента С₂ при / = 0,5. (Номерам кривых соответствуют значения а: 1-0,02; 2-0,04; 3-0.06; 4-0,08; 5-0,1; 6-0,12; 7-0,14; 8-0,16; 9-0,18; 10-0,2)

Можно ввести понятие приведенного радиуса , который вычисляется для несовершенной скважины с учетом

, (1.26)

тогда дебит несовершенной скважины вычисляется по обычной формуле совершенной скважины:

. (1.27)