ПРИМАТ / лекция7(презентация)
.pdfЛекция №7
Течение идеальной жидкости.
1.Уравнение Эйлера в форме Громеко – Ламба
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z |
p |
H const |
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2g |
g |
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3. Интеграл Коши – Лагранжа
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1. |
f grad массовые силы потенциальны |
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2. |
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течение потенциально, т. е. rot 0 |
, grad |
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3. |
процесс баротропный |
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2 |
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grad |
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grad |
1 |
gradp 0 |
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t |
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2 |
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t
2
t 2
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grad( |
2 |
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t |
2 |
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t |
t |
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2 grad( t 2
Р ) 0
grad
Р ) 0
Р f ( t ) одинаково во всей области и определено
граничными условиями или нужно знать закон движения точки
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2 |
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1 f ( t )dt |
1 |
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Р 0 |
1 |
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t |
2 |
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4. Вихревые линии и вихревые трубки.
1. безвихревое движение rot 0
2. винтовое движение rot
Поток вектора – характеристика вихревой трубки an d
Теорема. Поток вектора вихря скорости сквозь произвольное сечение вихревой трубки одинаков в данный момент времени.
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and nad di ad |
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V |
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rotn d rotn d |
rotn d di rotn d 0 |
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S1 |
S2 |
Sбок |
V |
i rotnd const интенсивность вихревой трубки
S
5. Циркуляция скорости.
B B
( а ) adr ai dxi
A A
B
wAB Fdr - работа – циркуляция силы
A
( а ) adr
Теорема (Стокса)
a - непрерывный дифференцируемый вектор,
С – односвязная область (можно стянуть в точку). Циркуляция против часовой стрелки
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nd |
adr |
rotnad 2 |
||
С |
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Циркуляция вектора по замкнутому контуру равна удвоенному потоку вихря через поверхность.
6. Теорема Томпсона
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B |
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АВ – жидкая линия r |
r( s,t ) |
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dr циркуляция скорости |
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A |
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Производная по времени от интеграла, взятого вдоль жидкой линии
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d |
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d |
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i |
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d r |
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dr |
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lim |
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r |
lim ( |
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|
ri i |
|
i |
|
) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
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dt |
AB |
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dt |
r 0 i |
1 |
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i |
|
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i |
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r 0 |
dt |
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dt |
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d r |
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i |
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B A |
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ds |
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r |
s 0 s |
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|
s 0 - касательная к АВ |
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dt |
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s |
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d |
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d |
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dr |
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dr |
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s |
ds |
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dt |
AB |
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AB dt |
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AB |
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v |
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d |
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d |
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dr |
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s |
ds |
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dt |
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dt |
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AB |
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AB |
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d |
f |
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gradp |
|
идеальная жидкость |
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dt |
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2 |
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2 |
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|||||
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ds |
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|
ds |
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||||||||||||||||||
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|
s |
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|
|
|
|
|
|
|
s |
|
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||||||
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d |
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1 |
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1 |
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||||||
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fdr |
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pdr |
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( B2 |
A2 ) |
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dt |
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2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
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AB |
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AB |
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||||||||||
Условия: |
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|||||||
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|
grad |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1. |
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f |
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|
массовые силы потенциальны |
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2. |
|
процесс баротропный |
P |
dp |
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d |
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1 |
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d |
dP |
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( B2 v A2 ) = 0 |
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по замкнутому контуру |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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dt |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
AB |
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|
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|
|
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|
AB |
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7. Теорема Лагранжа
При условии теоремы Томпсона: если в какой-либо момент вихрь скорости во все области течения = 0, то движение остается безвихревым в любой последующий момент времени.
( а ) dr rotnd
d |
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0 |
rotn d const |
rotn 0 |
|
dt |
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8. Простейшие примеры применения интеграла Бернулли.
fg ,
2
2 P B const во всей области
|
grad( gz ) |
const |
f |
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2 |
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2 |
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gz |
p |
B const |
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z |
p |
H const |
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2 |
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2g |
g |
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1. Скорость истечения жидкости из малого отверстия в сосуде.
s0>>s, z0= const
gz |
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p |
0 |
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2 |
gz |
p |
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||
0 |
|
2 |
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|||||||
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||||||
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2gh 2 |
p0 |
p |
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h z0 |
z |
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|||||
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p0 p |
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||||
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2gh |
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2. Скоростная трубка Пито.
рА рС |
А С |
В 0 |
|
А2 |
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p А |
|
pВ |
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2 |
pВ рВ |
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||
|
А |
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||||||||
2 |
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|||||||
|
|
|
|
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||||||
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3. Водомер Вентури.
const |
по сечению |
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gz + p = const |
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по сечению, gzA + pA = gz1 + p1 |
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gzB + pB = gz2 + p2 |
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gz |
p |
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2 |
|
gz |
|
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p |
2 |
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2 |
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|||||||||||||||
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1 |
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|
1 |
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2 |
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|||||||||||||||
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2 |
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|||||||||||||||
1 |
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2 |
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Q2 |
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4. Скорость, при которой начинается кавитация. |
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