36.Распределение касательных напряжений при установившемся режиме в трубе.

При ламинарном режиме движение частиц жидкости происходит параллельно стенкам трубы без поперечных перемещений , т.е. параллельными слоями. Можно представить что поток жидкости состоит из концентрических цилиндров , движущихся один относительно другого с разными скоростями. При этом слой жидкости , соприкасающийся со стенками трубы остается неподвижным (гипотеза “прилипания”).

При равномерном движении отсутствуют ускорения и , следовательно , силы инерции.

Выделим элемент жидкости в трубе радиуса в виде цилиндра длинойи радиуса

Так как ускорение равно нулю, то уравнение движения сводится к уравнению равновесия действующих сил. На выделенный объем действуют силы давления P , силы трения T ,и сила тяжести G .

Сумма проекций всех сил на ось трубы должна равняться нулю .

Обозначим касательные напряжения , действующие по боковой поверхности цилиндра Тогда сила трения будет равна :

Вес цилиндра:

Как следует из рисунка

Подставляя полученные выражения в уравнения равновесия :

Запишем уравнение Бернулли для участка трубы между 1-1 и 2-2 учитывая что т.к. площадь сечения трубопровода и расход жидкости постоянны :

Сопоставляя уравнения ,находим, что :

-Полученное уравнение называется основным уравнением равномерного движения жидкости . Оно справедливо как для ламинарного так и для турбулентного движения жидкости .Касательное напряжение в любой точке можно определить :

а на стенке трубопровода при

сопоставляя эти два уравнения получим закон распределения касательных напряжений по радиусу трубы:

Таким образом , касательные напряжения равны нулю на оси трубы (при r =0) и достигает максимального значения на стенке трубы (при r =r0), при этом линейно зависит то расстояния от оси вдоль радиуса трубы .Уравнение равномерного движения подтверждает что потери энергии обусловлены касательными напряжениями .

37.Теория ламинарного течения жидкости в трубах.

При ламинарном режиме движение частиц жидкости происходит параллельно стенкам трубы без поперечных перемещений , т.е. параллельными слоями. Можно представить что поток жидкости состоит из концентрических цилиндров , движущихся один относительно другого с разными скоростями. При этом слой жидкости , соприкасающийся со стенками трубы остается неподвижным (гипотеза “прилипания”). Такая схема движения позволяет найти закон распределения скоростей в живом сечение потока , используя гипотезу Ньютона для выражения сил трения через коэффициент вязкости и поперечный градиент скорости :

(знак – показывает , что с возрастанием r скорость u уменьшается )

Приравнивая между собой это уравнение и закон распределения касательных напряженийполучаем :

Интегрируя это выражение получим выражение скорости для точки потока на расстоянии r от оси трубы :

Постоянная интегрирования получается из условия , что у стенки трубы скорость равняется нулю :

и поэтому :Максимальной является скорость на оси трубы приr = 0, и обозначается через

Из этого уравнения следует что :

Необходимо отметить что полученные результаты справедливы для полностью сформировавшегося ламинарного течения в трубе.(параболический закон Lнач=0.029Re*d)