Шпоры по гидре / мои билеты / 13-24
.doc|
Для построения эпюр используется осн. уравн-е гидростатики: p = p0 + h. Примеры неск. эпюр:
|
14. Сила гидростатического давления на криволинейную стенку. Нахожд-е силы давл-я жидк-ти на пов-ти произвол. формы в общ. случае привод-ся к опред-ю 3-ёх составляющих суммар. силы и 3-ёх мом-тов. Сила давл-я жидк-ти свод-ся к равнодействующ. силе, лежащ. в пл-ти симметрии. Возьмём цилиндр. пов-ть АВ с образующей, к пл-ти чертежа, и определим силу давл-я жидк-ти на эту пов-ть в 2-ух случаях: 1).
Жидк-ть располож. сверху (рис.1). Выделим
объём жидк-ти, огранич. рассм. пов-тью
АВ, вертикал. пов-тями, проведён. ч/з
границы этого участка, и свобод. пов-тью
жидк-ти, т.е. объём АВСD,
и рассмотрим усл-я его равновесия в
вертикал. и горизонт. направл-ях. Если
жидк-ть действует на стенку АВ с силой
F,
то стенка АВ действует на жидк-ть с
силой F,
направл. в обрат. сторону. Эта сила
реакции разложена на 2 составл-е:
горизонт. FГ
и вертикал. FВ.
Усл-е равновесия объёма АВСD
в вертикал. направл-ии: FB
= p0SГ
+G,
где р0–давл-е
на свобод. пов-ти жидк-ти; SГ
– пл-дь горизонт. проекции пов-ти АВ;
G
– вес выделен. объёма жидк-ти. Усл-е
того же объёма в горизонт. направл-ии
запишем с учётом того, что силы давл-я
жидк-ти на пов-ти ЕС и АD
взаимно
уравновеш-ся
и остаётся лишь сила давл-я на пл-дь
ВЕ, т.е. на вертикал. пр-цию повер-ти АВ
– SB.
Тогда:
FГ
= SBghC+p0SB.
Полн. сила давл-я:
2). Когда жидк-ть располож. снизу (рис.2), гидростат. давл-е во всех т-ках повер-ти АВ имеет те же знач-я , что и в 1-ом случае, но направл-ии его будет противополож. Суммар. силы опред-ся по тем же ф-лам, но с обрат. знаками. Полож-е центра давл-я можно легко опред-ть, если известны FГ и FВ и определены центр давл-я на вертикал. проекции стенки и центр тяж-ти выделен. объёма АВСD. |
15. Закон Архимеда. На всякое тело, полностью или частично погруженное в воду, действуют 2 силы: сила тяж-ти (G=TV) и архимедова сила F, равная весу жидк-ти в объёме погруж. части тела (F=V). Т и - соотв-но удел. веса тела и жидк-ти; V – объём. водоизмещ-е, т.е. объём жидк-ти, вытесненной телом. Сила тяж-ти приложена в центре тяж-ти тела – т-ке ц. Архимед. сила направлена вверх и приложена в центре объём. водоизмещ-я – т-ке д. В однород. теле, полностью погружён. в жидк-ть, т-ки ц и д совпадают. Разл-ют 3 случая плавания тел: 1). G>F, или Т> - тело тонет; 2). G=F, или Т= - тело наход-ся во взвешенном сост-ии (т.е. тело всплывает и плавает на пов-ти жидк-ти в частично погруж. сост-ии). 3). G<F, или Т< - тело всплывает на пов-ть жидк-ти, причём всплывание его продолжается до тех пор, пока G=F0=V0, где F0 и V0 – соотв-но архимед. сила и объём. водоизмещ-е частично погруженного в жидк-ть тела. Т.о., для тела, плавающ. на пов-ти жидк-ти, справедливо усл-е: TV=V0, откуда V0/V = T/. Для призматич. тел послед. выраж-е принимает вид: h/H=Т/, где h и H – соотв-но глубина погруж-я (осадка) тела и полная его высота.
|
|
|
17. Относительный покой жидкости во вращающемся сосуде. В завис-сти от хар-ра действующих массовых сил поверхность равного давл-я в жид-сти, как и свободн. поверх- сть, может принимать различную форму. 1. Жидк-сть нах-ся в открытом цилиндрич. сосуде, кот. вращ-ся вокруг вертик. оси с постоян. угловой скоростью ω. В данном случае жидк-сть подвержена воздействию не только поверх- стных сил, но также массовых сил тяжести и центробежной. Поверх-сть равного давл-я представл. собой параболоид вращ-я. Распред-е давл-я в жидк-сти по глубине опред-ся выр-нием: р = р0 + γ((ω²r² / 2g) – z) (1) Для любой точки свобод. поверх-сти жид-сти, когда р = р0 , ур- ние (1) приним. вид: z = ω²r² / 2g = u² / 2g ,где u=ωr (r – радиус вращ-я точки). Высота параболоида вращ-я h = ω²rо² / 2g (rо – радиус цилиндрич. сосуда). Сила давл-я жид-сти на дно сосуда: F = γπ rо²h0 = γπ rо²(h1+h/2) ,где h0 - начальная глубина жид-сти в сосуде до момента его вращ-я. Давл-е на боковую стенку измен-ся по линейному з-ну. Эпюра давл-я представл. собой прямоугол. треуг-к ACD с высотой h1+h и основанием γ(h1+h). |
18. Относит. покой ж-сти в сосуде, движущемся с постоянным ускорением.
В завис-сти от хар-ра действующих массовых сил поверхность равного давл-я в жид-сти, как и свободн. поверх- сть, может принимать различную форму. Жидк-сть нах-ся в сосуде, кот. движется в горизон. направлении с пост. ускорением а. (“+” – ускорение сосуда, “–” - замедление). В данном случае жид-сть подвержена воздействию не только поверх-стных сил, но также массовых сил тяжести и инерции. Поверх-сть равного давл-я явл. наклонной пл-стью. Давл-е в любой точке жидк-сти опред-ся по ф-ле: р = р0 + ρ(gz ± ax) (1) Для свобод. поверх-сти жид-сти, когда р = р0 , ур-ние (1) приним. вид: gz = ±ax (2) или z/x = tg α = ±a/g (3) , где α – угол наклона свобод. поверх-сти жидк-сти к горизонту. Выр-ние (3) позволяет опред-ть (при условии, чтобы жидк-сть не переливалась через задний борт сосуда длиной L) высоту борта h при заданном значении а или предельное ускорение а при заданном значении h. Если сосуд движ-ся равномерно (а=0) , ур-ние (1) имеет вид: р = р0 + ρgz = р0 + γz В этом случае поверх-сть равного давл-я представл. собой горизонт. пл-сть.
|
|
|
20. Общие понятия и определения движения жидкости.
Живое сечение потока (ЖС) – поверхность в пределах потока жид-ти, в каждой своей т-ке к вектору соответствующей местной ск-ти в этой т-ке. При плавно изменяющемся движ-и жид-ти ЖС представл. собой плоскость, к направл-ю движ-я. ЖС потока хар-ся площадью сеч-я S, смочен. периметром , гидравлич. радиусом RГ или гидравл. диаметром DГ. -длина линии, по кот. ЖС потока соприкас-ся с ограничивающими его стенками. RГ –размер. вел-на, равная отнош-ю пл-ди ЖС к . DГ –размер. вел-на, равная 4RГ. Расходом (Q) наз. кол-во жид-ти, протекающей ч/з ЖС потока в единицу времени. Q может выраж-ся в ед-цах объема, веса или массы. Соотв. различ. расходы: объемный, весовой и массовый. Объемный расход (м3/с): Q=S, где -сред. ск-ть потока в дан. ЖС. Весовой расход (Н/с): QG=Q. Массовый расход (кг/с): Qm=Q. Сред. ск-тью потока наз. ск-ть, с кот. должны были бы двигаться все частицы (струйки жид-ти) ч/з дан. ЖС, чтобы Q всего потока был бы равен Q, соотв. действительным ск-тям этих частиц (струек). Линия тока –линия, в каждой т-ке кот. вектор ск-ти направлен по касательной. Жидкой струйкой наз. жид-ть находящаяся внутри трубки тока. Если ск-ть по сеч-ю трубки тока =const,то жид. струйка наз. элементар. жид. струйкой.
|
21. Виды движения жидкости.
Разл. след. виды движ-я жид-ти: -Установившееся движ-е – движ-е жид-ти, при кот. ее ск-ть, давл-е и глубины в любой т-ке занятого жид-тью пространства не измен-ся во времени. При неустановившемся движ-и жид-ти ее ск-ть во всех т-ках занятого жид-тью простр-ва измен-ся по вел-не и (или) направл-ю во времени. -Равномерное движ-е – это установившееся движ-е, при кот. ск-ть частиц жид-ти в соотв. т-ках живых явл-ся одинаковой. При неравномерном – не одинакова. -Напорное движ-е – движ-е жид-ти, не имеющей открытой свободной поверх-ти. Движ-е жид-ти с открытой свободной поверх-тью наз. безнапорным движ-м. -Плавно изменяющееся движ-е – неравномерное движ-е жид- ти, при кот. кривизна линий тока и угол расхождения м/д ними весьма малы и в пределе стремятся к нулю. При несоблюдении этого усл-я имеет место движ-е резко изменяющееся. |
|
23. Уравнения неразрывности струйки и потока, средняя скорость потока.
Рассм. отсек жид-ти м/д сеч-ми 1-1 и 2-2 элем. струйки. За время dt ч/з пл-дь живого сеч-я струйки dS в отсек 1-2 втечет жид-ть в кол-ве dS1u1dt. Это кол-во = объему бесконеч. малого цилиндра, имеющ. основание dS1 и длину u1dt. За то же время dt ч/з живое сеч-е dS2 из отсека 1-2 вытечет объем жид-ти dS2u2dt. При этом форма отсека с теч-м времени не меняется, поверх-ть струйки явл. непроницаемой и жид-ть – несжимаемой. , объем жид-ти, поступающ. за время dt в отсек ч/з сеч-е 1-1 д. б. = объему жид-ти, вытекающей за то же время из отсека ч/з сеч-е 2-2:dS1u1dt=dS2u2dt, или dS1u1=dS2u2. dS1u1=dS2u2=dSnun=const –ур-ие неразрывностидля элем. струйки. Оно показ., что произвед-е пл-ди жив. сеч-я элем. струйки на ск-ть в том же сеч-и есть вел-на постоянная, т.е. ч/з все сеч-я элем. струйки в ед-цу времени проходит одно и то же кол-во жид-ти. Иначе говоря, расход жид-ти во всех сеч-х элем. струйки одинаков. На основании этого ур-ия: u1/u2=dS2/dS1. Ур-ие неразрыв-ти для потока жид-ти. Интегрируя ур-ие
нераз-ти
для элем. струйки в пределах соотв.
сеч-й, получим
|
|
24. Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости.
жид-ти, нах-ся в установив-ся движ-и. Воспользуемся диф. ур- м движ-я:
Умножим
1-е ур-ие на dx,
2-е –на dy,
3-е –на dz
и сложим получен. сис-му ур-ий:
ть
выраж-ся ч/з ее составл-е по осям
коорд-т,
Xdx+…=dU (полный дифференциал силовой ф-ции U). Т.к. движ-е –установившееся (гидродинам. давл-е p не завис. от
времени),
то
|
|
|
|
Вот 2 примера эпюр.
Для построения эпюр давления на криволинейные поверхности необходимо выделить тело давления. Поперечное сечение тела давления (отрицат. или положит.) представляет собой фигуру, заключён. м/ду вертикалями самой криволин. пов-ти и горизонтом жид-ти (или его продолжением). Если рассм. пов-ть со стороны тела давл-я не смачивается жидк-тью, то имеем отрицат. тело давл-я, в противном случае – положит. тело давл-я.
|
|
|
2. Жидк-сть нах-ся в цилиндрич. сосуде, кот. вращ-ся вокруг горизонт. оси с постоян. угловой скоростью ω, причем сила тяжести ничтожно мала по сравнению с центробежной силой, т.е. G << ω²r. Поверх-сти равного давл-я представл.собой концентрически расположенные боков. поверх- сти цилиндров, ось которых горизонтальна и совпадает с осью вращ-я цилиндрич. сосуда. Распред-е давл-я вдоль радиуса: р = р0 + (γω²(r² – r0²) / 2g) (2) , где р и р0 – соответ-но давл-я в точках цилиндрич. поверх-стей с радиусами r и r0. Ур-ние (2) справедливо и тогда, когда сосуд радиусом r лишь частично заполнен жид-стью. Своб. поверх-сть жид-сти в этом случае также будет цилиндрич. с радиусом r0 и давл-ем во всех ее точках р0. Как видно из ур-я (2) з-н распред-я давл-я по радиусу явл-ся параболическим (эпюра давл-я на рисунке).
|
|
|
|
|
|
|
С
учетом всех преобразований ур-ие (*):
или
окончательно
Проинтегрируем:
движ. жид-ти (см. рис.). Коорд. оси расположены так, чтобы ось z была направлена вверх. Тогда силов. ф-ция, соотв. силе
тяжести,
м. б. представлена таким образом: U=
-gz.
ия отнесены к ед-це массы жид-ти. Отнесем их к ед-це веса
жид-ти,
разделив обе части на g:
ие Бернулли для элем. струйки идеал. жид-ти, устанавливающее связь м/д ск-тью движ-я, давл-м и геометр. полож-м частиц.
|
|
Заменяя
перемен. ск-ть u
на сред. ск-ть ,
получим:
неразрыв-ти для потока жид-ти. На его основании: 1/2=S2/S1. |
13.
Эпюра давления.
.
16.
условие плавания тел
.
Рассм.
элем. струйку идеал.
.
(*).
Т.к. dx/dt=ux;
…, то dx=
uxdt;….
Подставим эти знач-я в лев. часть (*) :
.
Полная ск-
.
В прав. части ур-ия (*) выр-ние
.
.
.
Рассм. элем. струйку
или
.
Все эл-ты ур-
-ур-
-ур-ие