Шпоры по гидре / мои билеты / 5

5.Дифференциальное уравнение равновесия жидкости.

Мысленно выделим в ней элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz, параллельными соответствующим осям прямоугольных координат и обозна4им 4ерез р давление в то4ке М – центр параллелепипеда.

Пусть в то4ках «а» и «b» граней параллелепипеда, параллельных координатной плоскости xOz, действуют давления р₁ и р₂. Поскольку то4ки а и b отстоят от центра параллелепипеда на вели4ины () и (), а давление в каждой то4ке жидкости является функцией координат, то вели4ина р₁ и р₂ с то4ностью до бесконе4но малой более высокого порядка (разложение в ряд Тейлора) могут быть представлены:

(1)

Аналоги4но можно полу4ить выражения для давления на гранях, параллельных плоскости xOy,

и плоскости yOz:

Параллелепипед находится в покое, следовательно, суммы проекций всех сил, действующих на него, на любую ось равны нулю.

Спроектировав силы на ось, например у, полу4им

Подставляя сюда зна4ения р₁ и р₂ из 1, найдем

Далее, после приведения, полу4им

Аналоги4ные уравнения полу4аются также для проекций на оси х и у. В результате полу4аем систему из 3-х дифференциальных уравнений:

(2)

Эта система носит название уравнений гидростатики Эйлера: они определяют закон распределения давления вдоль соответствующей оси координат.

Умножая уравнения 2 соответственно на dx, dy ,dz, и складывая, полу4им

(3)

Давление есть ф-ия только координат, поэтому выражение в скобках представляет собой полный дифференциал этой ф-ии и уравнение 3 можно представить в виде:

(4)

это уравнение является основным дифференциальным уравнением равновесия жидкости.

Так как левая 4асть формулы 4 является полным дифференциалом, то для однородной жидкости (=const) и правая 4асть тоже должна быть полным диф-ом некоторой функции U(x,y,z), т.е. Xdx+Ydy+Zdz=dU,

Где (5)

В соответствии с этим 5 можно представить в этом слу4ае в виде

Функция U носит название силовой, а соответствующие ей силы – имеющими потенциал.

Таким образом, несжимаемая жидкость может находиться в равновесии лишь в том слу4ае, если действующие на нее силы имеют потенциал.