Шпоры по гидре / мои билеты / 40

40.Распределение скоростей по живому сечению турбулентного потока.

Распределение скоростей по сечению потока связано с эффектом сопротивления. Поэтому для вывода расчетных зависимостей необ­ходимо получить профиль скоростей. В отличие от ламинарного дви­жения, где связь между касательным напряжением и скоростью движения определяется законом Ньютона (), для турбулентного движения такая связь в общем случае неизвестна. Для обоснования и построения теории турбулентного движения в трубах требуются экс­периментальные данные, т.е. теория турбулентного движения до сих пор является полуэмпирической.

Наиболее простой является гипотеза Прандтля, согласно которой за­висимость между касательным напряжением г и скоростью и в ядре турбулентного потока имеет вид:

( 4.19 )где y – расстояние от стенки трубопровода.

Величина χ носит название универсальной постоянной Прандтля (значение этой величины определяется экспериментально при ис­следовании поля скоростей турбулентного потока). Также в качестве допущения в теории Прандтля полагают, что напряжение трения постоянно для всего поперечного сечения и рав­но касательному напряжению на стенке трубопровода τ₀, т.е. τ = τ₀. В силу этого зависимость (4.19) получает вид

откуда (4.20)

Касательное напряжение τ₀ легко может быть найдено опытным путем из соотношения ( см приложенние), для любых конкретных условий.

Введем величину

(4.21)которая имеет размерность скорости и называется динамической скоростью. Динамическую скорость и* можно выразить через сред­нюю скорость v и коэффициент гидравлического сопротивления χ. Подставив выражение () в равенство (), получим:

Откуда учитывая уравнение (4.21)

, или (4.22)

Учитывая, что величина постоянная, как и т₀ для данных усло­вий движения жидкости и интегрируя уравнение (4.20), находим

(4.23)

На оси трубы у = r₀ и и = u₀. Тогда последнее равенство примет вид

(4.24)

Следует отметить, что при у = 0, т.е. вблизи стенки lny→ ∞, что не позволяет использовать граничное условие прилипания жид­кости на стенке (u = 0 при у = 0). Следовательно, соотношение (4.24) справедливо только для турбулентного ядра течения (y>δ) Уравнение (4.24) носит название логарифмического за­кона распределения скоростей. Значе­ние константы χ, как показали опыты, может быть принято равным χ = 0,4.