Шпоры по гидре / шпоры.doc 1-7

1. Основные физические свойства жидкостей.Понятие сплошной среды.

Мех. хар-ки жидк-ти:

1. Плот-ть (масса жидк-ти, заключён. в ед-це объёма): =m/V.(жидкость однородна, если =const во всех точках. В случае неоднородной - =lim ∆m/∆v=dm/dv при ∆v→0. кг/м³.

2. Удел. вес (вес ед-цы объёма жидк-ти): =G/V [Н/м³].

Связь м/ду  и : =G/(gV)=/g.

3. Отн. плот-ть жидк-ти: =_Ж/_вод. (_вод при 4 градусах).

4.Удельный объём: v=1//

Осн. физ. св-ва жидк-тей:

1.Вязкость – св-во жидкости, обуславл. возникновение в ней касательных напряжений при движении. η=τ dy/du. τ – м² /c касательное напряж-е. у-расстояние. u-скорость.η-динамический коэф-т вязкости. – Н*с/м²=Па*с.ν=η/ρ. –кинематич вязкость.

2. Сжимаемость - св-во жидк-ти изменять свой V по действием давл-я. Хар-ся коэф-том _v [м²/Н] объём. сжатия, кот. представл. собой отн. измен-е V, приходящееся на ед-цу давл-я:

_v = - (dV/dp)(1/V₀) (*), ("-" – положит. приращ-ю давл-я соотв-ет отриц. приращ-е (уменьш-е) V). Вел-на, обратная _v представл. собой объём. модуль упругости К. Ч/з модуль К и конеч. разности ф-лу (*) можно записать: V/V= -p/K – обобщ. з-н Гука. Для капел. жидк-тей К неск. уменьш-ся с  темп-ры и возрастает с  давл-я. К_воды =2000 МПа (при атм. давл-и).

3. Температур. расшир-е хар-ся коэф-том _Т объём. расшир-я, кот. представл. собой отн. измен-е V при измен-и Т на 1⁰С и пост. давл-и: V=V₁(1+_TТ); _Т = 1/V(dV/dT).

4. Сопротивл-е растяж-ю внутри капел. жидк-тей по молекуляр. теории м.б. весьма значит. При опытах с тщат. очищенной и дегазированной водой в ней были получены кратковрем. напряж-я растяж-я до 23-28 МПа. Поэтому можно считать, что напряж-я растяж-я в капел. жидк-тях невозможны.

5. На поверх-ти раздела жидк-ти действуют силы поверхностного натяж-я, стремящиеся придать V жидк-ти сферич. форму и вызывающие нек. доп. давл-е. Для малых объёмов жидк-ти: р=2/r, где  - коэф-т поверх. натяж-я жидк-ти; r – радиус сферы. В трубках малого диаметра доп. давл-е, обусловл. поверх. натяж-ем, вызывает подъём (опускание) жидк-ти в стеклян. трубке.

Сплошная среда – это среда, каждая часть которой обладает св-вами целого. С математич. точки зрения – это позволяет считать все параметры жидкости (температура, давл-е, плот-ть) непрерывными функциями координат и времени, что обуславливает воз-ть применения матем аппарата для решения задач.

2. Силы, действующие в жидкости.Напряжения сил.

Силы, приложен-е к про­извольн. объему массы жидк,

подразделяются на массо­вые и поверхностные. Массов. силы

(силы инерции переносного движ. тяжести) действ. на каждый

элемент массы объема dV независимо от того, существуют ли

рядом с рассматриваемым объемом другие части жидк. Пропорциональны массе. Массов. силы выражают через вектор массовой силы, отне­сен-й к единице массы F. Его проекции на оси координат X, Y и Z Если выдел-ь в несжимаемой жидк. некоторый объем V, ограничен. замкнутой поверхн-ю S, тo к элементу этого объема приложена массов. сила (в м/с²) FρdV Главн. вектор массов. сил, прилож-х

к объему ∫∫∫ρFdV егo проекции на оси координат ∫∫∫ρXdV,

∫∫∫ρYdV, ∫∫∫ρZdV. Силы взаимодействия между частиц-и жид,

лежащ. снаружи поверх-и S и на этой поверх-и, — поверхн-е

силы.(обусловл. воздейств. соседних объемов жидк. на данный

объем) К элементу поверхн. ∆S приложена поверхн-я сила ∆Р

Так как в общем случае эта сила составл. некоторый угол с

внешней нормалью, ее раскладывают на направл-я внутр-й

нормали и касат-й

σ=lim F_m/m при m→0. м/с².

Поверх-е силы характер-т напряж. давл.

(норм. напряж. сжатия) и касат. напряж. Напряж. в точке А,

лежащей на элементе поверх-и: давл. P=lim_ω→0P/ ω, касат-е

напряж. τ = lim_ω→0F_т/ ω .Размерность давл. и

касат-о напряж. P и τ Н/м² = Па. Р – сжимающая сила, направленная внутрь объёма.(нормальная составляющая).

F_т = тангенциальная.

ω

F_п

3.Гидростатическое давление и его св-. Теорема одавлении в точке.

Если жидк. находится в состоянии

покоя, то сила трения равна нулю (∆T= 0), поэтому напряжо-е

сост-е в любой точке покоящейся жидк. характериз. только

давлением (гидростатич. давл. p=∆P/∆S) Размерность давл. и

касат-о напряж. P и τ Н/м² = Па.

1)Жидк-и практически не способны сопро­тив-ся растяж-ю, а в

неподвижн. жидк-х не действуют касат-е силы. Поэтому на

неподвижн. жидк. из поверх­н. могут действ-ь только силы давл;

причем на внешней поверхности рассматр-го объема жидк.

силы давл. всегда направл. по нормали внутрь объема жидк. и,

сле­довательно, являются сжимающими. Под внешней поверхн-

ю жидк. понимают не только поверхн-ь раздела жидк. с газо­

образной средой или тверд. стенками, но и поверхн. объема,

выделяемого из общего объема жидк. Т. о., в неподвижной

жидк. возможен лишь один вид напряж-я – напряж-е сжатия, т.

е., гидростат-е дав­л.

2) Рассмотрим осн-е св-во гидростат-го давл:

в любой точке жидк. гидростат. давл. не зависит от

ориентировки площадки, на которую оно действует, т.е. от

углов ее наклона по отношению к координатным осям. Док-во

св-ва, выделим в неподвижн. жидк. элементарный объем в

форме тетраэдра, с ребрами. паралл-ми координат. осям и

соответств. равн. dx, dy, dz. Пусть внутри выдел-го на жидк.

действует единичная массовая сила, составл-е которой равны

X, Y, Z. Обозначим через р_x гидростат-ое давл, действующ. на

грань, нормальную к оси OX , через p_y давл., действующую на

грань, нормальную к оси OY и т.д. Гидростат-е давл.,

действующее на наклонную грань обозначим через р_n, а

площадь этой грани через dS. Составим ур-е равновесия

сначала в направл. оси OX, учитывая, что все силы направл. по

нормалям к соответствующим площадкам внутрь объема жидк.

Проекция сил давл. на ось OX p_xdydz/2-p_ndScos(n,x). Масса

жидк. в тетраэдре равна произвед. ее объема на площадь, т.е.

dxdydz/6, следоват., массовая сила, действ-я на тетраэдр вдоль

оси OX составляет dx dy dz ρ X/6 Ур-е равновесия тэтраэдра

запишем: p_xdydz/2- p_ndScos(n,x)+ dx dy dz ρ X/6=0

Разделив это ур-е на площадь dydz/2, кот-я равна площади

проекции наклонной грани dS на плоскость YOZ, получим p_x -

- p_n+ dx ρ X/3=0 При стремлении размеров тэтраэдра к нулю

последний член ур-я. содержащий множитель dx, так же

стремится к нулю, а давление p_x и p_n остаются величинами

конечными. Следоват., в пределе получим p_x - p_n=0 или p_x=p_n

Аналогично составляя ур-я равновес. вдоль осей Oy и Oz

находим p_x= p_y= p_z=p_n Так как размеры тетраэдра dx, dy, dz

взяты произвольно, то и наклон площадки dS произволен, и в

пределе при стягивании тетраэдра в точку давл. в этой точке по

всем направлениям будет одинаково.

4.Дифференциальные ур-я гидростатики Эйлера.

Выделим в покоящейся жидкости элементарный объём в форме параллелепипеда с рёбрами dx, dy, dz, параллельными соответствующим осям прямоугольных координат.

Условия равновесия в проекциях га ось Х:

1) Р_х1-Р_х2+Хρ dx dy dz=0 (Х=(F_m/m)_x).

Р_х1= Р_х1 dy dz;

Р_х2= Р_х2 dy dz.

Так как Р=Р(х,у,z), то р₂=р₁+(әр/әх)dx (2)

Р_х2= (Р_х1+(әр/әх)dx) dy dz (3)

Р_х1 dy dz – (Р_х1+(әр/әх)dx) dy dz.+ Хρ dx dy dz=0. (4)

-әр/әх + Хρ=0

-әр/әy + Уρ=0 (5)

-әр/әz + Zρ=0

X-1/ρ* әр/әх=0

У-1/ρ* әр/әу=0 (6)

Z -1/ρ* әр/әz=0

Уравнение гидростатики Эйлера.

Умножим уравнение (6) на полные дифференциалы dx ,dy ,dz соответственно и просуммируем:

(Х dx+У dx dy+Z dz)ρ=(әр/әх)dx)+ +(әр/әу)dу)+ +(әр/әz)dz)=dp

dp=ρ(Xdx+Уdу+Zdz) (7)

уравнение справедливо как для сжимаемой так и для несжимаемой жидкости. Неизвестны р и ρ , а координаты задаются.

5.Поверхности равного давления.(изобарическая поверхность).

. dp=ρ(Xdx+Уdу+Zdz) при р=cоnst dp=0. Тогда

Xdx+Уdу+Zdz=0 (уравнение поверхности).

Св-во изобарич. поверхности:

F_m=F_m(Х,У,Z)

dr=dr (dx,dy,dz) радиус-вектор

Из двух посл ур-й: dr F_m=0. Скалярное произведение двух векторов dr ,F_mОтсюда по св-вам скалярного произведения следует, что угол между векторами dr и F_m равен 90 град, так как косинус угла равен 0.

Поэтому вектор dr перпендикулярен векторуF_m.

Вывод: Массовая сила перпендикулярна изобарической поверхности( т.е направлена по нормали к ней).

6.Равновесие жидкости в поле силы тяжести. Основное уравнение гидростатики.

при р=cоnst dp=0 →ρgdz=0 dz=0 → z= cоnst. Уравнение горизонтальной поверхности. Очевидно, что давление в точках одной и той же жидкости, располож. на одной и той же плоскости будет одинаковым.

Равновесие разнородных жидкостей.

dp₁=ρ₁gdz

dp₂=ρ₂gdz при dz=0 z=cоnst т.е. граница раздела горизонтальная плоскость.

Основное ур-е гидростатики.

Оно представляет собой решение уравнения dp=ρ(Xdx+Уdу+Zdz) в поле силы тяжести

Х=G_x/m=0, Y=G_y/m=0, Z=G_z/m=-g

dp= - ρgdz диф. уравнение в поле силы тяжести.

dp/ρg=- dz , d( z+p/ρg )=0, z+p/ρg =const, т. к. f ^, (d(z+p/ρg ))=0

Граничные условия при z= z₁ и при р=р₁

z₁+p₁/ρg=const

z+p/ρg= z₁+p₁/ρg p=p_1± ρg(z₁-z) - основное уравнение гидростатики. z₁-z=h p=ρg h - давление столба жид-ти.

7.Примеры на применение осн. ур-я гидростатики:сообщ. сосуды, равновесие разнородных жидкостей, двухжидкостной манометр .

Сообщающиеся сосуды – сосуды, соединенные между собой в

нижней части. Однородная ж-ть устанавливается на одном

уровне не зависимо от формы сосудов (если можно пранабречь

капиллярными явлениями). На свойстве С.с. основано

устройство жидкостных манометров, водомерных стекол

паровых котлов и т.д. Если в С.с. налиты ж-ти с разн.

плотностью ₁ и ₂, то они устанавливаются на уровнях, высоты

которых h₁ и h₂ обратно пропорциональны плотностям.

Из условия статического равновесия и основного уравнения

гидростатики: р₁+₁gh₁=p₂+₂gh₂. Т.е. при р₁=р₂, ₁=₂ получим

h₁=h₂. При р₁=р₂ и различных ₁ и ₂, получим ₁/₂=h₂/h₁.

Жидкостной манометр – прибор , служащий для измерения Р_изб

Р_вак. Для измерения разности давл-й в двух точках служат диффе­ренц-е манометры, простейшим из которых является U-образ­ный манометр. Если при помощи такого манометра, обычно заполняемого ртутью, измерена разность давлений р₁ и р₂ в жидк-и плотностью ρ, которая полностью заполняет соединит-е трубки, то р₁-р₂=hg(ρ_рт-ρ) Для измерения малых перепадов давл-я воды применяют двух жидк-й микроманометр, представл-й

собой перевернутую U-обраэную трубку с маслом или

керосином в верхней части. Для этого случая р₁-р₂=hg(ρ₂-ρ₁)

Двухжидкостный чашечный манометр предназначен для из­

мерения давл-и или разрежений воздуха в интервале от 0,01 до

0,05 МПа, т.е. для того случая, когда спиртовой или водяной

манометр дает чрезмерно высокий столб спирта или воды, а

потому неудобен для пользования, а ртутный манометр не дает

необход. точности из-за недостаточной высоты столба ртути.

Таким манометром польз-я при опытах в скоростных

аэродинамических трубах. Для измер-я давлений более 0,2—0,3

МПа применяют механ-е манометры — пружинные или

мембранные. Принцип их дей­ствия основан на деформации

полой пружины или мембраны под дей­ствием измер-о давл.

Через механизм эта деформация пере­дается стрелке, которая

показыв. величину измер-о давл. на циферблате. Наряду с

механ-ми манометрами применяют электр-е манометры. В

качестве чувствительного элемента (датчика) в

электроманометре используют мембрану. Под действ.

измеряемого давл. мембрана деформируется и через

передаточный механизм пере­мещает движок потенциометра,

который вместе с указателем вкл в электр. схему.

Р _абс1=Р_абс2, Р _абс1=Р₀+ρ ₁gl, Р_абс2= ρ ₂gh+Р_атм,

Отсюда Р₀= ρ ₂gh+ ρ ₁gl +Р_атм

Для измерения разности давл-й в двух точках служат диффе­-

ренц-е манометры, простейшим из которых является U-образ­-

ный манометр. Если при помощи такого манометра, обычно

заполняемого ртутью, измерена разность давлений р₁ и р₂ в

жидк-и плотностью ρ, которая полностью заполняет соединит-е

трубки, то р₁-р₂=hg(ρ_рт-ρ) Для измерения малых перепадов давл-

я воды применяют двух жидк-й микроманометр, представл-й

собой перевернутую U-обраэную трубку с маслом или

керосином в верхней части. Для этого случая р₁-р₂=hg(ρ₂-ρ₁)

Двухжидкостный чашечный манометр предназначен для из­

мерения давл-и или разрежений воздуха в интервале от 0,01 до

0,05 МПа, т.е. для того случая, когда спиртовой или водяной

манометр дает чрезмерно высокий столб спирта или воды, а

потому неудобен для пользования, а ртутный манометр не дает

необход. точности из-за недостаточной высоты столба ртути.

Таким манометром польз-я при опытах в скоростных

аэродинамических трубах. Для измер-я давлений более 0,2—0,3

МПа применяют механ-е манометры — пружинные или

мембранные. Принцип их дей­ствия основан на деформации

полой пружины или мембраны под дей­ствием измер-о давл.

Через механизм эта деформация пере­дается стрелке, которая

показыв. величину измер-о давл. на циферблате. Наряду с

механ-ми манометрами применяют электр-е манометры. В

качестве чувствительного элемента (датчика) в

электроманометре используют мембрану. Под действ.

измеряемого давл. мембрана деформируется и через

передаточный механизм пере­мещает движок потенциометра,

который вместе с указателем вкл в электр. схему.