PSS
.pdf
Тихвинский В.И. Густяков Ю.М. позиционные системы счисления стр. 1 из 21
позиционные системы счисления
счетная доска1
Древнейший способ представления позиционной системы счисления есть счетная доска. Счетная доска это доска, разделенная на полосы, в которых двигаются счетные марки. Полосы расположены друг над другом и представляют собой разряды2 позиционной системы счисления. Количество марок в полосе равно N. N есть основание позиционной системы счисления. Марка в последующем разряде больше марки в предыдущем разряде в N раз.
Счетная доска для вычисления в десятеричной3 системе счисления
|
•••••••••• |
тысячи |
|
•••••••••• |
сотни |
|
•••••••••• |
десятки |
|
•••••••••• |
единицы |
|
•••••••••• |
десятые |
отложено 10,34 |
•••••••••• |
сотые |
|
|
|
• |
••••••••• |
десятки |
|
•••••••••• |
единицы |
••• |
••••••• |
десятые |
•••• |
•••••• |
сотые |
Счетная доска позволяла производить простые арифметические действия над числами в соответствующей системе счисления.
1 Или дощаный счет, абак. Усовершенствованная конструкция – счеты.
2 Разряд или порядок
3 Вернее десятичная
Тихвинский В.И. Густяков Ю.М. позиционные системы счисления |
стр. 2 из 21 |
Допустим, надо сложить числа 123 и 357. a) Отложим первое число
• |
••••••••• |
•• |
•••••••• |
••• |
••••••• |
б) прибавим 7 единиц
сотни 
десятки 
единицы
• |
••••••••• |
сотни |
•• |
•••••••• |
десятки |
•••••••••• |
|
единицы |
переполнения разряда, поэтому, сдвинем его вправо
• |
••••••••• |
•• |
•••••••• |
|
•••••••••• |
а в старший разряд добавим марку
сотни 
десятки 
единицы
• |
••••••••• |
••• |
••••••• |
|
•••••••••• |
в) прибавим 5 десятков
сотни 
десятки 
единицы
• |
••••••••• |
•••••••• |
•• |
в) прибавим 3 сотни |
•••••••••• |
|
сотни
десятки
единицы
•••• |
•••••• |
•••••••• |
•• |
итого: 480 |
•••••••••• |
|
сотни
десятки
единицы
Тихвинский В.И. Густяков Ю.М. позиционные системы счисления |
стр. 3 из 21 |
Иногда считали одновременно на двух счетных досках. Допустим, надо сложить числа 6 и 7.
a) |
|
|
|
|
первое слагаемое |
второе слагаемое |
|
||
|
•••••••••• |
|
•••••••••• |
десятки |
•••••• |
•••• |
••••••• |
••• |
единицы |
б) Прибавим 4 единицы в первом слагаемом, и отнимем 4 единицы во |
||||
втором |
|
|
|
|
|
•••••••••• |
|
•••••••••• |
десятки |
•••••••••• |
|
••• |
••••••• |
единицы |
переполнение |
|
|
|
|
|
•••••••••• |
|
•••••••••• |
десятки |
|
•••••••••• |
••• |
••••••• |
единицы |
• |
••••••••• |
|
•••••••••• |
десятки |
|
•••••••••• |
••• |
••••••• |
единицы |
б) Прибавим 3 единицы в первом слагаемом, и отнимем 3 единицы во |
||||
втором |
|
|
|
|
• |
••••••••• |
|
•••••••••• |
десятки |
••• |
••••••• |
|
•••••••••• |
единицы |
Итого: 13 |
|
|
|
|
Такой счет требует дополнительных затрат труда и времени, поэтому он не получил распространения.
Тихвинский В.И. Густяков Ю.М. позиционные системы счисления |
стр. 4 из 21 |
|||
Умножение осуществлялось многократным сложением. Деление на 2 |
||||
производилось следующим образом. |
|
|
|
|
надо разделить 23 пополам. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•• |
•••••••• |
десятки |
|
|
••• |
••••••• |
|
единицы |
•••••••••• 
десятые
а) разделим единицы, но у нас их нечетное число! поэтому оставим максимально возможную нечетную часть
•• |
•••••••• |
десятки |
• |
••••••••• |
единицы |
•••••••••• 
десятые
а в младший разряд добавим половину единицы (марки)
•• |
•••••••• |
десятки |
• |
••••••••• |
единицы |
••••• |
••••• |
десятые |
б) разделим десятки |
|
|
• |
••••••••• |
десятки |
• |
••••••••• |
единицы |
••••• |
••••• |
десятые |
итого 11,5 |
|
|
Тихвинский В.И. Густяков Ю.М. позиционные системы счисления |
стр. 5 из 21 |
реконструкция древнейшей позиционной системы счисления
(д.п.с.с.) 1
литографическое изображение клинописной математической таблицы
1 Считается, что это шумерская или вавилонская система счисления.
Тихвинский В.И. Густяков Ю.М. позиционные системы счисления |
стр. 6 из 21 |
литографическое изображение клинописного математического текста 1
1 содержит не только математические знаки
Тихвинский В.И. Густяков Ю.М. позиционные системы счисления стр. 7 из 21
Счетная доска для д.п.c.c.
|
вес |
|||||||
|
разряда 1 |
|||||||
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• |
216000 |
|
|
|||||
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• |
3600 |
|
|
|
||||
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• |
60 |
|
|
|
|
|||
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|||
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• |
||||||||
60 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• |
|
1 |
|
|
|
|||
3600 |
|
|
||||||
|
|
|
||||||
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• |
|
1 |
|
|
|
|||
216000 |
|
|||||||
• – 30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
• или • – 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
• или • – 6 Сумма отложенных в одном разряде счетной доски марок соответствует
цифре. Количество цифр в позиционной системе счисления равно основанию системы N.
Конгломерат сумм отложенных во всех разрядах счетной доски марок соответствует числу, которое состоит из одной или более цифр.
В д.п.с.с. каждый последующий разряд был больше предыдущего в 60
раз.
1 Вес разряда – число, на которое умножается количество отложенных марок
Тихвинский В.И. Густяков Ю.М. позиционные системы счисления |
стр. 8 из 21 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Цифры |
соответствующие |
Цифры |
соответствующие |
Цифры |
соответствующие |
|
арабские цифры |
арабские |
арабские |
||||
д.п.c.c. |
д.п.c.c. |
д.п.c.c. |
||||
и числа |
числа |
числа |
||||
|
|
|
||||
|
1 |
|
21 |
|
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
22 |
|
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
23 |
|
43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
24 |
|
44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
25 |
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
26 |
|
46 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
27 |
|
47 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
28 |
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
29 |
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
30 |
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
31 |
|
51 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
32 |
|
52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
33 |
|
53 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
34 |
|
54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
35 |
|
55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
36 |
|
56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
37 |
|
57 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
38 |
|
58 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
39 |
|
59 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
40 |
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тихвинский В.И. Густяков Ю.М. позиционные системы счисления стр. 9 из 21
Число 60 |
отражало следующее состояние счетной доски. |
|
|
|
отложено |
|
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• |
0 |
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• |
60 |
|
|
итого: |
60 |
Из-за отсутствия цифры нуль иное возможное в данном случае состояние счетной доски числом не отражалось, как и в нашей десятеричной системе не отражается числом состояние счетной доски, когда отложено 10 марок в разряде.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отложено |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• |
|
1×60 |
|
||||
|
|
|
|
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• |
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
итого: |
|
60 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
двухразрядные |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
числа |
|
поразрядный перевод в десятеричную систему счисления |
|
|||||
|
|
д.п.c.c. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1×60+1 = 61 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1×60+10 = 70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
состояние счетных досок |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
отложено |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• |
1×60 |
|
|
|
|||
|
• |
|
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• |
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
итого: |
61 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отложено |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• |
|
1×60 |
|
|
|||
|
•••••••••• |
|
|
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
итого: |
|
70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тихвинский В.И. Густяков Ю.М. позиционные системы счисления |
|
стр. 10 из 21 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
двухразрядные |
|
|
|
|
|
||
|
числа |
|
поразрядный перевод в десятеричную систему счисления |
|
|||
|
д.п.c.c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
59×60+60 = 3540+60 = 3600 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60×60+1 = 3600+1 = 3601 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60×60+60 = 3600+60 = 3660 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
состояние счетных досок |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
отложено |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• |
• |
59×60 = 3540 |
|
||||
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• |
|
60 |
|
||||
|
|
|
|
итого: |
3600 |
|
|
|
|
|
|
|
|
отложено |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• |
|
|
60×60 = 3600 |
|
|||
• |
|
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• |
|
1 |
|
||
|
|
|
|
итого: |
|
3601 |
|
|
|
|
|
|
|
отложено |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• |
|
60×60 = 3600 |
|
||||
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• |
|
60 |
|
||||
|
|
|
|
итого: |
3660 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|