lek3
.pdfЗначит, в правую часть уравнения нужно добавить еще один член. Как же он должен выглядеть? Если электрический заряд с течением времени вытекает из объема через замкнутую поверхность, заключающую в себе этот объем, то напряженность электрического поля уменьшается, и производная от напряженности электрического поля по времени будет отрицательной. Добавив в правую часть уравнения член, содержащий эту производную, можно будет устранить возникшее недоразумение:
∫ |
r r |
|
∫ |
∂E |
r |
|
j dS + ε |
|
dS = 0 , |
||||
0 |
∂t |
|||||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||
S |
|
|
S |
|
|
что вполне допустимо.
Теперь этот второй член нужно добавить в теорему о циркуляции вектора В. Получим новое уравнение, уравнение Максвелла:
∫ |
r r |
|
∫ |
r r |
|
∫ |
∂E |
r |
. |
B dl = µ |
|
j dS + µ ε |
|
dS |
|||||
|
|
∂t |
|||||||
|
0 |
0 |
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
l |
|
|
S |
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это уравнение имеет важный физический смысл. У магнитного поля есть два источника: первый – это движущийся электрический заряд или ток, а второй
– это переменное электрическое поле.
Переменное электрическое поле порождает в пространстве маг-
нитное поле. Это явление и называется явлением магнитоэлектрической индукции.
Выражение
|
∂E |
r |
|
ε 0 |
= jсм |
||
∂t |
|||
|
|
получило название вектора поверхностной плотности тока смещения в вакууме или просто ток смещения в вакууме.
СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА Четыре уравнения: теорема Гаусса для электрического поля, закон Фа-
радея, теорема Гаусса для магнитного поля и уравнение Максвелла, – составляют систему уравнений Максвелла. Именно Максвелл записал все эти уравнения в той форме, в какой они записаны ниже.
|
|
r |
|
|
r |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫E dS = |
|
∫ ρ dV |
, |
|
|
|||||||||
|
|
ε |
0 |
|
|
|||||||||||
|
|
S |
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
∂B |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
∫E dl = −∫ |
|
dS |
, |
|
|
|||||||||
|
|
∂t |
|
|
||||||||||||
|
|
l |
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫B dS = 0 |
, |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∫ |
r r |
|
∫ |
r |
r |
|
|
|
|
|
∫ |
∂E |
r |
. |
||
B dl = µ |
|
j dS + µ ε |
|
dS |
||||||||||||
|
|
∂t |
||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
l |
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первые два уравнения показывают, как возникает электрическое поле. Во-первых, согласно теореме Гаусса для электрического поля оно создается положительными и отрицательными электрическими зарядами. Это поле имеет потенциальный характер. Во-вторых, согласно закону Фарадея вихревое электрическое поле порождается переменным магнитным полем. Естественно, что это поле имеет вихревой характер.
Вторые два уравнения рассказывают о магнитном поле. Магнитное поле всегда вихревое и имеет только вихревой характер. Поэтому поток вектора магнитной индукции согласно теореме Гаусса для магнитного поля всегда равен нулю. Две причины возникновения магнитного поля: движущийся электрический заряд и переменное электрическое поле, – содержатся в четвертом уравнении.
Обратим еще раз внимание на то, что отличие от нуля потока векто-
ра через любую замкнутую поверхность говорит о потенциальном ха-
рактере поля этого вектора, а отличие от нуля циркуляции вектора по
любому замкнутому контуру говорит о вихревом характере этого поля.
В случае статики, то есть когда электрическое и магнитное поля неизменны (производные по времени равны нулю), система из четырех уравнений разбивается на две системы:
r r |
1 |
|
|
r |
|
|
||
∫E dS = |
∫ ρ dV |
и |
∫E dl = 0 |
, – |
два уравнения электростатики. Электроста- |
|||
ε |
0 |
|||||||
S |
V |
|
l |
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
тическое поле – поле с потоком, но без циркуляции, имеющее только потенциальный характер.
r |
и |
r |
r |
, – два уравнения магнитостатики. Магнитное по- |
∫B dS = 0 |
∫B dl = µ 0 |
∫ j dS |
||
S |
|
l |
S |
|
ле – поле с циркуляцией, но без потока, имеющее только вихревой характер.
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Свободные колебания осуществляются в так называемых колебатель-
ных системах. Колебательная система – это система тел, в которой имеется «потенциальная яма», то есть потенциальная энергия имеет минимум, соответствующий положению устойчивого равновесия. В колебательной системе при ее смещении из положения равновесия действует консервативная сила, возвращающая систему в положение равновесия. Смещение из положения равновесия обозначим буквой ψ. В механических колебательных системах это координата или угол. В электрических колебательных системах это заряд, сила тока или напряжение.
Ep
|
|
|
|
|
|
βψ 2 |
||
|
|
|
E |
p |
= |
|
|
. |
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом консервативная возвра- |
||||||
|
|
щающая сила будет равна |
||||||
0 |
ψ |
|
F = − |
dE p |
= −βψ . |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
ψ |
|
dψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Fψ |
|
Эта сила называется квазиупругой, |
||||||
|
|
так как по форме похожа на силу |
||||||
|
|
упругости, возникающую при аб- |
||||||
0 |
ψ |
солютно |
упругих |
деформациях. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Квазиупругая сила прямо пропорциональна смещению.
Используем второй закон Ньютона. Ускорение равно второй производной от смещения по времени. Если в колебательной системе нет трения или сопротивления, уравнение закона будет выглядеть следующим образом:
m |
d 2ψ |
= −βψ . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
dt 2 |
|
|
|
||||
Преобразуем это уравнение и представим его в виде |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
d 2ψ |
+ ω 2 = 0 |
, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
dt 2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
где ω – циклическая частота колебаний, величина которой ω = |
β |
|
и измеря- |
||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
ется в 1с . Выражение для циклической частоты зависит от вида колебатель-
ной системы.
Это уравнение называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний. В случае электрических колебаний роль второго закона Ньютона играет закон Ома, преобразование которого приводит к тому же дифференциальному уравнению гармонических колебаний, но циклическая частота имеет другое выражение.
Решением этого дифференциального уравнения являются гармонические колебания:
ψ = A cos(ω t + ϕ 0 ) .
Гармоническими называются колебания, происходящие по закону косинуса или синуса. Напомним, что sinx и cosx имеют одинаковые графики, лишь cдвинутые вдоль оси 0х (сдвинутые по фазе). В этой формуле А – амплитуда колебаний, – фаза колебаний, а φ0 – начальная фаза. Фаза колеба-
ний – безразмерная величина. На рисунке ниже показан график гармонических колебаний, т.е. график функции ψ = f (t ) .
Гармонические колебания – периодический процесс. Время Т одного полного колебания называется периодом. Через каждый период во времени колебательная система приходит в то же состояние, и функция принимает то же самое значение (см. рисунок).
ψ
А
0 |
t |
T
Поскольку cosϕ = cos(ϕ + 2π ), через каждый период во времени фаза ко-
лебаний изменяется на 2π. Используем это обстоятельство для получения формулы связи периода с циклической частотой. Прибавим период Т к моменту времени t. Получим
ψ (t + T ) = A cos(ω (t + T )+ ϕ 0 ) = A cos(ω t + ϕ 0 + ω T ) = A cos(ω t + ϕ 0 + 2π ),
откуда следует, что ωT = 2π . Итак,
T = 2π .
ω
Период колебаний обратен частоте: Т = 1 , а циклическая частота связа-
ν
на с частотой равенством ω = 2π ν . В отличие от циклической просто частота измеряется в Гц (Герцах). 1 Гц = 1/с.
ВОЛНА. УРАВНЕНИЕ ВОЛНЫ Колебания, происходящие в одной точке пространства, возбуждают ко-
лебания в соседних точках. Идет процесс распространения колебаний, называемый волной. Теперь смещение ψ (t, x) является функцией двух перемен-
ных: времени и координаты. Линия, вдоль которой распространяются колебания, называется лучом волны. Пусть волна распространяется вдоль оси х.
v |
|
|
|
Колебания в точке х = 0: |
0 |
|
|
|
ψ (t, x = 0) = A cos(ω t + ϕ 0 ) . |
x |
x |
Колебания в точках х > 0 отстают по фазе от колебаний в предыдущих точках. В момент времени t фаза колебаний в точке х меньше на величину, соот-
ветствующую времени t = x . Таким образом, колебания в точке х имеют
v
вид:
|
|
x |
|
|
ψ (t, x) = A cos ω t − |
|
+ ϕ |
. |
|
|
||||
|
|
v |
0 |
|
|
|
Это и есть уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х. Волна называется плоской, потому что фронт этой волны представляет собой плоскость, перпендикулярную оси х. На рисунке ниже изображена волна в некоторый момент времени.
Расстояние, которое волна проходит за один период колебаний, назы-
вается длиной волны. Соответственно, длина волны равна произведению скорости волны на период.
ψ
λ
λ = v T .
0 |
x |
Преобразуем фазу колебаний, исключив из ее выражения скорость волны:
ϕ = ω t − |
ω x |
+ ϕ |
|
= ω t − |
ω T x |
+ ϕ |
|
= ω t − |
2π |
x + ϕ |
|
= ω t − k x + ϕ |
|
, |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
||||||||
|
v |
|
λ |
|
λ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина k = 2π называется волновым числом. Теперь уравнение волны бу-
λ
дет иметь вид
ψ (t, x) = A cos(ω t − k x + ϕ 0 ),
который считается каноническим.
Отметим, что волновой процесс отличается тройственной перио-
дичностью: состояние среды периодически повторяется через каждые 2π
по фазе, через каждый период во времени и через каждую длину волны в пространстве.
ПЛОСКАЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА В ВАКУУМЕ
y Пусть в плоскости
i |
|
y0z |
идет переменный элек- |
|
E |
||
|
трический ток в направле- |
||
|
|
||
0 |
|
нии |
оси 0y, меняющийся |
|
|
||
z |
|
по закону |
|
|
c |
|
i = I cosω t . |
|
Во |
всем остальном про- |
|
B |
x |
странстве нет ни зарядов, ни токов.
Переменный ток вдоль оси 0y породит в пространстве переменное магнитное поле, направленное вдоль оси 0z, также изменяющееся по гармоническому закону. Переменное магнитное поле породит в пространстве электрическое поле, направленное вдоль оси 0y, которое также будет изменяться по гармоническому закону. Переменное электрическое поле в свою очередь породит переменное магнитное поле и так далее. Вспомним, что производная от косинуса есть минус синус, а от синуса – косинус, то есть все время получаются гармонические функции.
Таким образом, порождая друг друга, переменные электрическое и магнитное поля будут распространяться вдоль оси 0х в виде плоской электромагнитной волны. Во всех точках плоскости, перпендикулярной оси 0х, колебания вектора Е напряженности электрического поля и вектора В индукции магнитного поля происходят в одинаковой фазе:
r r
E = Emax |
||
r |
|
r |
|
= |
Bmax |
B |
|
cos(ω t − k x). cos(ω t − k x)
Эти формулы получены при решении системы уравнений Максвелла, причем скорость этой плоской электромагнитной волны получается равной
с = 3·108 м/c,
то есть равной скорости видимого света в вакууме. Это обстоятельство и навело Максвелла на мысль, что видимый свет есть не что иное, как электромагнитная волна.
Скорость с электромагнитной волны равна произведению длины волны на частоту:
c = λ ν .
Таким образом, длина электромагнитной волны и ее частота обратно про-
порциональны друг другу.
Физики часто называют электромагнитную волну светом. Диапазон частот электромагнитных волн огромен. Ощущение видимого света вызывают электромагнитные волны с частотами примерно от 4·1014 до 8·1014 Гц.
ПЕРЕНОС ЭНЕРГИИ ВОЛНОЙ. ИНТЕНСИВНОСТЬ ВОЛНЫ Распространяющиеся колебания частиц вещества внутри вещества на-
зываются механическими или звуковыми волнами. Распространение переменного электромагнитного поля называется электромагнитной волной. Од-
нако ни механические, ни электромагнитные волны не сопровождаются переносом самого вещества и не связаны с переносом массы. В волне от точки к точке происходит перенос энергии без переноса массы.
В незатухающей волне передается энергия, равная максимальной потенциальной энергии колебаний, пропорциональной квадрату амплитуды волны. Энергия, переносимая волной в единицу времени, называется потоком энергии. Поверхностная плотность потока энергии I называется интенсивностью волны:
I = |
dE |
|
, |
Вт |
. |
|
|
|
|||
|
dt |
S |
м2 |
СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ
Гармоническое колебание
|
A |
ψ = Аcos(ω t + ϕ 0 ) |
|
|
|
||
|
|
|
можно изобразить с помощью век- |
|
|
|
|
ω |
φ0 |
|
торной диаграммы, изображенной |
|
|
||
0 |
|
ψ |
на рисунке слева. Вектор А распо- |
|
|
|
ложен под углом φ0 к оси 0ψ. |
Если представить, что вектор А вращается с угловой скоростью ω, как это показано на рисунке, то проекция вектора на ось 0ψ будет равна значениям функции ψ(t).
С помощью векторной диаграммы можно произвести сложение двух колебаний одинакового направления и одной и той же частоты:
ψ = ψ 1 +ψ 2 = A1 cos(ω t + ϕ 01 )+ A2 cos(ω t + ϕ 02 ).
Сумма двух этих колебаний
|
|
А2 |
А |
|
должна иметь вид |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ = A cos(ω t + ϕ 0 ) . |
|
|
δ |
|
|
Амплитуда А будет равна сумме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А1 |
|
векторов А1 и А2: |
|
|
|
|
|
|
|
r r r |
0 |
|
|
ψ |
|
|
А = А1 + А2 . |
|
|
|
|
|||
Величину вектора А найдем с помощью теоремы косинусов: |
||||||
|
|
|
A2 = A2 |
+ A2 |
+ 2 A A cos δ , |
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
где δ = ϕ 02 − ϕ 01 |
– сдвиг колебаний по фазе. |
|
Теперь можно получить выражение для интенсивности результата сложения двух колебаний. Поскольку интенсивность прямо пропорциональна квадрату амплитуды, получим:
I = I1 + I 2 + 2I1 I 2 cosδ .
Таким образом, интенсивность результата сложения колебаний зависит от сдвига этих колебаний по фазе.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН Пусть два луча приходят в одну точку пространства. Тогда в этой точке
происходит сложение колебаний. Если две волны имеют одинаковую частоту, и если сдвиг по фазе между переносимыми этими волнами колебаниями не меняется с течением времени, то эти волны называются когерентными. При попадании лучей когерентных волн в одну точку происходит интерференция этих волн.
Интерференция волн – это сложение когерентных волн, приводящее к их взаимному усилению или гашению. Причиной интерференции является зависимость результата сложения колебаний от их сдвига по фазе. Вернемся к формуле для интенсивности результата сложения колебаний:
I= I1 + I 2 + 2I1 I 2 cosδ
иобратим внимание на то, что I ≠ I1 + I 2 , то есть интенсивность результата
сложения не равна сумме интенсивностей двух приходящих в одну точку лучей. Равенство нарушается из-за присутствия в правой части интерференци-
онного члена 2I1 I 2 cosδ . Поскольку cosδ может принимать все значения от 1
до –1, интенсивность результата сложения колебаний принимает значения от максимального
I max |
= I1 + I 2 + 2 |
|
I1 I 2 |
при δ max |
= 2πm (максимум интерференции) |
|
до минимального |
|
|
||||
|
|
|
|
при δ min |
= π (2m + 1) (минимум интерференции) |
|
|
= I1 + I 2 − 2 |
|
|
|||
I min |
I1 I 2 |
|
где m – любое целое число.
Если волны не когерентные, интерференция отсутствует. Покажем это. Чтобы зарегистрировать интерференцию, необходимо наблюдать процесс сложения в течение некоторого времени, по крайней мере, большего, чем период колебаний. Но за это время сдвиг по фазе может хаотически меняться, и