Задачи на формулы связи консервативной силы с потенциальной энергией

Задача 29. Найдите силу, действующую в поле, потенциальная энергия которого равна Е_P = 2x²y + 5xy³, Дж. Ответ: , Н.

Решение.

Вектор силы равен градиенту потенциальной энергии со знаком минус:

Задача 32. Найдите потенциальную энергию в поле сил F = ( 4/r⁴  6/r³ ), H. Ответ: , Дж.

Решение.

Если потенциальная энергия и сила зависит только от расстояния (радиуса), имеем

Возьмем неопределенный интеграл:

Имеем приИ окончательно

Примеры решения задач по электромагнетизму и волнам

Задача. Найти напряженность электрического поля в точке посередине между двумя точечными зарядами.

Решение.

Напряженность электрического поля – это вектор, начало которого находится в заданной точке. Этот вектор лежит на прямой, проходящей через точечный заряд и заданную точку. Вектор направлен в сторону от заряда, если он положительный, и к заряду, если он отрицательный.

Модуль вектора напряженности согласно формуле

прямо пропорционален величине заряда и обратно пропорционален квадрату расстояния от заряда до данной точки. Если точка находится посередине между двумя точечными зарядами, то модуль вектора напряженности поля больше у того заряда, который больше.

Пусть первый заряд больше второго. Сделаем рисунок для случая, если заряды одного знака. Векторы исмотрят в разные стороны.

– –

В этих двух случаях

Пусть первый заряд больше второго. Сделаем рисунок для случая, если заряды разного знака. Векторы исмотрят в одну сторону.

–

В этом случае

Задача на движение заряженной частицы по окружности в магнитном поле под действием силы Лоренца. Использовать термин: область локализации заряженной частицы. Найти период обращения частицы, радиус дуги окружности, скорость и импульс частицы, отношение заряда частицы к ее массе, величину вектора магнитной индукции.

Решение.

На движущуюся в магнитном поле заряженную частицу действует магнитная сила – сила Лоренца

где– угол между вектороми вектором магнитной индукции.

Если скорость заряженной частицы перпендикулярна вектору магнитной индукции, движение частицы происходит по окружности радиуса .Область локализации частицы в этом случае равна 2.

Запишем уравнение второго закона Ньютона: произведение массы частицы на нормальное ускорение равно силе Лоренца:

Откуда

Период обращения частицы по окружности равен

Импульс частицы равен

Задача. на закон Ома для замкнутой цепи. Найти напряжение на внешнем участке, напряжение на внутреннем участке и разность потенциалов на зажимах источника тока.

Решение.

Закон Ома для замкнутой цепи:

откуда

Напряжение на внутреннем участке цепи равно произведению силы тока на сопротивление внутреннего участка цепи:

Напряжение на внешнем участке цепи равно произведению силы тока на сопротивление внешнего участка цепи:

Разность потенциалов на источнике тока по модулю равна напряжению на внешнем участке цепи:

Задача на гармонические колебания. Найдите максимальное значение скорости частицы и максимальное значение силы, действующей на частицу.

Решение.

Уравнение гармонических колебаний частицы представляет собой уравнение зависимости координаты частицы от времени:

Для нахождения скорости и ускорения частицы дважды берем от производную по времени:

откуда максимальные значения скорости и ускорения соответственно равны

Максимальное значение силы равно

Задача на составление уравнения волны при любой паре заданных характеристик. Использовать все формулы связи между .

Решение.

Каноническое уравнение волны выглядит следующим образом:

где

циклическая частота колебаний, – период колебаний,– частота колебаний (число колебаний в единицу времени),

волновое число,

длина волны, а – скорость волны.

Если записано уравнение волны в канонической форме, то нам известна циклическая частота и волновое числопо числам, которые стоят соответственно переди.

Из этих формул получим

Скорость волны находим по формулам

Другая форма записи уравнения волны:

И так далее.

Задача. Напишите уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся со скоростью , если источник колебаний колеблется по законуs(t) = cost.

Решение.

Из данного закона колебаний нам известны амплитуда колебаний и циклическая частота. Для написания уравнения волны в канонической форме нам нужно только узнать величину волнового числа, которую мы найдем по формуле

Получим