Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний

. (1.39)

Функции , удовлетворяющие уравнению Шредингера при заданном видеU = U (x, y, z), называются собственными функциями. Они существуют лишь при определенных значениях Е, называемых собственными значениями энергии. Совокупность собственных значений энергии образует энергетический спектр частицы.

Если U – монотонная функция, представленная графиком на рис.5, где на бесконечности, то в областиЕ<0 собственные значения энергии образуют дискретный спектр. Отыскание собственных значений и собственных функций составляет важнейшую задачу квантовой механики.

Рис. 5. График зависимости функции U от х.

Движение свободной частицы

При движении свободной частицы (U=0) ее полная энергия совпадает с кинетической. В этом случае одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний примет вид

. (1.40)

Свободная частица в квантовой механике описывается плоской монохроматической волной де Бройля (1.33) с волновым числом k

. (1.41)

Выразим из последнего уравнения энергию

. (1.42)

Зависимость энергии от импульса оказывается обычной для нерелятивистских частиц. Следовательно, энергия свободной частицы может принимать любые значения, т.е. ее энергетический спектр является непрерывным.

Частица в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины

Потенциальной ямой называется ограниченная область пространства, в которой потенциальная энергия U частицы меньше некоторого значения U_max. В частности, при на обоих концах некоторого промежутка на оси х имеет место одномерная потенциальная яма. Это равносильно тому, что частица ограничена в своем движении внутри этого промежутка. Если потенциальная энергия частицы вне и внутри потенциальной ямы имеют следующие значения

при

прии, (1.43)

то яма имеет «плоское дно».

Стационарное уравнение Шредингера для частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме имеет вид

. (1.44)

Собственное значение энергии E_n частицы, находящейся на n-м энергетическом уровне в бесконечно глубокой одномерно прямоугольной «потенциальной яме»

E_n = (n=1,2,3,…), (1.45)

где l - ширина потенциальной ямы; m – масса частицы.

Рис. 6. Низкий потенциальный барьер бесконечной ширины

Соответствующая этой энергии собственная волновая функция

(n=1,2,3…). (1.46)

Коэффициент преломления n волн де Бройля на границе низкого потенциального барьера бесконечной ширины (рис.6)

(1.47)

где и— длины волн де Бройля в областях I и II (частица движется из области I во II); k₁ и k₂ – соответствующие значения волновых чисел.

Коэффициенты отражения и пропускания волн де Бройля через низкий (U < E) потенциальный барьер бесконечной ширины

; (1.48)

, (1.49)

где k₁ и k₂ – волновые числа волн де Бройля в областях I и II.

Коэффициент прозрачности D прямоугольного потенциального барьера конечной ширины

D = D₀ exp (1.50)

где U – высота потенциального барьера, Е – энергия частицы, D₀ = 1

(постоянный множитель, который можно приравнять единице), d – ширина барьера, m – масса частицы,  модифицированная постоянная Планка.

Из выражения (1.50) следует, что D сильно зависит от массы частицы, ширины барьера и от (U – Е); чем шире барьер, тем меньше вероятность прохождения сквозь него частицы.

Линейный гармонический осциллятор

Линейным (одномерным) гармоническим осциллятором называется частица с массой m, которая колеблется с собственной циклической частотой ω₀ вдоль некоторой оси ОХ под действием квазиупругой силы F, пропорциональной отклонению х частицы от положения равновесия:

F=-kx. Здесь – коэффициент квазиупругой силы. Потенциальная энергия гармонического осциллятора

. (1.51)

Уравнение Шредингера для линейного гармонического осциллятора

. (1.52)

Собственные значения энергии гармонического осциллятора

E_n = (n +)₀ (n = 0,1,2…). (1.53)

Формула (1.53) показывает, что энергия квантового осциллятора может иметь лишь дискретные значения, т.е. квантуется. Энергия ограничена снизу отличным от нуля, как и для прямоугольной «ямы» с бесконечно высокими «стенками», минимальным значением энергии – энергии нулевых колебаний.

Энергия нулевых колебаний гармонического осциллятора

E₀ = ₀ = h₀ (при n=0). (1.54)

Энергия нулевых колебаний – является типичной для квантовых систем и представляет собой прямое следствие соотношения неопределенностей.

Наличие нулевых колебаний означает, что частица не может находиться на дне «потенциальной ямы», причем этот вывод не зависит от ее формы. Действительно, «падение на дно ямы» связано с обращением в нуль импульса частицы, а вместе с тем и его неопределенности. Тогда неопределенность координаты становится сколь угодно, большой, что противоречит пребыванию частицы в «потенциальной яме».