14

1. Какие способы задания движения точки применяются в кинематике и в чем они состоят? Как определить траекторию при координатном способе задания точки?

Движение точки в пространстве определяется тремя основными способами: векторным, координатным и естественным.

Векторный: выберем некоторый неподвижный центр О и проведём из центра в точку М, движение которой изучаем, радиус-вектор r. При движении точки М радиус-вектор изменяется по величине и направлению. Каждому моменту времени t соответствует определённое значение r. Следовательно, радиус-вектор однозначно определяет положение точки М. таким образом, чтобы определить движение точки, нужно задать её радиус-вектор в виде однозначной и непрерывной функции времени r: r=r(t).

Координатный: Если координаты точки заданы как однозначные функции времени: x=x(t), y=y(t), z=z(t), то положение точки М в пространстве известно в каждый момент времени. Эти уравнения определяют закон движение точки и называются уравнениями её движения.

Естественный: этот способ задания движения применяется в том случае, когда траектория точки, относительно выбранной системы отсчёта, известна. При движении точки М криволинейная координата s будет изменяться с течением времени, то есть: s=s(t). Зная это уравнение, можно определить положение точки в каждый момент времени. Его называют уравнением движение или законом движения вдоль заданной траектории.

Зададим положение точки в пространстве координатным особом: x=x(t), y=y(t), z=z(t) (*). Чтобы определить положение точки в начальный момент времени (t=0) необходимо в уравнения (*) подставить t=0. Теперь, для определения траектории точки: s=s(t) воспользуемся формулой длины дуги кривой: или, с учётом того, что дифференцирование производиться по времени, можно переписать так: . Знак «+» берётся в том случае, когда точка движется в сторону с положительного отсчёта криволинейной координаты s.

2. Какая зависимость существует между радиус-вектором движущейся точки и вектором скорости этой точки? Как направлен вектор скорости криволинейного движения точки по отношению к её траектории?

Разложим радиус вектор по ортам декартовой системы координат: . Теперь продифференцируем равенство по времени. В результате получим разложение скорости по ортам : , разложение можно представить так: , где , , - проекции вектора скорости на оси координат. Таким образом, проекции скорости на неподвижные декартовы оси координат равны первым производным по времени соответствующих координат движущейся точки.

При векторном: Для того, чтобы точно вычислить скорость точки в данный момент времени, необходимо перейти в формуле перейти к пределу при стремлении промежутка времени к нулю, то есть: . Этот предел представляет собой первую векторную производную по времени от радиус-вектора точки по времени . Как следует из этих формул, вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону её движения.

При координатном: Найдём модуль скорости, зная её проекции: . Для определения направления вектора скорости воспользуемся направляющими косинусами:

, , . В итоге мы всё же прижжем к выводу, что вектор скорости направлен по касательной к траектории.

При естественном: , известно, что . Вектор есть единичный вектор касательной к траектории (её орт), направленный в сторону возрастания криволинейной координаты s. Обозначая орт касательной запишем начальную формулу так: , домножим левую и правую часть уравнения на единичный вектор : . Перепишет выражение так: . Таким образом, видно, что вектор скорости направлено по касательной к траектории точки.