20. Сформулируйте и докажите теорему о сложении скоростей в сложном движении точки.

Рассмотрим движение точки М относительно некоторого тела, с которым неизменно связана подвижная система координат Oxyz. Эта система в свою очередь движется по отношению к условно неподвижной системе . Положение точки М в подвижной системе координат определяется радиус-вектором , в неподвижной - радиус-вектором . Положение начала О подвижной системы координат относительно неподвижной определяется радиус-вектором . Векторы , и связаны следующим соотношением: .

Разложим радиус-вектор по ортам подвижной системы координат. В результате получим:

(1).

Подчеркнем еще раз, что х, у, z - координаты точки М в подвижной системе Oxyz, a - орты этой системы, которые являются функциями времени.

Абсолютная скорость точки М получается, как обычно, дифференцированием по времени радиус-вектора , определяемого формулой (1). В результате дифференцирования получим:

(2)

Проанализируем теперь получившееся равенство (2). Если бы х, у и z были постоянными, мы получили бы скорость точки М, неизменно связанную с подвижной системой координат, в которой в данный момент находится рассматриваемая точка М, т.е. переносную скорость. Из определения переносной скорости при х, у, z=const следует, что =. Но из формулы (2) в этом случае (т.е. при х, у, z =const) получим: (3).

С другой стороны, для скоростей точек в общем случае движения свободного твердого тела мы получили следующее выражение: , где - абсолютная скорость начала О подвижной системы координат, - вектор мгновенной угловой скорости подвижной системы координат.

Далее, если бы и были постоянными, т.е. система координат Oxyz стала бы неподвижной, то по определению относительной скорости =, то из формулы (2), в этом случае мы получили бы:

(4).

Поэтому формула (2) с учетом (3) и (4) приводит к теореме о сложении скоростей: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей этой точки:

20. Сформулируйте и докажите теорему о сложении ускорений в сложном движении точки.

Рассмотрим движение точки М относительно некоторого тела, с которым неизменно связана подвижная система координат Oxyz. Эта система в свою очередь движется по отношению к условно неподвижной системе . Положение точки М в подвижной системе координат определяется радиус-вектором , в неподвижной - радиус-вектором . Положение начала О подвижной системы координат относительно неподвижной определяется радиус-вектором . Векторы , и связаны следующим соотношением: .

Разложим радиус-вектор по ортам подвижной системы координат. В результате получим:

(*).

Для того, чтобы найти абсолютное ускорение точки, дважды продифференцируем равенство (*) по времени. В результате получим:

(1)

Если х, у, z постоянны, то их первые и вторые производные равны нулю и первые четыре слагаемых формулы (1) дают ускорение точки, неизменно связанной с подвижной системой координат, т.е. переносное ускорение:

С другой стороны, ускорение точки свободного твердого тела:

, где - абсолютное ускорение начала О подвижной системы координат, - вектор мгновенной угловой скорости подвижной системы координат.

Следующая группа, состоящая из трех слагаемых, представляет относительное ускорение:

Наконец, чтобы выяснить смысл последней группы слагаемых в соотношении (1) вспомним, что:

Тогда, заменяя в этой формуле на с компонентами , получим:

(2)

Ускорение, определяемое равенством (2), называют поворотным, или ускорением Кориолиса:

Итак, имеем: (3)

Формула (3) выражает следующую теорему: абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного, относительного и кориолисового ускорений.