Задачи для самостоятельной работы

Задача 1

Оцените значения константы π.

Учитывая то, что площадь круга S = πr², используя метод Монте-Карло, найдите площадь круга, а через нее - значение π.

Задача2

Молодой пилот-стажер, который осуществляет свой первый полет, оказался небрежным курсантом и практически ничего не помнил из того, чему его учили. От его пилотирования инструктор сразу же потерял сознание, и при посадке молодому пилоту пришлось полагаться лишь на себя. Вероятность того, что за одну попытку стажер благополучно завершит посадку самолета, составляет 0,1. Определите число заходов на посадку, которое сделает стажер для того, чтобы полет благополучно закончился для него и его инструктора (количество бензина в баках считать неограниченным).

Задача 3

Найдите оценку интеграла , величина которого равняется площади под кривой х^3/2 на отрезке 0 ≤ х ≤1.

Задача 4

Вероятность получения зачета студентом, который не посещал лекционные и практические занятия, составляет 0,13. Найдите оценку вероятности того, что студент получит зачет, если общее число сдач зачета не может превышать 7.

Задача 5

Найдите оценку площади равностороннего треугольника со стороной 1 см. Определите уравнения прямых, которые образуют стороны треугольника и используйте эти выражения в процедуре оценки попадания «случайной» точки в треугольник.

Задача 6

Для получения допуска к экзамену студенту необходимо полу­чить зачет по лабораторным работам (лабораторный курс состоит из К лабораторных работ). Вероятность зачета одной лабораторной работы для студента, который не защищал их в срок, составляет 0,3 за один «заход». Найдите оценку количества дней, нужных студенту на получение допуска к экзамену, если за один день он сможет получить зачет не более чем по одной лабораторной работе (на протяжении се­местра он не защитил ни одной работы).

Задача 7

Стрелку необходимо выбить четыре мишени. Вероятность по­ражения одной мишени составляет 0,14. Найдите оценку количества патронов, которое необходимо стрелку для того, чтобы попасть во все четыре мишени.

Задача 8

Молодой пилот-стажер, который полетел в свой первый полет, оказался небрежным курсантом. От его пилотирования инструктор сразу же потерял сознание, и при посадке молодому пилоту пришлось полагаться лишь на себя. Вероятность того, что за одну попытку ста­жер благополучно совершит посадку самолета, составляет 0,12. Най­дите оценку вероятности того, что полет благополучно закончится для него и его инструктора, если бензина в баках хватает только на 20 кругов, а пилот-стажер для одной попытки посадки делает один круг.

Задача 9 [12]

Багдадский вор заключен в подземелье с тремя дверями. Одни двери ведут на волю, вторые - в длинный туннель, а третьи - в ко­роткий. Попав в один из туннелей, вор снова оказывается в темнице. Он пробует выйти на волю, но при этом не помнит, в какие двери входил прошлый раз, то есть предполагается Марковский процесс. Вероятность того, что вор выберет нужные двери, равняется 0,3; ве­роятность попадания в короткий туннель - 0,2; вероятность попада­ния в длинный туннель - 0,5. Время пребывания вора в коротком туннеле - 3 мин, в длинном - 6 мин. Определите среднее время поис­ка пути на волю. Постройте процедуру статистических испытаний для решения задачи.

Задача 10 [14]

Промоделируйте поведение истребителя-бомбардировщика, по­сланного атаковать некоторый объект ракетами класса «воздух-земля». Каждая ракета наводится индивидуально. Размеры объекта -60x150 м². Заход на атаку происходит в направлении, которое совпадает с направлением длинной оси цели, точка прицеливания- гео­метрический центр цели. Фактическую точку попадания для каждой ракеты можно определить горизонтальным и вертикальным отклоне­ниями (рис. 3.14).

Для расстояния, с которого запускают ракеты, оба отклонения независимые, нормально распределенные величины относительно точки прицеливания и имеют нулевое среднее значение. Среднеквад­ратичное отклонение составляет 60 м в направлении X и 30 м в на­правлении Y.

Бомбардировщик при каждом заходе выпускает шесть ракет. Взяв объем выборки в 10 заходов, найдите оценку среднего числа по­паданий при каждой атаке. Для моделирования нормального распре­деления случайной величины воспользуйтесь рис. 3.12.

Задача 11

Промоделируйте случайную двумерную дискретную величину (X,Y). Случайная величина (СВ) X может принимать значения 1, 2, 3, 4, а случайная величина Y- 10, 20, 30, 40, причем каждой паре значе­ний X_iY_i соответствует вероятность p(ij) (см. табл. 3.4).

Таблица 3.4

Задача 12

Промоделируйте случайную двумерную дискретную величину (X,Y). Случайная величина X может принимать значения 3, 5, 7, 9, а случайная величина Y- 150, 250, 350, причем каждой паре значений х_i у_i соответствует вероятность p(ij) (см. табл. 3.5).

Таблица 3.5

;|

Задача 13 [14]

Допустим, что потребление воды в городе имеет нормальное распределение. Найдите оценку среднего потребления воды в день так, чтобы ошибка не превышала ±6000 л с вероятностью 0,95. Из­вестно, что разумная область разброса потребления воды составляет 120 тыс. л/день. Каким должен быть необходимый для этого исследо­вания объем выборки (сколько дней нужно моделировать)?

Задача 14 [12]

Используя результаты 20 имитационных прогонов для оценки времени пребывания посетителей в системе, которые приведены в скобках (1,1; 2,8; 3,7; 1,9; 4,9; 1,6; 0,4; 3,8; 1,5; 3,4; 1,9; 2,1; 3,8; 1,6; 3,2; 2,9; 3,7; 2,0; 4,2; 3,3), вычислите оценки для выборочного средне­го, дисперсии и коэффициента вариации. Постройте гистограмму, ко­торая содержит пять интервалов (длина каждого интервала равняется единице), причем нижняя граница первого интервала равняется нулю.

Задача 15

Даны случайные некоррелированные переменные А, В, С. Пере­менная А имеет нормальное распределение с т = 100 и σ_a - 20. Пере­менная В также распределена нормально с т = 20 и σ_в = 5. Распреде­ление переменной С задано в табл. 3.6.

Таблица 3.6

Используя метод Монте-Карло, оцените среднее значение новой переменной D, которая определяется так: D = (A + B)/C. Используйте выборку из 10 значений, которую необходимо получить с помощью распределения, приведенного на рис. 3.12.

Задача 16

Пусть имеется модель наземной противовоздушной ракетной установки. Сколько нужно смоделировать отражений воздушной ата­ки, чтобы частота поражения цели отличалась от истинной вероятно­сти не больше чем на 0,02 с вероятностью не меньше чем 0,85?