
БИЛЕТ 10
1) Недостатки методов исключения (решения систем линейных алгебраических уравнений). Реализация метода Гаусса с сохранением элементарных операций в матрице преобразований.
2). Оценка точности вычисления собственных значений с использованием нормализованного LQ-разложения постоянной матрицы. Вычисление с его помощью собственных векторов.
Недостатки методов исключения. Реализация метода Гаусса с сохранением элементарных операций в матрице преобразований. Метод Гаусса (единственного деления) Две системы называются эквивалентными, если все решения первой являются решениями второй и наоборот. в основе метода Гаусса - элементарные операции:1)перестановка ур-ний местами2)умножение какого-либо ур-ния на число3)замена i-того ур-ния на сумму i-того и j-того (возможно умноженного на число). Процесс решения системы ур-ний разбивается на 2 этапа:1)прямой ход метода Гаусса2)Обратный ход метода Гаусса. Прямой ход - преобразование системы 1 в систему 2.Обратный ход - решение системы.Недостатки:1)метод не универсален(в процессе прямого хода делим на ведущий элемент, он может оказаться нулём)2)относительно небольшая точность3)в методе нет памяти. Вычисление обратной матрицы: A (n*n) A-1=? Обратная матрица, если она не вырождена. AA-1=A-1A=E A-1 =x AA-1 A[x]=E D=1/3n3+1/2n2*n 1/2n2+n3+n2 Операции вычисления обратной матрицы очень трудоёмки. Ортогональная матрица: QQT=QTQ=E
[ Вычисления определителя матрицы: detA=S1+…+Sn detA= [ 1 a12 … a1n ] [1 a12 … a1n ] a1 [ a21 …… a2n ] = [0 a22 … a2n ] [ am1 …… amn][0 am2 … amn] Два числа взаимообратные (маленьк. и большое), представлена в виде бесконечного произведения (>1хp1 (маленьк.) <1 хp2 (больш.) |
Оценка точности вычисления собственного значения с использованием нормализованного LQ-разложения постоянной матрицы. Вычисление с его помощью собственных векторов. LQ – разложения. -------------- --------------- [ ] [\ 0 ] [ ] [ A ] = [ \ ] [ Q]Это разложение можно получить с помощью матриц: [ ] [ L \ ] [ ] -- разложения -------------- -------------- -- вращения Существуют нормализованные разложения Решение систем ур-ний: Ax=y LQx=y 1) Lz=y 2)x=QTz Предварительно, если нужно вычислить не все строки, а какой-то процент строк! LQ – вектор строка Нормализованные разложения каждый раз выбирается строка с максимальной нормой _________ [\ 0 ] [ k \ ] [ \10] [lkk]<eps~10-15 ----------------------- [lii]<[lii+1] L K – ранг матрицы A
|
Билет № 11.
1). LU- , LQ- , QR- разложения и их использование для решения систем линейных алгебраических уравнений, вычисления определителя числовой матрицы.
2). Уточнение собственных значений методом Ньютона.
Lu- разложение (на основе метода Гауса) Любая квадратная матрица А, из которой главные миноры не равны нулю, с помощью невырожденного преобразования может быть преобразована в матрицу u,приэтом матрицаS(преобразования)- нижняя треугольная.
SA=u S=
U=
Существует нижняя треугольная матрица L, обратная к матрице S, причём L- нижняя треугольная. LS=SL=E; L=S^-1
Достоинства: Простота, быстрота, часто применяется Недостатки: Такое разложения не существует всегда
QR разложение
Q- ортогональная матрица R- верхняя треугольная матрица
QQ^T=
Q^TQ=E х= у Q^TQRX=Q^Tyx= y Ax=y
QRx=y R Q^T
R O P=3/2 n^2 i i
| | | |
. y= . 0 i
det A= det(QR)=det Q det R= r11 .. .. .. ..rnn
Независимо от того вырождена матрица или нет есть решения всегда. На практике часто прибегают решению вырожденой матрицы, для: Оценка точности, вычисления собственных значений. Всевозможные аналитическое преобразование. Определение рагна матрицы.
LQ- разложение
А 0
L =QЭто разложение можно получиться с помощью: -разложения - вращения
Q1Q2Qn-1= A
Существуют нормальнованные разложения Решения систем уравнений:
Ax=y1)Lz=y LQx=y2)x=Q^Tz
Предпочтительно, если нужно вычислять не все строки, а какой то процент строк.
LQ- вектор строка Нормализованные разложения каждый раз выбирается строка с максимальной нормой |
Уточнение собственных значений методом Ньютона.
Lim=0DetA(λi)=0
Трацепевидная матрица- собственное значение Треугольная матрица- не решается
[d\dxA(λi)=A1, еслизадачаA1λ+A0]
λi+1=λi- 1/Z(n) -оценка точности, -уточнение собственных значений (если необходимо) -собственный вектор
A(λi)=LQ^T
|
МАЛЕНЬКИЙ СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Ортогональная матрица — квадратная матрица A с вещественными элементами, результат умножения которой на AT равен единичной матрице:[1] Большая советская энциклопедия