Недостатки методов исключения. Реализация метода Гаусса с сохранением элементарных операций в матрице преобразований.

Метод Гаусса (единственного деления)

Две системы называются эквивалентными, если все решения первой являются решениями второй и наоборот.

в основе метода Гаусса - элементарные операции:1)перестановка ур-ний местами2)умножение какого-либо ур-ния на число3)замена i-того ур-ния на

сумму i-того и j-того (возможно умноженного на число). Процесс решения системы ур-ний разбивается на 2 этапа:1)прямой ход метода Гаусса2)Обратный ход метода Гаусса. Прямой ход - преобразование системы 1 в систему 2.Обратный ход - решение системы.Недостатки:1)метод не универсален(в процессе прямого хода делим на ведущий элемент, он может оказаться нулём)2)относительно небольшая точность3)в методе нет памяти.

Вычисление обратной матрицы:

A (n*n) A^-1=?

Обратная матрица, если она не вырождена.

AA^-1=A^-1A=E A^-1 =x

AA^-1

A[x]=E

D=1/3n³+1/2n²*n

1/2n²+n³+n²

Операции вычисления обратной матрицы очень трудоёмки.

Ортогональная матрица: QQ^T=Q^TQ=E

[oдействий]

Вычисления определителя матрицы:

detA=S₁+…+S_n

detA= [ 1 a₁₂ … a_1n ] [1 a₁₂ … a_1n ]

a1 [ a₂₁ …… a_2n ] = [0 a₂₂ … a_2n ]

[ a_m1 …… a_mn][0 a_m2 … a_mn]

Два числа взаимообратные (маленьк. и большое), представлена в виде бесконечного произведения (>1_хp₁ (маленьк.)

<1 _хp₂ (больш.)

Оценка точности вычисления собственного значения с использованием нормализованного LQ-разложения постоянной матрицы. Вычисление с его помощью собственных векторов.

LQ – разложения.

_{-------------- ---------------}

[ ] [\ 0 ] [ ]

[ A ] = [ \ ] [ Q]Это разложение можно получить с помощью матриц:

[ ] [ L \ ] [ ] -- разложения

^{-------------- --------------} -- вращения

Существуют нормализованные разложения

Решение систем ур-ний:

Ax=y

LQx=y 1) Lz=y

2)x=Q^Tz

Предварительно, если нужно вычислить не все строки, а какой-то процент строк!

LQ – вектор строка

Нормализованные разложения каждый раз выбирается строка с максимальной нормой

_________

[\ 0 ]

[ k \ ]

[ \10] [l_kk]<eps~10^-15

^{-----------------------} [l_ii]<[l_ii+1]

L

K – ранг матрицы A

Lu- разложение (на основе метода Гауса)

Любая квадратная матрица А, из которой главные миноры не равны нулю, с помощью невырожденного преобразования может быть преобразована в матрицу u,приэтом матрицаS(преобразования)- нижняя треугольная.

SA=u

S=

U=

Существует нижняя треугольная матрица L, обратная к матрице S, причём L- нижняя треугольная.

LS=SL=E; L=S^-1

Достоинства:

Простота, быстрота, часто применяется

Недостатки:

Такое разложения не существует всегда

QR разложение

Q- ортогональная матрица

R- верхняя треугольная матрица

QQ^T= Q^TQ=E

х= у

Q^TQRX=Q^Tyx= y

Ax=y

QRx=y

R Q^T

x=y D=n^2 + ½ n^2

R

O

P=3/2 n^2

i i

x=

| |

| |

.

y= .

0

i

det A= det(QR)=det Q det R= r11 .. .. .. ..rnn

Независимо от того вырождена матрица или нет есть решения всегда.

На практике часто прибегают решению вырожденой матрицы, для:

Оценка точности, вычисления собственных значений.

Всевозможные аналитическое преобразование.

Определение рагна матрицы.

LQ- разложение

А

0

L

=QЭто разложение можно получиться с помощью:

-разложения

- вращения

Q1Q2Qn-1=

A

Существуют нормальнованные разложения

Решения систем уравнений:

Ax=y1)Lz=y

LQx=y2)x=Q^Tz

Предпочтительно, если нужно вычислять не все строки, а какой то процент строк.

LQ- вектор строка

Нормализованные разложения каждый раз выбирается строка с максимальной нормой

Уточнение собственных значений методом Ньютона.

Lim=0DetA(λi)=0

1. Подставка в матрицу собственных значений и разложение матрицы.

Трацепевидная матрица- собственное значение

Треугольная матрица- не решается

2. hz=d\dxA(λi)qn- последняя строка ортогональной матрицы (собственый вектор)

[d\dxA(λi)=A1, еслизадачаA1λ+A0]

3. Ньютоновская поправка

λi+1=λi- 1/Z(n) -оценка точности,

-уточнение собственных

значений (если необходимо)

-собственный вектор

A(λi)=LQ^T