Билет № 15.

Оценка погрешности решения СЛАУ. Различные нормы векторов и матриц. Неустранимая погрешность. Число обусловленности матрицы и его влияние на относительную погрешность решения СЛАУ.

Нормой вектора является противопоставление вектору x какого-либо скаляра ||x||, отвечающего требованиям:

1. ||x||>0 и ||x||=0 только если x=0

2. ||kx||=k||x|| для любого числа k и вектора x

3. ||y+x||||x||+||y|| для любых векторов x и y

Способы вычисления:

1. взятие суммы значений вектора

по модулю:

2. Нормой является корень суммы квадратов модулей значений вектора:

3) Взятие максимального по модулю значения:

Нормой матрицы а является число

Обладающее основными свойствами:

1. ||A||>0 и ||A||=0 только если A=0

2. ||kA||=k||A|| для любого числа k и матрицы A

3. ||A+B||||A||+||B|| для любых матриц A и B

4. ||AB||||A|| ||B||

Выделяют три вида норм матриц и способа их вычисления, каждая из которых соответствует способу вычисления векторной нормы:

1)Вычисление максимальной суммы элементов матрицы по столбцам:

2) Вычисление норма, используя евклидову норму:

3) Вычисление максимальной суммы элементов матрицы по строке

Рассмотрим влияние значений погрешностей в исходных данных.

1) Пусть значения матрицы заданы и значения ее правой части заданы неточно, тогда решение будет с погрешностью.

Пусть дана Ax=y (1)

значения заданы с погрешностью:

A(x+x)=y+y

Ax+Ax=y+y, вычтем (1), получим:

Ax=y

x=A^-1y

||x||||A^-1|| ||y|| (из x=A^-1y)

||A|| ||x||||y||

||x|| ||A-1|| ||A|| ||y||

||x|| ||y||

||x||cond A ||y||

значит мы определили, что значение относительной погрешности зависит от относительной погрешности правой части и от числа обусловленности системы.

CondA=||A|| ||A^-1|| - число обусловленности матрицы, если оно велико, то матрица плохо обусловлена, если мало, то наоборот.

2) рассмотрим случай когда коэффициенты матрицы заданы неточно

(A+A)(x+x)=y

x=(A+A)^-1 y- A^-1y=(( A+A)^-1 - A^-1)y= A^-1A (A+A)^-1 y

||x||  ||A-1|| ||A|| ||A||

||x+x|| ||A||

||x||CondA||A||

||A||

Пусть в системе правый вектор задан плохо обусловленным правым вектором

x1+0.9x2=1.99 | 1.989903

0.99x1+0.98=1.97 | 1.970106

а) x1=x2=1

б) x1=3 x2=1.0203

Во 2ом случае ошибка составила менее 200%, т.е. это вообще не решение, а число обусловленности равно 39600

Если в матрице присутствуют очень большие и очень маленькие значения (большой разброс в значениях), то матрица плохо обусловлена.

a₁₁x+a₁₂y=z1

a₂₁x+a₂₂y=z₂

y=z1 - x a11

a12 a12

y=z2 - x a21

a22 a22

Если линии пересекаются, то система

совместна.

Мы имеем тот случай, когда погрешность в условии перешла в погрешность решения.

Норма матрицы может быть представлена как отношение максимального и минимального собственного значений матрицы. cond(A) =max/min

Для уменьшения числа обусловленности используют алгоритмы масштабирования, в основе которого лежит переход к другой матрице с меньшим числом обусловленности.

Уинкинсон предложил алгоритм маштабирования:

Ax=Y;

D₁Ax = D₁Y; x= D₂ z;

D₁ = - выбирается так, чтобы не было большого разброса коэффициентов

(коэффициенты это 2 или 10 в различной степени)

D₁ AD ₂z = D₁Y;

новая матрица,у которой число обусловленностей должно быть меньше

Построение интерполяционного многочлена Лагранжа.

Основная задача построения многочлена Лагранжа- снизить трудоемкость построения многочлена:

Pn(x)=an xⁿ+…..+a1x+a0

Пусть даны узлы интерполяции:

(x0,y0)……(xn,yn) и Pn(xi)=yi, i=0,n (функция задающая значения)

Лагранж предложил использование другой формы построения многочлена.

Пусть задана (n+1) точка узлов интерполяции и пусть многочлен представлен в виде:

Pn(x)=y₀b₀(x)+…..+y_nb_n(x),

где yo…..yn- таблично заданные узлы интерполяции

b0…..bn- многочлены степени n

y₀b₀(x0)+…..+y_nb_n(x0)=y0

y₀b₀(x1)+…..+y_nb_n(x1)=y1

………………………..

y₀b₀(xn)+…..+y_nb_n(xn)=yn

гдеbj= 1, i=j

0, ij

bj(x)=Cj(x-x0)(x-x1)…….(x-xn)

Cj(xj-x0)(xj-x1)………..(xj-xn)=1

Cj= 1 .

(xj-x0)(xj-x1)………..(xj-xn)

Pn(x)=yi(x-x0)(x-x1)………..(x-xn)для i=0,n

(xi-x0)(xi-x1)………..(xi-xn)

Тогда интерполяционный многочлен Лагранжа будет иметь вид:

Lj(x)=(x-x0)(x-x1)……(x-xn)

P(n)= )=yiLj(x)для i=0,n

Lj(xi)

Многочлен Лагранжа используется в тех случаях, когда имеется небольшое количество точек, т.к. сам многочлен строится мгновенно, а вычисление самих точек достаточно трудоемко.