МБИ, Высшая математика, Элементы алгебры матриц

Адрес сайта-www.Dariapiatkina.Narod.Ru/банковский интситут/высшая математика

Высшая математика

2 Семестр Лекция № 1.

Матрицы и действия над ними.

Введение.

Понятие матрицы и основанный на нём раздел математики – матричная алгебра – имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное - компактной матричной форме. Также понятие матрицы всем известно по одноимённому кинофильму Матрица. В компьютере файлы картинок хранятся в виде матриц. Форматы jpg, bmp кодируются матрицами. Обработка картинок в Photoshop – это матричная обработка. Раньше существовало такое понятие как матричный принтер. Таблицы Excel – это матричная форма представления результатов.

Матрица размера - прямоугольная таблица чисел, каждый элемент которой имеет 2 индекса ( первый - по строке и второй - по столбцу). Числа, составляющие матрицу, называют элементами матрицы. Матрицы обозначаются большими латинскими буквами A, B, C, D и т.д. Элементы матриц обозначаются маленькими буквами с индексами.

матрица размера

Частные случаи:

- матрица-строка (в матрице одна строка)

- матрица-вектор (в матрице один столбец)

Пример:

матрица размера

к каждому элементу можно обратиться по его индексам (первый-строка, второй-столбец)

Если матрица имеет одинаковое число строк и столбцов, то она называется квадратной.

Пример:

пример квадратной матрицы размера

Квадратная матрица - у которой на главной диагонали 1, а вне главной диагонали 0 называется единичной

- единичная матрица размера 3x3

Действия над матрицами

Над матрицами больших размеров действия вручную не производятся. Есть специальные компьютерные программы, которые используются для обсчёта матриц. Типичный пример матриц - это таблицы Excel.

Транспонирование – это процедура, при применении которой в матрице меняются местами строки и столбцы. Транспонированная матрица обозначается верхним индексом «T». Если у исходной матрицы размер , то у транспонированной матрицы размер

Пример:

- исходная матрица (

- транспонированная матрица

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

Определитель матрицы – это число, характеризующее матрицу. Если определитель матрицы не равен 0, то говорят, что матрица невырожденная. В противном случае матрицу называют вырожденной. Определитель вычисляется только для квадратных матриц.

Определитель матрицы A обозначают как (det A)

Пусть матрица состоит из одного элемента (т.е. имеет размер )

В этом случае

Пусть матрица A имеет размер

для матрицы - определитель 2-го порядка

Как запомнить формулу для определителя втрого порядка: вычитание идет крест на крест по диагонали

Пример:

(отличен от 0 => матрица невырожденная)

Пусть матрица A имеет размер (метод – разложение по первой строке)

для матрицы - определитель 3-го порядка рассчитывается через определители второго порядка (определители 2 –го порядка рассчитываются по формуле, приведённой выше)

Как запомнить формулу для определителя третьего порядка:

• умножается на определитель матрицы , которая получается из матрицы A вычёркиванием строки и столбца с ,

• умножается на определитель матрицы, которая получается из матрицы A вычёркиванием строки и столбца с ,

• умножается на определитель матрицы , которая получается из матрицы A вычёркиванием строки и столбца с ,

• Знаки в формуле чередуются «+», «-», «+»

Пример на вычисление определителя:

СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ (на примере матриц )

- матрицы складываются поэлементно (складываем числа на одинаковых

местах)

!!! Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковый размер (т.е. одинаковое число строк и столбцов)

Пример:

Умножение матриц ( на примере матриц и )

или сокращённо

формула для умножения матриц

- матрицы A и B можно перемножать, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. Если матрица A имеет размер , а матрица B имеет размер , то матрица имеет размер . ()

Пример:

(Матрица умножается на матрицу . В результате получается матрица размера )

Получение первой строки матрицы C

() первую строку м-цы A умножаем на первый столбец м-цы B поэлементно и складываем

() первую строку м-цы A умножаем на второй столбец м-цы B поэлементно и складываем

() первую строку м-цы A умножаем на третий столбец м-цы B поэлементно и складываем

() первую строку м-цы A умножаем на четвертый столбец м-цы B поэлементно и складываем

Получение второй строки матрицы C

() вторую строку м-цы A умножаем на первый столбец м-цы B поэлементно и складываем

() вторую строку м-цы A умножаем на второй столбец м-цы B поэлементно и складываем

() вторую строку м-цы A умножаем на третий столбец м-цы B поэлементно и складываем

() вторую строку м-цы A умножаем на четвертый столбец м-цы B поэлементно и складываем

Получение третьей строки матрицы C

() третью строку м-цы A умножаем на первый столбец м-цы B поэлементно и складываем

()третью строку м-цы A умножаем на второй столбец м-цы B поэлементно и складываем

()третью строку м-цы A умножаем на третий столбец м-цы B поэлементно и складываем

() третью строку м-цы A умножаем на четвертый столбец м-цы B поэлементно и складываем

Умножение матрицы на число

-при умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на число

ПРИМЕР:

Обратная матрица

Матрица называется обратной к матрице A, если - в результате умножения получается единичная матрица

!!! Обратная матрица существует, если исходная матрица невырожденная, т.е. . Обратную матрицу можно определить только для квадратных матриц.

Алгоритм поиска обратной матрицы для матрицы

Пусть