Специальные главы математики. Вопросы

Специальные главы математики. Вопросы к экзамену.

1. Алгебраические системы. Множества: конечные и бесконечные. Подмножества. Отношение включение и его свойства. Равенство множеств. Характеристическая функция подмножества.

2. Пустое множество. Множество – степень. Размер множества степени конечного множества.

3. Парадоксы теории множеств.

4. Бинарные и унарные операции. Фундаментальные теоретико-множественные операции. Дополнительные множества. Диаграммы Венна. Число элементов в объединении множеств.

5. Булевы алгебры и 10 определяющих их законы. Соответствие логических и теоретико-множественных операций.

6. Функции. Образ функции. Композиция функций. Сюръекция, биекция и инъекция. Упорядоченные пары и энка.

7. Бинарные и n-нарные отношения. Области определения и значения бинарного отношения. Прямое (декартово) произведение множеств. Обратное отношение. Композиция бинарных отношений и её свойства.

8. Определение функции через бинарное отношение. Равенство функции. Обратная функция и условие её существования. Свойство биекции. Принцип Дирихле.

9. Свойство бинарных отношений: рефлексивность, симметричность, транзитивность и антисимметричность. Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактор-множество.

10. Отношение частичного порядка. Отношение покрытия. Диаграммы Хассе.

11. Полугруппа. Моноиды. Обратимые элементы моноида.

12. Группы. Абелевы группы. Таблицы Кэли. Подгруппы. Порядок группы. Свойство пересечения подгрупп.

13. Множество образующих. Циклические подгруппы и группы, их свойства. Группа классов вычетов по модулю «n».

14. Подстановки. Произведение подстановок. Симметрическая группа степени “n”, её порядок. Циклы. Разложение подстановки в произведение циклов. Орбиты. Транспозиции.

15. Изоморфизм групп. Свойства изоморфизмов. Теорема Кэли.

16. Смежные классы. Теорема Лагранжа. Нормальные подгруппы. Произведение множеств. Фактор-группа и её свойства.

17. Кольцо. Подкольцо. Порядок кольца. Нулевой элемент кольца. Свойства колец.

18. Поле. Характеристика и порядок поля. Поле комплексных чисел.

19. Кольцо многочленов. НОД и НОК многочленов. Алгоритм Евклида. Неприводимость и взаимная простота многочленов. Алгебраическая замкнутость поля. Основная теорема алгебры.

20. Булевы функции. Теорема о числе все булевых функций от «n» переменных. Фиктивные и существенные переменные. ‘Элементарные’ булевы функции.

21. Формулы. Операция суперпозиции. Эквивалентность формул. Свойства конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.

22. Принцип двойственности. Теорема о разложении булевой функции по переменным. СДНФ и СКНФ.

23. Полнота и замкнутость функциональных систем. Полиномы Жегалкина. Важнейшие полные системы булевых функций. Замыкание и его свойства.