^{ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ}

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

^{«МАТИ» - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени К.Э. ЦИОЛКОВСКОГО}

^{Кафедра «Моделирование систем и информационные технологии»}

Проверка гипотезы о нормальном

ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

^{Методические указания к практическим занятиям}

^{по дисциплине «Математическая статистика»}

^{Составители: Егорова Ю.Б.}

^{Мамонов И.М.}

^{МОСКВА 2008}

^{Проверка гипотезы о нормальном законе распределения: Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математическая статистика»/ Ю.Б. Егорова, И.М. Мамонов. М.: МАТИ, 2008. – 20 с.}

^{ Егорова Ю.Б.,}

^{Мамонов И.М.,}

^{составление, 2008}

^{ МАТИ, 2008}

^{ВВЕДЕНИЕ}

^{Методические указания предназначены для студентов дневного отделения факультета №14 специальностей 230102, 220231 и являются учебным руководством при выполнении индивидуального задания. В настоящее время существует достаточно большое количество статистических программ, предназначенных для работы на персональном компьютере. Однако для лучшего понимания изучаемого материала индивидуальное задание рекомендуется выполнить «вручную» (с помощью калькулятора).}

1. ^{ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ЗАКОНАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ}

^{ПО КРИТЕРИЮ ПИРСОНА}

^{Одной из важнейших задач математической статистики является установление теоретического закона распределения изучаемой величины.}

^{Обозначим через Х исследуемую случайную величину. Из генеральной совокупности значений случайной величины Х сделаем выборку объемом n. По выборке можно оценить эмпирический закон распределения, например, с помощью статистического распределения частот и относительных частот, построения полигона, гистограммы, кумуляты, нахождения эмпирической функции распределения F*(x).}

^{Сравнение эмпирического и теоретического законов распределения производится с помощью специально подобранной случайной величины – критерия согласия. Существует несколько критериев согласия: Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др.}

Выдвигаем нулевую гипотезу Н_о: случайная величина Х имеет некоторый предполагаемый теоретический закон распределения.

Выдвигаем альтернативную гипотезу Н₁: случайная величина Х не имеет предполагаемого теоретического закона распределения.

Пусть эмпирическое распределение задано в виде статистического распределения частот, т.е. в виде перечня вариант x_i и соответствующих им эмпирических частот n_i (табл.1).

Таблица 1

Статистическое распределение частот

xi	x1	x2	…	xn
ni	n1	n2		nn

Для каждого значения x_i определим теоретические (выравнивающие) частоты . При уровне значимости необходимо проверить, насколько сильно эмпирические частоты отличаются от теоретических частот.

В этом случае в качестве критерия согласия для проверки статистической гипотезы о неизвестном законе распределения генеральной совокупности используется случайная величина ², которая называется критерием согласия Пирсона:

Случайная величина ² имеет распределение Пирсона с k=s-r-1 степенями свободы, где s – число частичных интервалов выборки,

r – число параметров закона распределения, которые определяются по выборке (табл.2).

Таблица 2

Число степеней свободы критерия Пирсона

Теоретический закон распределения	Параметры закона распределения	Число параметров r	Число степеней свободы k=s-r-1
Нормальный	m; 	2	k=s-3
Равномерный	a, b	2	k=s-3
Показательный	λ	1	k=s-2
Биномиальный	p	1	k=s-2
Пуассона	λ	1	k=s-2

Порядок проверки нулевой гипотезы:

1. по выборке определяем наблюдаемое значение критерия.

2. по таблице распределения Пирсона (см. Приложение 1) определяем критическое значения критерия в зависимости от уровня значимостиα и числа степеней свободы k.

3. Если , то нулевая гипотеза принимается.

Если , то нулевая гипотеза отвергается.

Для применения критерия Пирсона необходимо, чтобы данные были представлены в виде интервального (группированного) статистического ряда и в каждом интервале частота была не менее 5. Если в каком-нибудь интервале частота меньше 5, то необходимо объединить соседние интервалы.

ПРИМЕР 1. Исследуется случайная величина Х – изменение выработки на одного рабочего механического цеха в отчетном году по сравнению с предыдущим. Получены данные по 100 рабочим цеха, на основании которых был составлен интервальный статистический ряд (табл. 3), определены выборочное среднее , выборочная дисперсия D*(X)=87,48 (%)² и выборочное среднее квадратическое отклонение *(X)=9,35%.

Таблица 3

Группированный статистический ряд

№ интервала	1	2	3	4	5	6	7	8
xi, %	94-100	100-106	106-112	112-118	118-124	124-130	130-136	136-142
ni	3	7	11	20	28	19	10	2

С помощью критерия Пирсона при уровне значимости  =0,05 необходимо проверить нулевую гипотезу о том, что случайная величина Х имеет нормальный закон распределения.

РЕШЕНИЕ. Выдвигаем нулевую гипотезу Н_о: случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами N(119,2; 9,35). Выдвигаем альтернативную гипотезу Н₁: случайная величина Х не имеет нормального закона распределения с параметрами N(119,2; 9,35).

Сначала определяем теоретические (выравнивающие) частоты по формуле: гдеp_i – вероятность попадания случайной величины Х в i-интервал. Для расчета p_i используем функцию Лапласа (см. приложение 3):

где α и  – концы i-интервала. Например:

Для определения вероятностей, теоретических частот и критерия Пирсона удобно составить таблицу (см. табл.4). Частоты в первом и последнем восьмом интервале меньше 5, поэтому их целесообразно объединить с соседними.

Таблица 4

Вспомогательная таблица для расчета критерия Пирсона

№ i-интер- вала	Интервал xi [α]	Эмпирические частоты ni		Вероятность попадания в i-интервал pi	Теоретические частоты			Эмпирическая плотность распределения вероятностей f*(x)
1	2	3		4	5		6	7
1	94-100	3	10	0,017	1,7	7,6	0,758	0,003
2	100-106	7		0,059	5,9			0,010
3	106-112	11		0,141	14,1		0,682	0,024
4	112-118	20		0,228	22,8		0,344	0,038
5	118-124	28		0,247	24,7		0,441	0,041
6	124-130	19		0,182	18,2		0,035	0,030
7	130-136	10	12	0,087	8,7	11,6	0,14	0,015
8	136-142	2		0,029	2,9			0,005
		100		1,0	100		2=2,27	–

Порядок проверки нулевой гипотезы:

1. Определяем наблюдаемое значение критерия(см. табл.4).

2. Определяем критическое значения критерия в зависимости от уровня значимостиα=0,05 и числа степеней свободы k. Новое число интервалов (с учетом объединения крайних) s=6, поэтому число степеней свободы k=s–3=6–3=3. По таблице распределения Пирсона (см. Приложение 1) определяем

3. Так как , то нулевая гипотеза принимается. Следовательно, гипотеза о нормальном законе распределения с параметрамиN(119,2; 48) согласуется с опытными данными.