теория вероятности

Задача 4.8.

Имеются два шестигранных кубика, две грани каждого из которых окрашены в чёрный цвет, а остальные четыре грани

– в зелёный. – число выпавших зелёных граней при однократном бросании этих кубиков. Найти P( 3), P( 1).

Задача 4.9.

Имеются два шестигранных кубика, три грани каждого из которых окрашены в красный цвет, а три остальные в синий.– число выпавших синих граней при одновременном бросании этих кубиков. Найти P( 3),P( 3 1), P( 2)

Задача 4.10.

– число девяток в наудачу выбранном двузначном числе.

Найти P( 2), P( 0).

Задача 4.11.

– число нечётных цифр в двузначном, наудачу выбранном числе. Найти P( 2), P( 2).

Задача 4.12.

Двое поочерёдно бросают монету до первого выпадения герба. Пусть – число бросаний. Найти P( 2), P( 3).

Задача 4.13.

Пусть в течение часа испытанию подвергаются две лампы и пусть вероятность перегореть за этот час для каждой из них равна 13. Пусть – число перегоревших ламп за один час.

Найти P( 1), P( 0).

Задача 4.14.

Два стрелка одновременно стреляют по одной мишени. Вероятность попадания в мишень для первого из них равна p1 0,8, для второго – p2 0,9. – число попаданий в мишень. Найти P( 1), P( 2).

Задача 4.15.

Партия из 100 изделий содержит 90% изделий первого сор-

38

строке выписывают все значения, которые принимает дискретная с.в., а в нижней строке под каждым значением выпи-

сывается вероятность того, что дискретная с.в. примет именно это значение.

Основным свойством ряда распределения является то, что сумма всех чисел во второй строке равна единице, т.е.

pi 1.

Пример 4.2.

Составить ряды распределения для случайных величин 1 ,

2 и 3 примера 4.1.

Решение:

Из таблицы 1 имеем:

p( 1 2) p( 1) p(Г,Г) 14;

p( 1 1) p( 2 3 ) p( 2 ) p( 3 ) 14 14 12; P( 1 0) P( 4) 14.

Аналогично составляются ряды распределения для случайных величин 2 и 3 . Эти распределения могут быть записаны в виде таблиц:

Определение 4.4. Математическим ожиданием M случай-

ной величины , принимающей значения x1,x2 , с веро-

ятностями p1, p2, , называется число, которое вычисляется по формуле:

i

31

Нужно четко осознавать, что математическое ожидание с.в. – это ее среднее значение.

Пример 4.3.

Найти M 1 , M 2 , M 3 для случайных величин примера 4.2.

Решение:

M 1 0 14 1 12 2 14 12 12 1; M 2 0 14 1 14 2 14 3 14 64 32; M 3 0 12 1 12 12.

Определение 4.5. Дисперсией D случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

D M( M )2 .

Обычно дисперсию вычисляют по более простой формуле, которая может быть выведена из определения 4.5:

Пример 4.4.

Найти D 1 , D 2 и D 3 для случайных величин примера 4.2.

Решение:

К каждой таблице распределения соответствующей случайной величины добавим строку значений i2,i 1,2,3. Полу-

чим таблицы:

Задача 4.3.

Одновременно один раз бросаются две монеты достоинством 2 ед. и 3 ед. Пусть – сумма выпавших при этом цифр. Най-

ти P(2 4), P( 0).

Задача 4.4.

Одновременно один раз бросаются две монеты достоинством

Задача 4.5.

Одновременно единственный раз бросаются три монеты достоинством 1 ед., 2 ед. и 3 ед. 1 – число выпавших при этом нечетных цифр, 2 – число выпавших при этом четных

цифр. Найти P( 1 0), P( 2 0), P(1 1 2), P(1 2 2).

Задача 4.6.

Единственный раз бросается игральный кубик с шестью гранями, – число четных цифр, выпавших при этом. Найти

P(1 3), P( 4), P( 0).

Задача 4.7.

– число выпавших нечётных цифр при однократном бросании двух шестигранных игральных кубиков. Найти

P( 2 1), P( 1), P( 2).

37

0, x 0,

Или F3(x) 1 2, 0 x 1,1, x 1.

Обобщая результаты разобранного примера 4.5, можно сформулировать следующее правило:

Функция распределения дискретной с.в. является кусочнопостоянной, имеющей разрывы 1-го рода (скачки) в тех точках, какие значения принимает случайная величина, причем величина скачка равна соответствующей вероятности. При этом в точке разрыва функция распределения принимает значение на левой ветви графика. Если дискретная с.в. имеет наименьшее значение, то слева от него F(x) 0. Если дискретная с.в. имеет наибольшее значение, то справа от него

F(x) 1.

Пример 4.6.

Для случайной величины 1 примера 4.2. найти:

а) P( 1 0), б) P( 1 1 2), в) P( 1 1), г) P( 1 3).

Решение:

а) P( 1 0) P( 1 0) 14;

б) P( 1 1 2) P( 1 0) P( 1 1) 14 12 34; в) P( 1 1) P( 1 1) P( 1 2) 12 14 34;

г) P( 1 3) 0.

Задачи для самостоятельного решения.

Для каждой из случайных величин, рассматриваемых в следующих задачах, найти ряд распределения, функцию распределения (аналитический вид и график), математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение и вероятности попадания случайной величины в указанные промежутки.

36

M 12 1 12 4 14 32;

M 22 1 14 4 14 9 14 144 72; M 32 1 12 12.

На основании формулы (4.2) имеем:

D 1 32 1 12, D 2 144 94 54, D 3 12 14 14.

Определение 4.6. Среднеквадратичным отклонением слу-

чайной величины называется квадратный корень из ее дисперсии:

D (4.3)

Среднеквадратичное отклонение показывает, чему равен средний разброс случайной величины вокруг ее среднего значения (математического ожидания).

Определение 4.7. Функцией распределения F(x) случайной величины называется функция действительного перемен-

Функция распределения обладает следующими свойствами: 1) F(x) определена при любом x R;

2) Значения F(x) принадлежат интервалу 0,1 , т.е.

0 F(x) 1;

3)F(x) является неубывающей функцией;

4)lim F(x) 0, lim F(x) 1;

x x

5) F(x) непрерывна слева, т.е. lim F(x) F(x0 ).

x x0 0

В качестве комментария к перечисленным свойствам функции распределения добавим следующее:

33

а) Свойство 1 может быть сформулировано так: областью определения функции распределения F(x) любой с.в. является множество всех действительных чиселR .

б) Из свойства 2 вытекает, что область значений функции распределения является подмножеством интервала 0,1 , но было бы неверным считать, что E(F) совпадает с этим интервалом!

в) Свойство 5 можно геометрически трактовать так: функция распределения в данной точке либо непрерывна, либо имеет разрыв 1-го рода, причем во втором случае значение функцией распределения принимается на левой ветви графика.

Одна из часто возникающих задач для случайной величины заключается в вычислении вероятности попадания в данный интервал (т.е. вычислении вероятности того, что значение с.в. принадлежит данному интервалу I). Для дискретной с.в. эта вероятность вычисляется по формуле:

Другими словами, нужно найти в ряде распределения все xi ,

попавшие в интервал I, и сложить их вероятности. Ясно, что если таких xi не найдется, то P( I) 0.

Пример 4.5.

Найти F1(x) P( 1 x) и F3(x) P( 3 x) – функции распределения случайных величин 1 и 3 примера 4.2.

Решение:

Так как 1 не принимает отрицательных значений (см. ряд

1, x 2.

График функции распределения

F(x)

1

34

14

35