теория вероятности

Функция распределения нормальной с. в. с параметрами a и , или как принято записывать в сокращенном виде, ~ N(a; ), согласно общей формуле (6.4), находится следующим образом:

В отличие от двух предыдущих функций распределения ситуация с интегралом (7.6) иная – этот интеграл не вычисляется в элементарных функциях! Но поскольку нормально распределенные с. в. являются самыми распространенными, то большинство задач, связанных с этими с. в., требуют для своего решения знания функции распределения. Выход из положения был найден следующим образом. Была подробно изучена неэлементарная функция, называемая функцией Лапласа, обозначаемая Ф(x) и задаваемая формулой:

Для функции Лапласа были составлены подробные таблицы, исследованы ее свойства, найдено разложение в степенной ряд, построен график:

Ф(x)

0,5

-0,5

Свойства функции Лапласа Ф(x):

1) D(Ф) R ; E(Ф) ( 0,5;0,5);

58

личными; б) первая и последняя цифры будут 3; в) не содержится цифра 0; г) содержатся только нечётные цифры.

Задача 1.6.

Найти вероятность того, что при бросании двух шестигранных кубиков: а) шестёрка выпадет только на одном из них; б) на кубиках выпадут различные цифры; в) сумма выпавших цифр будет равна 8?

Задача 1.7.

На шахматную доску произвольным образом поставили две ладьи разного цвета. Известно, что ладьи бьют друг друга, если они находятся на одной вертикали или на одной горизонтали. Найти вероятность того, что:

а) ладьи бьют друг друга; б) ладьи не бьют друг друга. Задача 1.8.

Найти вероятность того, что выбранное наудачу однозначное целое положительное число при возведении в квадрат дает число: а) оканчивающееся единицей; б) будет чётным; в) будет нечётным.

Задача 1.9.

Влотерее 1000 билетов, из них на один билет выпадает выигрыш в 500 рублей, на десять билетов – по 100 рублей, на пятьдесят билетов – по 20 рублей, на сто билетов – по 5 рублей. Найти вероятность выигрыша не менее 20 рублей при покупке одного билета.

Задача 1.10.

Вгруппе 25 студентов. Из них отлично успевают 5 человек, хорошо – 12, удовлетворительно – 6 и слабо – 2. Преподаватель, не знакомый с группой, вызывает по списку одного из студентов. Какова вероятность того, что вызванный студент будет отличник или хорошо успевающий?

Задача 1.11.

Из колоды в 36 карт наудачу выбирается одна карта. Найти вероятность того, что будет выбрана: а) карта бубновой масти; б) туз; в) бубновый туз.

11

II. Вычисление вероятностей событий с помощью формул комбинаторного анализа.

В очень многих ситуациях случайный эксперимент заключается в выборе нескольких предметов из данного набора предметов. Скажем: 1) при контроле качества из большой партии деталей выбирается несколько деталей для проверки, 2) при игре в спортлото «5 из 36» из 36 номеров выбирается (и вычеркивается) 5 номеров, 3) при карточных играх из колоды карт игрок получает на руки то или иное их количество (например, при игре в преферанс получает выбранные сдающим наугад 10 карт из 32 имеющихся в колоде); 4) при наборе четырехзначного числового кода в камере хранения выбирается 4 цифры; 5) в студенческой группе из 25 человек выбирается староста, заместитель старосты и профорг; и т.д. Различают выбор без возвращения и выбор с возвращением. Для первого (выбора без возвращения) характерно, что один и тот же элемент не может быть выбран более одного раза, а для второго (выбора с возвращением) – может. Из перечисленных выше пяти примеров первые три и пятый относятся к выбору без возвращения, а четвертый – к выбору с возвращением.

Как при выборе без возвращения, так и при выборе с возвращением, порядок выбранных элементов может учитываться или не учитываться (т.е. быть для данной задачи существенным или несущественным). Всякий раз решать, с каким выбором мы имеем дело в той или иной конкретной задаче, придется самостоятельно, исходя из специфики задачи, сформулированных в ней требований или просто из здравого смысла.

Например, в первых трех из перечисленных выше пяти примеров порядок несущественен – ясно, что если мы интересуемся количеством бракованных деталей из тех, что взяты для проверки, то неважно, в каком порядке мы отбирали

12

Определение 7.2. Случайная величина называется распределенной по показательному или экспоненциальному закону с параметром , если ее плотность имеет вид:

e x, x 0.

где – любое положительное число.

Легко проверить, что M 1 , D 1 .

2

Функция распределения показательной с. в. имеет вид:

Графики плотности распределения и функции распределения показательной с. в. имеют вид:

1

x

Определение 7.3. Случайная величина называется распределенной по нормальному закону с параметрами a и , если ее плотность имеет вид

2

Легко проверить, что M a , D 2 . Таким образом, вероятностный смысл параметров a и следующий: a есть математическое ожидание, а – среднеквадратичное отклонение нормально распределенной с. в.

57

VII. Примеры непрерывных случайных величин.

Определение 7.1. Непрерывная случайная величина назы-

вается распределенной равномерно на интервале a,b , если ее плотность f (x) имеет вид

Функция распределения равномерно распределенной на отрезке a,b случайной величины имеет вид:

0, x a,

x a

F(x) , a x b, (7.2)

b a

1, x b.

Графики плотности распределения и функции распределения равномерной с. в. имеют вид:

эти детали из всех деталей. Так же неважно, в каком порядке мы вычеркиваем пять номеров при игре в спортлото (организаторы лотереи вообще имеют дело с заполненной карточкой и не знают, какие номера были отмечены в начале, а какие – в конце); в карточных играх тоже важен лишь набор карт, находящийся в руках у игрока, а не то, в каком порядке их выдавал ему из колоды сдающий. Что касается двух последних примеров, то там порядок существенен: в четвертом примере ясно, что, например, коды 1234 и 2413 различны, хотя и состоят из одних и тех же цифр; так же ясно в пятом примере, что если старостой избран Иванов, его заместителем Петрова, а профоргом Сидорова, то это не то же самое, что староста Петрова, заместитель Сидорова и профорг Иванов, хотя выбраны те же самые три лица.

В любом случае – осуществляется выбор с возвращением или без, с учетом порядка или без – основным вопросом является, сколько различных вариантов данного выбора можно сделать.

Рассмотрим сначала выбор без возвращения. Нас интересует, сколько существует способов выбрать из n предметов k предметов (0 k n) – как без учета порядка, так и с учетом порядка. Мы можем осуществить выбор сразу всех k предметов или выбирать их по одному (например, взять из урны с шарами сразу три шара, либо же вынуть сначала первый, затем второй, затем третий). Ясно, что количество способов выбора не зависит от способа наших действий (сразу все или по очереди), а зависит лишь от того, существенен ли порядок предметов среди выбранных, или несущественен.

1. Количество способов, которыми при выборе без возвращения можно из n предметов выбрать k предметов без уче-

та их порядка обозначается Cnk (читается «цэ из эн по ка») и

вычисляется по формуле:

13

При этом сами варианты выбора (без учета порядка) называются сочетаниями (или комбинациями) из n элементов по k .

2. Количество способов, которыми при выборе без возвращения можно из n предметов выбрать k предметов с уче-

При этом сами варианты выбора (с учетом порядка) называются размещениями из n элементов по k .

3. Иногда в комбинаторном анализе рассматривают количество способов, которым можно упорядочить n предметов. Его обозначают Pn , а все эти способы называют перестанов-

ками из n элементов. Ясно, что Pn Ann , и поэтому:

Теперь перейдем к выбору с возвращением. Здесь уже нет ограничения k n – число k может быть произвольным.

*4. Количество способов, которыми при выборе с возвращением можно из n предметов выбрать k предметов с учетом

При этом сами варианты выбора называются размещениями с возвращением (или размещениями с повторением).

*5. Количество способов, которыми при выборе с возвращением можно из n предметов выбрать k предметов без учета

14

В следующих задачах по заданной плотности распределения f (x) найти постоянную k , функцию распределения

k

их порядка обозначается Cn и вычисляется по формуле:

k!(n 1)!

При этом сами варианты выбора называются сочетаниями с возвращением (или сочетаниями с повторением).

Во многих задачах, решаемых с помощью формул комбинаторного анализа, важную роль играет понятие сложного выбора.

Предположим, что множество предметов, из которого осуществляется выбор, разбито на несколько частей, и мы выбираем часть предметов из одной части, часть из второй и т.д. (с учетом порядка или без учета). Тогда общее количество вариантов при сложном выборе равно произведению количества вариантов каждого из простых выборов, составляющих данный сложный выбор. Это правило называется принципом умножения при сложном выборе.

Например, в группе, где учится 10 юношей и 15 девушек, нужно выбрать спортивную команду для игры в волейбол, в которую входят 5 юношей и 3 девушки. Очевидно, что порядок спортсменов здесь несущественен, поэтому 5 юношей из

10 можно выбрать C105 способами, 3 девушки из 15 можно выбрать C153 способами и, таким образом, количество спосо-

бов выбора команды равно C105 C153 (убедитесь, что после

вычислений получится 114660). Однако если нужно выбрать шахматную команду, где шахматисты выступают на первой, второй и т.д. досках (и тем самым порядок шахматистов ва-

жен), то 5 юношей из 10 можно выбрать A105 способами, 3

девушки из 15 можно выбрать A153 способами, а шахматную команду – A105 A153 способами (убедитесь, что после вычис-

лений получится 82555200).

15

Заметим, что в случае выбора с учетом порядка (как с возвращением, так и без возвращения) принцип умножения можно применять еще более наглядно и ясно. Дело в том, что при выборе с учетом порядка выбираемые предметы уже как бы естественно пронумерованы, и удобно представлять, что предметы выбираются по очереди: сначала первый, затем второй и т.д. Например, в последнем из рассмотренных примеров при выборе шахматной команды на 1-ую юношескую доску имеется 10 вариантов выбора (можно выбрать любого из имеющихся 10 юношей), на 2-ую юношескую доску имеется 9 вариантов выбора (можно выбрать любого из 9 оставшихся юношей), на 3-ю юношескую доску имеется 8 вариантов выбора и т.д. вплоть до 5-ой юношеской доски. Аналогично можно рассчитать и с девичьими 1-ой, 2-ой и3ей досками. Таким образом, общее количество способов выбора шахматной команды равно: 10 9 8 7 6 15 14 1382555200 (что, естественно, совпадает с полученным выше результатом).

Более того, сами формулы для выбора с учетом порядка (2.2) и (2.4) могут быть получены из этого правила. Скажем, формула (2.4) выводится так: первый из k предметов может быть выбран n способами (т.к. общее количество предметов n). Поскольку затем мы возвращаем предмет, выбранный первым, назад, то для второго выбираемого предмета опять имеется n способов выбора, и т.д. Таким образом:

Ak n n n nk . n

kраз

Взаключение покажем, как принцип умножения при сложном выборе позволяет находить количество вариантов,

ив результате вычислять вероятности с помощью классической схемы.

16

сти попадания в указанные промежутки. Построить графики функций F(x) и f (x).

1, x 4.

Найти P( 6), P( 1). Задача 6.3.

найти первообразную от плотности f (x), взяв различные

2x

Осталось определить произвольные постоянные A, B,C . Начнем с крайних интервалов (бесконечных):

Задачи для самостоятельного решения.

В следующих задачах по заданной функции распределения F(x) найти постоянные A, B,C , f (x), M , D и вероятно-

52

Пример 2.1.

Из колоды, содержащей 32 карты, наугад выбирается 5 карт. Найти вероятности следующих событий:

А) все карты бубновой масти; В) среди карт ровно 3 бубновой масти;

С) среди карт имеется ровно 2 туза. Решение:

Ясно, что любой набор из 5 карт ничем не «лучше» и не «хуже» других наборов, так что здесь применима классическая схема. Так же ясно, что порядок карт в этой задаче несущественен. Общее количество исходов случайного эксперимента по выбору 5 карт из 32, таким образом, равно

NC325 .

Впункте A благоприятными являются те исходы, при которых все 5 карт были выбраны из имеющихся в колоде 8 бубновых карт. Количество вариантов такого выбора равно

mA C85 .

Впункте B для того, чтобы получить благоприятный исход, нужно осуществить сложный выбор: выбрать 3 карты из 8 бубновых карт и выбрать при этом 2 карты из имеющихся

вколоде 24 карт не бубновой масти. По принципу умноже-

ния mB C83 C242 .

Впункте C для того, чтобы получить благоприятный исход, тоже нужно совершить сложный выбор: выбрать 2 карты из имеющихся в колоде 4 тузов, а 3 карты выбрать из имеющихся в колоде 28 «не тузов». Применяя принцип ум-

ножения, будем иметь mC C42 C283 . Таким образом, имеем:

Пример 2.2.

Среди 9 деталей, подвергаемых проверке, имеются 4 годных и 5 негодных. Найти вероятность того, что среди 4 отобранных деталей будет равное число годных и негодных деталей.

Решение:

В данном примере элементарным событием является конкретный набор из 4 деталей (выборка без возвращения из 9 элементов по 4). Общее число элементарных событий в равно N C94 , и элементарные события являются равнове-

роятными. Выбрать две годные детали из четырех можно C42 способами, и при каждом конкретном выборе двух годных деталей две негодные детали из пяти можно выбрать C52

способами. Таким образом, по принципу умножения

m C42 C52 . Используя (1.1), получим: P(A) C42 4C52 10.

C9 21

Задачи для самостоятельного решения

Задача 2.1.

На книжной полке имеется 10 книг по химии, 7 книг по физике и 5 книг по математике. Найти вероятность того, что среди наудачу выбранных 9 книг количество книг по химии, физике и математике будет одинаковое.

Задача 2.2.

В студенческой группе 10 дружинников. Среди них 7 юношей и 3 девушки. На дежурство надо выделить трёх дру18

2-ой способ:

Как было отмечено выше, функция распределения F(x) будет задана различными формулами, но на тех же интервалах, что и плотность f (x), причем на каждом интервале нужно

51

жинников. Найти вероятность того, что наряд будет состоять из:

а) трёх юношей; б) двух девушек и одного юноши. Задача 2.3.

В хоккейном турнире участвуют 8 команд, из которых случайным образом формируются две группы по 4 команды в каждой. Среди участников соревнования имеются 4 команды экстракласса. Найти вероятность того, что:

а) все команды экстракласса попадут в одну и ту же группу; б) две команды экстракласса попадут в одну из групп.

Задача 2.4.

Колода карт из 52 листов делится на две пачки по 26 листов. Найти вероятность событий:

A {в каждой пачке окажется по 2 туза};

B {в одной из пачек не будет ни одного туза}; C {в одной из пачек будет только один туз};

D {в одной из пачек будут все 13 карт бубновой масти}. Задача 2.5.

Ящик содержит 40 годных и 10 бракованных деталей. Найти вероятность событий:

A {среди 10 вынутых из ящика деталей нет бракованных}; B {среди 11 вынутых из ящика деталей все бракованные}; C {среди 8 вынутых из ящика деталей 6 годных и 2 бракованные};

D {хотя бы одна из 10 взятых деталей годная}. Задача 2.6.

Найти вероятность того, что при размещении 10 шаров по 10 ящикам: а) ровно один окажется пустым; б) все ящики будут заняты.

Задача 2.7.

Студент знает 20 из 25 вопросов. Найти вероятность того, что студент: а) знает предложенные ему экзаменатором 3 вопроса; б) знает хотя бы один из трёх предложенных ему

19

вопросов; в) знает только один из трёх предложенных ему вопросов.

Задача 2.8.

Группа из 20 мальчиков и 20 девочек делится на 2 равные части. Найти вероятность того, что в каждой части число мальчиков и девочек одинаково.

Задача 2.9.

Подсчитать вероятность того, что в наудачу выбранном телефонном номере, состоящем из четырёх цифр: а) все цифры окажутся различными; б) все цифры окажутся одинаковыми; в) хотя бы две цифры будут одинаковыми.

Задача 2.10.

Рабочий при сборке механизма устанавливает в него 2 одинаковые детали. Он берёт их случайным образом из имеющихся у него 10 штук. Среди деталей находятся две бракованные. Механизм не будет работать, если обе установленные детали бракованные. Определить вероятность того, что механизм будет работать.

Задача 2.11.

Вящике 10 деталей, из которых 4 окрашено. Сборщик наудачу взял 3 детали. Найти вероятность того, что: а) хотя бы одна из взятых деталей окрашена; б) все взятые детали окрашены; в) ни одна из взятых деталей не окрашена.

Задача 2.12.

Найти вероятность того, что при игре в спортлото «5 из 36» будут верно угаданы: а) все 5 номеров; б) ровно 4 номера; в) ровно 3 номера; г) не будет угадан ни один номер.

Задача 2.13.

Вурне содержится 5 белых, 7 черных и 8 красных шаров. Наугад выбирается 6 шаров. Найти вероятности следующих событий: а) все вынутые шары красные; б) среди выбранных шаров нет ни одного красного; в) среди вынутых шаров 3 белых и 3 черных; г) среди вынутых шаров поровну шаров каждого цвета.

20