Семенов. Планирование эксперимента2

Федеральное агентство по образованию

Московская Государственная академия тонкой химической технологии им. М.В.Ломоносова

Кафедра Химии и технологии редких и рассеянных элементов им. проф. К.А.Большакова

С.А.СЕМЕНОВ

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА В ХИМИИ И ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ

(часть 2)

Учебное пособие

Москва, 2005 г.

www.mitht.ru/e-library

Оглавление

Условные обозначения и сокращения …………….……………….3

Введение …………………………………………………..…………….4

1.Функция желательности ……………………………………..…4

2.Сложные планы ……………………………………………...…14

Латинские и греко-латинские квадраты ……………………....14

Факторный эксперимент 22k, совмещенный с

латинским квадратом ……………………………….……………18

3. Ортогональные насыщенные планы Плакетта-Бермана ..23

Литература …………………………………………………………….27

Условные обозначения и сокращения

ПФЭ – полный факторный эксперимент.

ДФЭ – дробный факторный эксперимент. bi – коэффициент уравнения регрессии. D – обобщенная функция желательности. d – частная функция желательности.

k – количество факторов. l – число уровней.

N – количество опытов.

sвоспр. – дисперсия воспроизводимости. t – критерий Стьюдента.

xi – фактор.

yj – функция отклика.

3

www.mitht.ru/e-library

Введение

Настоящее учебное пособие является продолжением пособия, опуб-

ликованного в 2001 г. [1]. Ранее [1] были рассмотрены общие сведения об эксперименте, экспериментально-статистические модели, в том числе пол-

ный факторный эксперимент (ПФЭ), метод дробных реплик, устранение влияния временного дрейфа, дана интерпретация полученной модели;

рассмотрены методы оптимизации, в том числе метод крутого восхожде-

ния и симплексный метод, рассмотрено исследование области оптималь-

ных условий на примере ортогонального центрального композиционного планирования, рассмотрено планирование эксперимента при изучении диаграмм составсвойство, в том числе метод симплексных решеток, сим-

плекс-решетчатые планы Шеффе.

1. Функция желательности

Задачу оптимизации процессов, характеризующихся несколькими от-

кликами, обычно сводят к задаче оптимизации по одному критерию с огра-

ничениями в виде равенств или неравенств. В зависимости от вида по-

верхности отклика и характера ограничений, для оптимизации предлагает-

ся использовать методы неопределенных множителей Лагранжа, линейно-

го и нелинейного программирования, ридж-анализ [2, 3] и др. К недостат-

кам этих способов решения задачи оптимизации следует отнести вычисли-

тельные трудности. В частности, при описании поверхности отклика поли-

номами второго порядка решение задачи на условный экстремум с приме-

нением неопределенных множителей Лагранжа приводит к необходимости решать систему нелинейных уравнений. Поэтому одним из наиболее удач-

ных способов решения задачи оптимизации процессов с большим количе-

ством откликов является использование предложенной Харрингтоном [4] в

качестве обобщенного критерия оптимизации так называемой обобщенной

4

www.mitht.ru/e-library

функции желательности D. Для построения обобщенной функции жела-

тельности D предлагается преобразовать измеренные значения откликов в безразмерную шкалу желательности d. Построение шкалы желательности,

которая устанавливает соотношение между значением y и соответствую-

щим ему значением d (частной функции желательности), является в своей основе субъективным, отражающим отношение исследователя (потреби-

теля) к отдельным откликам.

Для построения шкалы желательности удобно использовать метод ко-

личественных оценок с интервалом значений желательности от нуля до единицы, хотя возможны и другие варианты шкалы. Значение d=0 (или

D=0) соответствует абсолютно неприемлемому значению данного отклика,

а d=1 (D=1) - самому лучшему значению отклика, причем дальнейшее улучшение его или невозможно, или не представляет интереса. Промежу-

точные значения желательности и соответствующие им числовые отметки приведены в табл. 1.

Таблица 1.

Базовые отметки шкалы желательности

Такой выбор числовых отметок объясняется удобством вычислений, по-

скольку

5

www.mitht.ru/e-library

Для двустороннего ограничения вида

ymin y ymax

преобразование измеренного отклика y в шкалу d (рис.2) производится при помощи выражения

где n - положительное число (0<n< ) не обязательно целое;

7

www.mitht.ru/e-library

задать для двух значений свойства y соответствующие значения жела-

тельности d предпочтительно в интервале 0.2<d<0.8.

Нелинейное преобразование y в y' применяется, если данное свойство имеет особую важность, нарушение условий недопустимо и малому изме-

нению свойства вблизи ограничивающего предела соответствует резкое изменение желательности. Односторонняя спецификация наиболее часто встречается на практике.

Имея несколько откликов, преобразованных в шкалу d, можно при по-

мощи арифметических операций скомбинировать из этих различных d не-

кий обобщенный показатель желательности D. При этом, если какой-либо один отклик является абсолютно неудовлетворительным, обобщенная функция желательности D должна быть равна 0 независимо от уровня ос-

тальных откликов. Математическим выражением, отвечающим этим требо-

ваниям, служит среднее геометрическое частных функций желательности,

т.е.

(1.9)

Очевидно, что если какое-либо одно di=0, то соответствующее D=0. Бо-

лее того, на D сильно влияют именно наименьшие значения di. В то же время D=1 только тогда, когда все частные желательности di=1 (i=1, 2, …, k). Важно еще то, что (1.9) позволяет применить к частным желательно-

стям и обобщенному показателю единый способ задания базовых отметок шкалы желательности, представленный в табл.1, так как если d1=d2=…=dk=0.37, то и D=0.37 и т.д. С обобщенной функцией желательно-

сти D можно проделывать все вычислительные операции, как и с любым откликом системы, можно использовать D в роли критерия оптимизации при исследовании и оптимизации процесса. Следует иметь в виду, что множество возможных значений D ограничено: 0 D 1.

9

www.mitht.ru/e-library

Пример 1.1. Функция желательности была применена при разработке композиции нового полимерного материала на основе полиэтилена высо-

кого давления. В качестве откликов были использованы: y1 - модуль упру-

гости при изгибе, кгс/см2; y2 - разрушающее напряжение при разрыве,

кгс/см2; y3 - относительное удлинение при разрыве, %, и D - обобщенная функция желательности. Покажем последовательность расчетов при опре-

делении D.

Для сравнительной оценки качества различных композиций обобщенную функцию желательности определяли по формуле

где d1, d2 и d3 - частные функции желательности.

Для построения частных функций желательности необходимо сначала установить преобразование измеренных свойств y в безразмерную равно-

мерную шкалу y'. Ограничения при этом носят характер y ymin. Разрабаты-

ваемый материал должен удовлетворять заданным требованиям по трем показателям качества, которые предусматривают пригодность его к пере-

работке и эксплуатации. Исходя из этих требований, были выбраны значе-

ния y1, y2 и y3, соответствующие двум базовым отметкам на шкале жела-

тельности (табл.1). Преобразование отклика y в частную функцию жела-

тельности имеет вид (1.7). Коэффициенты b0 и b1 определялись по данным таблицы 2.

Подставим значение d в уравнение (1.7): 0.63=exp[-exp(-y'1)] и 0.2=exp[-exp(-y'1)],

1/0.63=1.587=exp[exp(-y'1)] и 1/0.2=5=exp[exp(-y'1)]. (1.11)

Дважды логарифмируя выражения (1.11), получим

-y'1=ln(ln1.587) и -y'1=ln(ln5)

или

www.mitht.ru/e-library