
1031
.pdf
1.32. Гармонический линейный осциллятор
Гармоническим линейным осциллятором называют колебательную
систему, прсдставляющую собой частицу с массой m и совершающую
движение ВДОЛЬ по прямой ЛИНИИ НОД Действием силы
пропорциональной смещению Х от положения равновесия. Сила
F.
F
стремится вернуть частицу в положение равновесия F = -kx. Теория
гармонического осциллятора имеет в физике большое значение, Т.К.
многие системы можно рассматривать как совокупность осцилляторов. Все молекулы имеют колебательные степени свободы, которые можно описать
с помощью теории гармонического осциллятора.
.,.., • - -,,, |
:J;..?) |
• |
|
РИС.I.4.
Уравнение Шредингера для гармонического ОСЦИЛJUlТOра МОЖНО представить следующим образом:
,
d-'P + 2т (E-V)'P =0
ш' п'
Потенциальная энергия осциллятора будет:
х |
х |
1 |
2 |
итогда: |
V = - fFdx ~ k fxdx= -kx |
|
|||
о |
о |
2 |
|
|
d''P +~m(E_~kx2 'Р=О
ш' п' 2
Если решить это уравнение, то получаются следующие результаты:
Собственные волновые ФУНКЦИИ 'i' будут иметь следующий. вид:
_ (2а |
у, |
|
_щ' |
|
|||
'Ро - |
- |
|
|
е |
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
_(2а)у, |
2а |
1, |
хе |
-щ, |
и Т.д. |
||
'Р, - 
1
ПОСКОЛЬКО ДЛЯ жесткого ротатора m = 2 ' то данное уравнение МОЖНО
r
рассматривать, как уравнение Шредингера для одной частицы с массой 1
и r = 1, вращающеися вокруг начала координат по поверхности сферы:
,
|
, |
|
, |
|
, |
|
, |
|
, |
|
, |
, |
, |
, |
I • IJ |
|
|
,/ |
V'Ч'+ 2/ЕЧ' = О |
|
'/ |
||
|
||
Рис. 1.5. |
п' |
|
|
Если теперь представить себе волновую ФУНКЦИЮ, как фyнкuию двух сферических координат (третья координата r= 1)
ЧI(.9,<р)= 8(.9)·ф(<р)
и взять оператор Лапласа в сферических координатах, то решение уравнения Шредингера даст возможные значения энергии~ которые может
принимать ротатор
п'
Е.рощ = -J(J + 1)
2!
где J =- 0,1,2,3 ... Целочисленность квантового числа J определяет дискретность энергии ротатора. ЭТОТ результат имеет существенное
значение при рассмотрении вращательного движения двухатомных
молекул.
ГЛАВА 2. Строение атомов
2.1. Атом водорода в квантовой механике
Итак, именно квантовая механика стала той современной физикой,
которая СМогла объяснить строение ВСЩсства и в первую очередь строения атома. Естественно начать рассмотрение строения атомов с простейшего
атомаатома водорода. Рассмотреть строение атома водорода в квантовой механике - это значит решить для него уравнение Шредингера.
Эта задача ДЛЯ двух частиц, так как атом состоит из протона и электрона. Но известно, '-по масса протона почти в 2000 раз больше массы
электрона. Поэтому можно считать, что протон закреПIIСН в центре атома, а
движение э-лектрона рассматривать в поле фиксированного ядра. Таким
24
http://mitht.ru/e-library

образом задачу МОЖIЮ CBeCm к одной частице, движущейся вокруг
НСПОДВИЖIIОro ядра под влиянием заряда ядра. но с приведенной массой
т = - |
теМп |
._- :: те |
те +МП
т.е. в случае электрона и ядра приведснная масса мОжет бьпь принята за
массу электрона. Это xopoulec приближение.
Запишем уравнение ШредиНI ера для атома водорода
V2 'V+ 27
n
(Е- V)'V = О
|
|
|
е' |
|
|
|
|
|
|
|
поreнциanъная энерrnя V ~ - -r |
(Z ~ 1) |
|
|
|
|
|||||
и ТОГда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n'= h |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
8m:r' |
|
|
|
2п: |
|
д2 ,!, |
д''!' |
д''!' |
е' |
|||||||
|
|
'l' =0 |
||||||||
|
|
|||||||||
ах' |
+ ду' |
+ дz' + |
h' |
|
Е+- |
|
||||
|
r |
|
|
|||||||
|
решить уравнение в 'Таком виде матемаТИчеСки Д~вопь.но сложно, l {о мы
все-таки проследим по этапам решение и обсудим результаты, которые получаются при ЭТОМ. Поскольку потенциальная Эffергия выражается как
- -е' r
удобнее перейти от декартовых координат к полярным, которые
выбираются следующим образом: '
ПОЛЯР1iая |
система |
координат характеризуется параметрами r 9 ер , |
которые |
связанны |
с декартовыми координатами следующими |
соотношениями:
z=r·cos.9
х= r . sin 9 . cos <р
у'"r . sin .9 . sin q>
у = tg'f'
х
25
http://mitht.ru/e-library
Оператор Лапласа в полярных координатах
'1' ~~~(г,jJ-)+ |
1 |
д' + |
1 ~(Sin.9~) |
|
" дг дг |
" sin 2 .9 дгр' |
г'sin 8 д.9 |
д8 |
Мы не будим заниматься этим переводом, а сразу им воспользуемся,
Уравнение Пlредингера в полярных координатах будет выглядеть так:
Чтобы решить это уравнение нужно разделить переменны.. д'1Я этого с}{ачала нужно 'f'выразить как ФУНКЦИЮ полярных координат и найти частные производные по всем переменным (полярным координатам)
Подставим в уравнение IUрсДингера |
|
|
|||
-1, -a(,OR)r -(}ф + |
1 |
--д'ф |
т+-1~-д(_Sln9=д-8'-Rф) +8t?m(E+~е'}8ф=о |
||
r' а- а- |
r' sid 8дq! |
г' sir09a8 д8 |
Ii |
r |
26
http://mitht.ru/e-library
,.2 sin 2 f}
Умножим равенство на RВф
Sin'9з(,CR) lд'ф |
SiП9д(_ nдО) |
+ |
81r'тr'Sin'9(E |
е')_о |
||||
='-'- - |
r - |
+~~~- + |
- |
SIПI7- |
h' |
+ - - |
||
R |
дr |
дr |
Ф ctp' |
е д9 |
д9 |
|
r |
Одно из слагаемых зависит только от Ф. перенесем его в правую часть
sin'8 ~(г' CR)+ sin8 ~(Sin9ae)+ 81r'mr'sin'8(E+ е')=_ 1 д'ф
R дг дг е д9 д8 h' r Ф ctp'
Теперь в левой части все величины зависят от r И 8, а в правой только от
'р. Если при всех значениях перемеиных обе части уравнения равны между
собой, это значит они равны постоянной величине. Обозначим ее т; .
Тогда
1 д'ф |
, |
|
- ф ctp' |
= т, |
(1) |
Пока оставим зто в таком виде, и разделим еще две переменные. Левая
часть уравнения тоже равна т;, разделим ее на sin 2 Э
1 8 ( |
r |
,8R) |
+ |
1 |
8 (_ |
.980) |
8л'mг' |
|
е' |
|
m{2 |
||
|
|||||||||||||
|
|
||||||||||||
-- |
~ |
|
SШ |
- |
|
+--со- |
|
Е+ |
|
s-ш z 9 |
|||
R 8г |
|
8г |
|
Osin 989 |
89 |
|
h' |
|
r |
|
|||
и опять можно разделить переменные |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
_1 ~(y28R) + 8л'mг' |
Е+ е' |
= |
m~ |
_ 1 |
|
8 (sin9.:....:...) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8O |
R 8г |
|
8г |
|
h' |
r |
|
sin' 9 |
Osin 989 |
8.9 |
Та же самая ситуация. Мы обозначим эти час111 как с = 1(1 + 1)
т; ~ |
1 ~(sin.980)= с= z(z +1) |
|
|
sin' 9 |
Оsin 9 89 |
89 |
(2) |
_1~(г' aR) + 8,,'mг' |
Е+- =с =1(1 +1) |
|
|||
R дr |
|
h' |
е' |
(3) |
|
дг |
r |
||||
|
27
http://mitht.ru/e-library

Более кратко в общем виде можно записать:
(1): /(rp) = m/'
(2): /(.9) = z(z + J)
(3): f(r)=I(i+I)
Итак, мы разделили переменные и получили три уравнения, каждое из которых зависит только от одной переменной величины.
Если учесть, что q.r должна обладать свойствами однозначной, линейной и
конечной функции и решить эти уравнения, то мы получим следующие
фундаментальные результаты. Начнем с З-го уравнения f(r) , или
радиальной части уравнения Шредингера. Решение этого уравнения дает значение энергии, иЛИ собственное значение оператора Гамильтона:
Е = _ 27r'me'
|
h'/1' |
, |
|
|
|
где n- целое число, начиная с |
1 (О - лишено физического смысла, Т.К. |
|
тогда Е ~ 00), n::;:: 1,2,3... Те. |
возможные значения энергии обратно |
пропорциопальны квадрату целых чисел ~ другими словами - энергия
может принимать только определенные дискретные значения - или
квантуеmся. n называется главными квантовым числом (положительные значения Е нас не интересуют, Т.К. ЭТО значит, что электрон не связан с
ядром, Т.е. существует вне атома).
Энергия электрона 8 атоме водорода, найденная из уравнения Шредингера,
совпадает с веЛИЧ}iНОЙ, которую нашел Бор, введя свои пocryлаты о
квантовании энергии в законы классической физики. это уравнение для Е
описывает спектр afoMa водорода
М =Е, -Е,
через волновое чисJ10
__ hv __ 27r'me' h'
_ 1 |
v |
27r 2 me4 |
( |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
||||||||
йJ =~::=-= |
hзс |
|
~-- |
|
--- |
|||
А |
с |
I |
/12 |
n2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
\ |
J |
, |
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
где R - постоянная Ридберга (R ~I,0971 o'CM-')
Энергия 'Электрона u основном состоянии (n = \)
е'
Е, = --'--
2ао
h' п'
где ао - Боровский радиус, ао =: 41t2me2 - mе2
28
http://mitht.ru/e-library

1
В атомНЫХ единицах Е\ = - 2 1I
(Н - атОмная единица энергии - «Хартрю~~ 1н=27,2 еВ).
Е = 13.6 сВ - это потенциал ионизации атома вол.орода (отрыв электрона 01' атома водорода). По мере роста n - расстояние между уравнениями энергии уменьшается и при n --)о 00, м -t О. Это значит, что когда электрон
уходит из атома, условие квантования энергии снимается.
Из радиальной части уравнения Шредингера вьпекает и ограничение
целого числа 1 : п? 1+ 1 ИЛИ 1 $ n -1. Само 1 получается из уравнения
Л.9) = 1(1 + 1)
Его решение привадит к так называемому побочному Шlи орбитальному
квантовому числу 1, которое может принимать цслочисленныe значения от
О: 1=0,1,2 ... ДО (П-l), всего n значений. Это квантовое число
характеризует орбитальный момент количества движения (угловой) и определяет форму электронного облака. Величина момента количества движения связана с 1 следующим образом:
При 1== О. вектор момента количества движения тоже равен нулю н электронное облако обладает шаровой симметрией.
IIри 1=0 состояние электрона называется s- состоянием
1= 1 состояние электрона называется р- состоянием
1=2 состояние электрона называется d- состоянием
В уравненисf(3) входит еще одно целое число тl -магнитное квантовое
число, и из этого уравнения вытекает ограничение m/, Т.е. ВЫВОД, ЧТО
(т, <; /)
Само же М311-IИТНОС квантовое число вьггекаст и·j первого уравнения
, |
|
д'ф |
_ |
'ф |
=m, |
или |
д<р' |
--т, |
|
|
|
|
|
Магнитное квантовое число определяет проекцию вектора момента
количества Движения на выбранную ОСЬ (обычно ось z) В маrnитном поле (отсюда название «магнитное квантовое число))). Проекция вектора
момента количества движения квантуется и величина ее
h
М. "'m,~=тJI..
. 2"
При Данном 1 ml проходит все зна~ения от +i ДО -1, всего (21 + 1)
значений.
29
http://mitht.ru/e-library

Электрон. у которого есть угловой момент количества движения,
обладает магнитным моментом Рl (т.к. его можно рассматривать как
замкнyrый электрический ток).
,
J.l, = e·v·w •
у- частота движения электрона вокруг ядра,
а механический момент М
- |
|
= I - I= |
т ·v·2111",r |
= |
2nmИ" |
|
|||||
М |
|
mvr |
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рl |
e·Y·1l1' 2 |
е |
|
|
|
I е |
IM,I- 2mп·y·г' |
2т |
|
||
I - |
1', ~JI(I+l)~'~~ |
eh JI(I+l)~-'-h,JI(I+I) |
||||
р, = 1М' |
2т' или |
|||||
|
|
|
2т |
271" |
4лm |
2т |
|
eh |
eh |
|
|
|
|
Величииа 4пт = 2~ =!lБ - |
единица |
мarnнтиого момента в |
||||
электростатических единицах, |
или |
eh - |
eh |
- в электромзгl-lитныx |
||
|
|
|
4mnс |
2mс |
|
единицах
Р. ~ 0,92·10-27 ДжЛ'с~ 0,92 ·10-20 эргlГс
f.lь - .магнетон Бора (магнетон Бора еще обозначают Р,)
И обычно орбитальный магнитный момент электрона выражают в
единицах
если 1 = О, Р/ = О, Т.С. ДЛЯ S -состояния 11, о;; О .
Итак, полное решение уравнения Шредингера ДЛЯ атома водорода
приВОДИТ к 3 квантовым числам и их значениям, дает возможные энергетические уровни электрона и определяет вид волновых функций, описывающих состояние электрона в общем виде
't'= Фm, (<рJJm,,1 (э.)
, |
• |
' |
|
УГЛОВАЯ |
|
|
ЧАСТЬ |
|
Забежим немного вперед и заметим, что ДЛЯ полного описания
СОСТОЯНИЯ электрона в атоме необходимо еще одно квантовое число -
30
http://mitht.ru/e-library
спиновое, его нет в уравнении Шредингера н, оно появляется лишь в
квантовой механике Дирака. Это квантовое число связывается со
свойством электрона - наличием у него собственного механического и
магнитного момента, и представить себе это можно, если принять, что
электрон врашается вокруг собственной оси. Снин - как СВОЙСТВО электрона, было введено Уленбеком И Гаудсмитом при объяснении
расщеплений в атомных спектрах в магнитно'1 поле и является очень
важной характеристикой состояния электрона. Спиновое квантовое число
s = 12'которое часто называется просто спином
Величина собственного момента количества движения электрона
равна
,Ms = s(s + i)!i .
где S - 12'проею{ЮI. вектора собственного момеlП8 количества
движения на ось орбитального момента квантуется и может принимать
только два значения
м, =m, ·h .
l"де т, = + /2112 - магнитное спиновое квантовое число.
Электрон обладает и СПННОВЫМ магнитным моментом
~s с=gS(S+l)·~Б.
где g - гиром:аПlИтное отношение или фактор Ланде для орбитального J.i, g = 1, для СПИНОВОГО Jl,\ g = 2).
Итак, состояние электрона в атоме полностью определяется четырьмя
квантовыми числами
Если n =-1, то 1= О и т, = О - Э1 О S - состояние электрона Если n=2,ТО /00:0,1
т е. возможны 2 состояния s - состояние и р - состояние
Для р - состояния т, может принимать три значения 1; О; -l, т.е.
р- облако может в пространс-rве иметь 3 различных ориентации Вектор
момента количества движения имеет 3 направления в ма! витном поле
(рис.2.J ).
Итак, ДЛЯ одного и того же n мы JThIeeM различные состояния
электрона, но энер"ия этих состояний одна и та же. Такое явление
называется выIождепием.. Вырожденным энергетичеСКJ{М уровнем
называется такой уровень, которому соответствует более ОДНОЙ волновой функции. (из свойств опсраторов).Для атома водорода вес уровни, кроме
самого низкого, являются вырожденными (В многоэлектронном атоме
3 1
http://mitht.ru/e-library