35

7.Изображение разрывных оригиналов

Найдем изображение так называемой функции Хевисайда, которая обозначается θ(t) и определяется равенством (см. также рис. 2)

(

0, x < 0

θ(t) = (67)

1, x ≥ 0.

Θ(t)

1

Рис. 2.

Пользуясь определением преобразования Лапласа, находим для σ = Re p > 0

www.mitht.ru/e-library

если Re(p − a) > 0 или Re p > Re a (т.е. правее прямой p = Re a на комплексной плоскости). Итак,

Роль множителя θ(t) в выражении (70) состоит в том, что он “гасит” (т.е. обращает в нуль) функцию при t < 0 . Вообще, если функция f (t) не равна нулю при t < 0 и, следовательно, не является оригиналом, то функция θ(t) f (t) , “погашенная” при t < 0 , уже будет оригиналом. Обычно принято считать, что все функции, которые рассматриваются как оригиналы, снабжены этим множителем θ(t) , хотя сам этот множитель в написании часто опускается. Так, например, мы можем писать tn , e−at , sin wt и т.д., подразумевая при этом соответственно θ(t)tn , θ(t)3−at , θ(t) sin wt и т.д.

Теорему запаздывания оригинала можно переписать теперь так: Если f (t) + f (p) , то

В качестве примера найдем изображение оригинала функции

f (t) = (t −1)2θ(t −1)

www.mitht.ru/e-library

37

Θ(t)

Рис. 3.

(рис. 3). Здесь f (t) есть функция tn , но “выключенная” с запаздыванием τ = 1 . Так как t2 + p23 , то по теореме запаздывания имеем

Если бы мы в записи функции f (t) опустили бы множитель θ(t −1) , то получили бы функцию (t −1)2 , но, как мы условились, такая функция означает оригинал (t −1)2θ(t) без запаздывания. Изображение этого оригинала будет

Таким образом, недопустимо опускать множители вида θ(t −τ) в записи оригинала, ибо это может привести к ошибкам и недоразумениям.

Рассмотрим далее примеры.

1. Найти изображение функции f (t) , представленной на рис. 4. Эта функция есть импульс интенсивности 3, включенный

www.mitht.ru/e-library

38

f(t)

3

в момент времени t = 0 , следовательно, его можно записать как

2. Оригинал f (t) задан на рис. 5.

Его аналитически можно записать так:

f (t) = 2 −2θ(t −1) + 4θ(t −1) −4θ(t −2) + θ(t −2) −θ(t −3) = = 2 + 2θ(t −1) −3θ(t −2) −θ(t −3). (78)

3. Построить график функции

f (t) = (t2 −5t + 11)θ(t −2)

www.mitht.ru/e-library

39

f(t) 4

3

2

1

Рис. 5.

и найти ее изображение. Эта функция описывает процесс, включаемый с запаздыванием τ = 2 . Для того, чтобы решить, какой это процесс, нужно заданную функцию представить в виде f (t) = ϕ(t −2)θ(t −2) . Сделаем это так:

f (t) = (t2 −6t + 11)θ(t −2) =

=(t −2)2 −4t −4 −6t + 11 θ(t −2) =

=(t −2)2 −2t + 7 θ(t −2) =

=(t −2)2 −2(t −2) + 3 θ(t −2). (80)

Отсюда следует, что f (t) есть процесс ϕ(t) = t2 −2t + 3 , “включаемый” с запаздыванием τ = 2 . На рис. 6 представлены графики функций ϕ(t) и f (t) .

Так как

www.mitht.ru/e-library

40

Требуется с помощью единичной функции Хевисайда записать оригинал одним аналитическим выражением и найти изображение этого оригинала. Имеем f (t) = 0 при t < 0 ; в момент времени

www.mitht.ru/e-library

41

f(t)

3

t = 0 включается функция, равная 3; в момент t = 4 она выключается и включается функция 9 − 32 t ; в момент времени t = 6 выключается и эта функция. Все это можно записать так:

Для того, чтобы найти изображение этого оригинала, нужно, рассуждая как и в предыдущем примере, представить его в форме

f (t) = 3θ(t) + ϕ1(t −4)θ(t −4) + ϕ2(t −6)θ(t −6). (85)

Имеем:

www.mitht.ru/e-library

42

то, применяя теорему запаздывания, находим

www.mitht.ru/e-library