1.Объядинение языков.

Пусть L и M языки. Тогда их объединение это язык, который составлен из слов содержащихся либо в L ибо в M.

2.Конкатенация языков

Пусть L и M языки. Тогда L.M =a.b a,bM

3.Звездочка Кинни.

Пусть есть L – язык, тогда L* - это множество всех слов, которые можно образовать путем конкатенации любого количества цепочек из L.

Построение регулярного выражения.

Базис:

1.Константы ξ и являются регулярными выражениями. L() – Язык = (ξ),

L()=.

2. Пусть a - произвольный символ, следовательно регулярное выражение a которое определяет язык а. Т.е L(a)={a}.

Индукция:

1.Если E и F – рег выражения, то и E+F – регулярное выражение, определяющее объединение языков. L(E+F)=L(E)L(F)

2.Пусть E и F – рег выражения. Тогда определим РВ произведение E.F – конкатенация языков L(E) и L(F)

3.E – рег выражение, определим E* Как РВ задающее язык (L(E))* L(E*)=(L(E))*

4.Если E – регулярное выражение, то (E) тоже рег выражение и L((E))=L(E).

6. Лемма «о накачке для регулярных языков».

Лемма «о накачке»: Пусть регулярный язык. Существует константаn, зависимая от L, для которой каждая цепочка из языкаL удовлетворяет неравенству можно разбить на три цепочки так, чтобы, что выполнялись бы три условия: 1.; 2.; 3.

Доказательство: Пусть L – регулярный язык (формальный язык, удовлетворяющий свойствам: 1. Пустое множество является регулярным множеством в алфавите Σ, 2. Множество, состоящее из одной лишь пустой строки является регулярным множеством в алфавите Σ, 3. Множество, состоящее из одного любого символа алфавита Σ является регулярным множеством в алфавите Σ, 4. если два какие-либо множества являются регулярными в алфавите Σ, то и их объединение тоже является регулярным множеством в алфавите Σ, 5. Если два какие-либо множества являются регулярными в алфавите Σ, то и множество, составленное из всевозможных сцеплений пар их элементов тоже является регулярным множеством в алфавите Σ, 6. Если какое-либо множество является регулярным в алфавите Σ, то множество всевозможных сцеплений его элементов тоже является регулярным множеством в алфавите Σ) . Тогда по доказанной ранее теореме существует детерминированный конечный автомат А (Конечный автомат — абстрактный автомат без выходного потока, число возможных состояний которого конечно. Результат работы автомата определяется по его конечному состоянию. Детерминированным конечным автоматом (ДКА) называется такой автомат, в котором для каждой последовательности входных символов существует лишь одно состояние, в которое автомат может перейти из текущего.), такой, что: - его язык. Пусть автомат А имеетn состояний . Рассмотрим слово изL.

, т.е. .Обозначим:.

Т.е. . У нас, т.е. состояния могут повторяться, поэтому будем рассматривать, где. У нас все равно будетсостояние, т.е. будет существовать такая пара, что. Пусть для определенности. Тогдабудем разбивать наследующим образом: 1.; 2.; 3.