4. Конечные автоматы с ε-переходами. Эпсилон ε -замыкание. Расширенные переходы и языки ε -нка.

Конечные автоматы с ε -переходами – это обобщение недетерминированных конечных автоматов. Вводим возможность для автомата переходить из одного состояния в другое по ε, то есть не получая на вход ни одного символа. Эта особенность не расширяет язык автомата, но дает удобство при программировании.

Опр.конечные автоматы с ε-переходами – это пятерка , где-непустое конечное множество состояний,- алфавит, множество входных символов,- фиксированный единственный символ, называемый начальным состоянием,- множество допустимых (заключительных) состояний,- функция перехода, зависит от 2-х параметров

Расширение функции переходов .

Эпсилон ε -– замыкание. Обозначается . Определяется индуктивно:

Базис:

Индукция: Если и существует ε-переход из состоянияв состояние, то(состояния, ведущие в данное)

Точнее, если - функция перехода для ε –НКА и замыкание

- содержит все состояния, в которые можно перейти по ε из данного.

Расширение функции переходов :

;

Индукцией по длине слова. Базис

Индукция по: - дописываем к слову некоторый символ. Вычисляем: 1), и т.к., то по индукции множество определено, т.е.- те и только те состояния, в которое можно попасть изq по маршруту, помеченному словом X.Этот маршрут может оканчиваться одним или несколькими ε и может содержать другие ε –переходы. 2) - т.е. нужно совершить все переходы, отмеченные символом, из тех состояний, в которые мы можем попасть изпо пути, отмеченному словом. Состояниялишь некоторые из тех, в которые мы можем попасть по маршруту, отмеченному словом. 3) В остальные состояния можно попасть из состоянияпосредством ε –переходов.- на этом дополнительном шаге мы берем замыкание и добавляем к нему все выходящие изпути, помеченные символом. Здесь же учитывается возможность существования дополнительных дуг, отмеченных символом ε, переход по которому м.б. совершен после перехода по последнему непустому символу.

Язык ε –НКА. Опр. Если ε –НКА - , тогда языком этого автомата будет

Устранение ε – переходов: хотим по ε –НКА построить ДКА. - ε –НКА. С помощью конструкции подмножеств построим эквивалентный ему ДКА. 1)- множество подмножеств:. Для автоматадопустимыми состояниями являются только ε – замкнутые подмножестваиз:. ε – замкнутые множестваS - это такие множества, у которых всякий ε – переход из состояния, принадлежащего этому множеству вновь приводит в это множество. Заметим, что является ε – замкнутые подмножеством

2) , 3)4),определяется следующим образом: а), вычислимб)

Теорема. Язык допускается ε –НКАэтот язык допускается некоторым ДКА

Доказательство: допускается ε –НКА, тогда с помощью конструкции подмножеств строим ДКА. Покажем. По индукции по длине слова: покажем, что. Базис:,/ Предположение индукции: равенство верно для всех . Покажем для ,,,, по построению автомата

, автомат дан, построим ε –НКА. Преобразуемв, добавив ε –переходы:, переходы типа

5. Операции над яыками и операторы регулярных выражений. Построение регулярных выражений. Язык, представленный регулярным выражением.

Регулярное выражение дает возможность описывать языки с другой точки зрения (не точки зрения автомата) В некотором смысле регулярное выражение можно рассматривать как язык программирования. Задание ДКА и НКА это машинное задание языка, перейдем к алгебраическому заданию РВ.

Операторы РВ.