3. Конечные автоматы и формальные языки

Определение детерминированного конечного автомата, способы его задания. Расширенные функции переходов на цепочки. Язык ДКА.

Алфавитом называется конечное непустое множество символов. Пример: бинарный алфавит = {0, 1}. Цепочкой илисловом называется любая последовательность символов из некоторого алфавита. - пустая цепочка (пустое слово) не содержит ни одного символа.

Длина слова – число позиций для символов в цепочке. Пример: 01100. Символов – 2 длина – 5. - все слова в алфавите

Множество слов каждое из которых принадлежит называетсяязыком L.

Детерминированным конечным автоматом (ДКА) называется пятерка A = (Q, ,,,F)

Q – непустое конечное множество (множество состояний). - алфавит, множество входных символов.- начальное состояние.

F – множество допустимых (заключительных) состояний

,

Язык ДКА – множество всех его допустимых цепочек. Любой ДКА определяет язык, а именно множество всех цепочек приводящих автомат из начального состояния в одно из допускающих. Язык ДКА – множество всех меток вдоль всех маршрутов, ведущих из начального состояния в любое допускающее.

,

- расширенная функция переходов,

Индукция по длине слова

| w | - количество позиций в слове

| w | = 0 ,,,

x – начальное слово, a – алфавитный символ, Язык ДКА A = (Q, ,,,F), такие слова, которые приводят начальное состояние в конечное. ЯзыкL называется регулярным, если L = L(A) (если совпадает с языком некоторого автомата).

Определение недетерминированного конечного автомата, способы его задания. Расширенные функции переходов на цепочки. Язык НКА.

НКА обладает свойством находиться в нескольких состояниях одновременно. Эту особенность часто представляют как свойство автомата “делать догадки” относительно его входных данных. Нужно: 1. определить НКА 2. показать, что всякий такой автомат допускает язык допустимый ДКА.

НКА допускает регулярные языки точно так же как и ДКА.

НКА автоматы строить легче, можно преобразовать в ДКА.

A = (Q, ,,,F), - функция перехода

Различие ДКА и НКА состоит в типе функции .

НКА функция, аргументами которой являются состояния и элемент входного алфавита, а значениями- множество состоящее из 0,1 или нескольких состояний.

Язык НКА. НКА допускает цепочку w, если в процессе чтения этой цепочки можно выбрать хотя бы 1 последовательность переходов, так чтобы перейти из начального состояния в одно из допускающих. Тот факт, что при другом последовательности переходов по символам цепочки мы можем попасть в недопускающее состояние или вообще не попасть ни в какое, совсем не означаетне является допустимым.

Для данного НКА A = (Q, ,,,F) язык L(A) есть множество цепочек

Конструкция подмножеств. Теорема эквивалентности детерминированных и недетерминированных конечных автоматов.

Предположим есть D-ДКА и есть N-НКА, каждый из этих автоматов допускает язык для D-L(D) и N-L(N), тогда автоматы D и N будем называть эквивалентными если их язык совпадают (т.е. D-ДКА N-НКА) если L(D) = L(N).

Задача. Есть N, построим D такой что языки у них совпадают L(D) = L(N). Это делается с помощью конструкций подмножеств.

Дано , будем строить.

Начнем с множества состояний . Рассмотрим все его подмножества, т.е. возникает булеан=. Начальное состояние нового автомата будет подмножество состояний из одного элемента,. Определим множество заключительных состояний.есть множество подмножества вS множества , для которого. В качестве заключительного состояния нового автомата мы берем все подмножества из булеана которые содержат хотя бы одно состояние из. Определим функцию,мы должны взятьт.еS подмножество ().

Теорема. Если детерминированный конечный автомат построен из недетерминированного автомата, с помощью конструкций подмножеств, тоL(D) = L(N) (языки допускаемые этими автоматами совпадают).

Доказательство: индукция по длине слова , покажем что(крышечка недоступна маткад гнилой поэтому как есть).

Установим равенство , считаем чтопри этомт.к.. Индукция потогда слово можно представить.. Предполагаем что наша формула верна для всех словзначит для всех х наша формула справедлива.значение функцииявляются: состояния, если детерминированный автомат то это множество воспринимаем как один элемент, а если недетерминированный то разные множества состояния..

Заметим что детерминированный автомат D и недетерминированный N допускают слово когдаилисоответственно содержат некоторое состояние из.

Теорема доказана.