23. Алгоритмы поиска в деревьях.

Дерево — это совокупность элементов, называемых узлами (при этом один из них определен как корень), и отношений (родительский–дочерний), образующих иерархическую структуру узлов. Узлы, которые не имеют ни одного последующего узла, называются листьями.

В двоичном (бинарном) дереве каждый узел может быть связан не более чем двумя другими узлами. Рекурсивно двоичное дерево определяется так: двоичное дерево бывает либо пустым (не содержит ни одного узла), либо содержит узел, называемый корнем, а также два независимых поддерева — левое поддерево и правое поддерево.

Двоичное дерево поиска может быть либо пустым, либо оно обладает таким свойством, что корневой элемент имеет большее значение узла, чем любой элемент в левом поддереве, и меньшее или равное, чем элементы в правом поддереве. Указанное свойство называется характеристическим свойством двоичного дерева поиска и выполняется для любого узла такого дерева, включая корень.

типовые операции над двоичными деревьями поиска:

• добавление элемента в дерево;

• удаление элемента из дерева;

• обход дерева (для печати элементов и т.д.);

• поиск в дереве.

Поскольку определение двоичного дерева рекурсивно, то все указанные типовые операции могут быть реализованы в виде рекурсивных подпрограмм (на практике именно такой вариант чаще всего и применяется).

Красно-черные деревья - один из способов балансировки деревьев. Название происходит от стандартной раскраски узлов таких деревьев в красный и черный цвета. Цвета узлов используются при балансировке дерева. Оценкой как среднего время, так и наихудшего является O(log n).

Красно-черное дерево - это бинарное дерево с следующими свойствами:

1) Каждый узел покрашен либо в черный, либо в красный цвет.

2) Листьями объявляются NIL-узлы (т.е. "виртуальные" узлы, наследники узлов, которые обычно называют листьями; на них "указывают" NULL указатели). Листья покрашены в черный цвет.

3) Если узел красный, то оба его потомка черны.

4) На всех ветвях дерева, ведущих от его корня к листьям, число черных узлов одинаково.

Количество черных узлов на ветви от корня до листа называется черной высотой дерева. Перечисленные свойства гарантируют, что самая длинная ветвь от корня к листу не более чем вдвое длиннее любой другой ветви от корня к листу. Чтобы понять, почему это так, рассмотрим дерево с черной высотой 2. Кратчайшее возможное расстояние от корня до листа равно двум - когда оба узла черные. Длиннейшее расстояние от корня до листа равно четырем - узлы при этом покрашены (от корня к листу) так: красный, черный, красный, черный. Сюда нельзя добавить черные узлы, поскольку при этом нарушится свойство 4, из которого вытекает корректность понятия черной высоты. Поскольку согласно свойству 3 у красных узлов непременно черные наследники, в подобной последовательности недопустимы и два красных узла подряд. Таким образом, длиннейший путь, который мы можем сконструировать, состоит из чередования красных и черных узлов, что и приводит нас к удвоенной длине пути, проходящего только через черные узлы.

Пусть требуется построить бинарное дерево с n узлами и минимальной высотой (максимально "ветвистое" и "низкое"). Такие деревья имеют большое практическое значение, так как их использование сокращает машинное время, требуемое на выполнение различных алгоритмов.

Операция вставки элемента в красно-черном дереве. Чтобы вставить узел, мы сначала ищем в дереве место, куда его следует добавить. Новый узел всегда добавляется как лист, поэтому оба его потомка являются NIL-узлами и предполагаются черными. После вставки красим узел в красный цвет. После этого смотрим на предка и проверяем, не нарушается ли красно-черное свойство. Если необходимо, мы перекрашиваем узел и производим поворот, чтобы сбалансировать дерево.

Вставив красный узел с двумя NIL-потомками, мы сохраняем свойство черной высоты (свойство 4). Однако, при этом может оказаться нарушенным свойство 3, согласно которому оба потомка красного узла обязательно черны. В нашем случае оба потомка нового узла черны по определению (поскольку они являются NIL-узлами), так что рассмотрим ситуацию, когда предок нового узла красный: при этом будет нарушено свойство 3. Достаточно рассмотреть следующие два случая:

Красный предок, красный "дядя": Ситуацию красный-красный иллюстрирует рис. 1. У нового узла X предок и "дядя" оказались красными. Простое перекрашивание избавляет нас от красно-красного нарушения. После перекраски нужно проверить "дедушку" нового узла (узел B), поскольку он может оказаться красным. Обратите внимание на распространение влияния красного узла на верхние узлы дерева. В самом конце мы красим в черный цвет корень дерева. Если он был красным, то при этом увеличивается черная высота дерева.

Красный предок, черный "дядя": На рис. 2 представлен другой вариант красно-красного нарушения - "дядя" нового узла оказался черным. Здесь узлы может понадобиться вращать, чтобы скорректировать поддеревья. В этом месте алгоритм может остановиться из-за отсутствия красно-красных конфликтов и вершина дерева (узел A) окрашивается в черный цвет. Обратите внимание, что если узел X был в начале правым потомком, то первым применяется левое вращение, которое делает этот узел левым потомком.

Каждая корректировка, производимая при вставке узла, заставляет нас подняться в дереве на один шаг. В этом случае до остановки алгоритма будет сделано 1 вращение (2, если узел был правым потомком). Метод удаления аналогичен.

Опр.: Бинарное дерево назовем идеально сбалансированным, если для каждой его вершины количество вершин в левом и правом поддереве различаются не более чем на 1.

Рис. 1: Вставка - Красный предок, красный "дядя"

Рис 2. Красный предок, черный "дядя"

Изобразим несколько идеально сбалансированных деревьев:

Теорема.: Длина внутреннего пути в идеально сбалансированном дереве, содержащем n вершин, не превосходит величины: (n+1)[log₂n] - 2 * 2^[log2n] – 2

Доказательство. Ясно, что только одна вершина (а именно корень) может находиться на нулевом расстоянии от корня; не более двух вершин могут находиться на расстоянии 1 от корня; не более четырех вершин могут находиться от корня на расстоянии, равном 2 и т.д. Мы видим, что длина внутреннего пути всегда не больше суммы первых n членов ряда:

Рис.2. Длина внутреннего пути

Взгляните на следующее соотношение:

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ...

[log2k] 0 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 ...

Теперь легко понять, что сумма первых n членов равна:

символы [ ] - обозначение операции выделения целой части числа.

Легко показать что откуда и следует утверждение теоремы.