А) сортировки сравнениями (сортировка вставками, пирами­дальная сортировка, быстрая сортировка);Сортировка вставками (insertion sort)

Алгоритм состоит в том, что на i-ом этапе элемент a[i] вставляется в нужную позицию среди элементов a[1]… a[i-1].

Поиск места вставки требует операций, сдвиг всех после вставленного элемента , т.е. сравнений

Пирамидальная сортировка. Массив с индексами 1, …,n называется кучей (имеет структуру кучи), если для любого индекса k выполняются неравенства и

Соответствие между геометрической структурой пирамиды как дерева и массивом устанавливается по следующей схеме: в a[0] хранится корень дерева; левый и правый сыновья элемента a[i] хранятся, соответственно в a[2i] и a[2i+1] 1. Построение кучи.Рассмотрим правую половину исходного массива. В ней куча уже построена, т.к. : k = 2i( или k = 2i+1 ) находятся за границей массива. Далее будем расширять часть массива с этим свойством, добавляя по одному элементу за шаг. Следующий элемент на каждом шаге добавления - тот, который стоит перед уже готовой частью. Если a[i] не удовлетворяет условию, то меняем его местами с наибольшими из потомков, если неравенства выполняются, то процедура просеивания заканчивается, иначе повторяем процедуру. Когда неравенства выполняются, то куча наращивается, и берём следующий элемент.

На каждом шаге не более чем действий. 2. Построение отсортированного массива с использованием полученной кучи:

1) меняем местами первый и последний элементы

2) осуществляем процедуру просеивания первого элемента через первые N-1 элементов массива.

3) меняем местами 1 и N-1 элементы и осуществляем просеивание 1-ого элемента через первые N-2 элементов и т.д. операций.

Т.е. сортировка кучей имеет сложность .

Быстрая сортировка

1. из массива выбирается некоторый опорный элемент a[i] (первый элемент, последний элемент, средний элемент, произвольный элемент)

2. запускается процедура разделения массива, которая перемещает все ключи, меньшие, либо равные a[i], влево от него, а все ключи, большие, либо равные a[i] - вправо,

3. теперь массив состоит из двух подмножеств, причем левое меньше, либо равно правого,

4. для обоих подмассивов, если в подмассиве более двух элементов, рекурсивно запускаем ту же процедуру.Среднее время работы быстрой сортировки

б) карманная сортировка как пример распределяющей сортировки; 

Ключ, по которому происходит сортировка, необходимо разделить на части, разряды ключа. Например, слово можно разделить по буквам, число - по цифрам...

До сортировки необходимо знать два параметра: k и m, где k - количество разрядов в самом длинном ключе, m - разрядность данных: количество возможных значений разряда ключа

При сортировке русских слов m = 33, так как буква может принимать не более 33 значений. Если в самом длинном слове 10 букв, k = 10.

Аналогично, для для шестнадцатиричных чисел m=16, если в качестве разряда брать цифру, и m=256, если использовать побайтовое деление.

Эти параметры нельзя изменять в процессе работы алгоритма.

Предположим, что элементы линейного списка L есть k-разрядные десятичные числа, разрядность максимального числа известна заранее. Обозначим d(j,n) - j-ю справа цифра числа n, которую можно выразить как

Пусть - вспомогательные списки (карманы), вначале пустые. Поразрядная сортировка состоит из двух процессов, называемых распределение и сборка и выполняемых для j=1,2,...,k.

Фаза распределения разносит элементы L по карманам: элементы списка L последовательно добавляются в списки , где . Таким образом, получаем десять списков, в каждом из которых j-тые разряды чисел одинаковы и равны m.

Фаза сборки состоит в объединении списков в общий список

Рассмотрим пример работы алгоритма на входном списке 0 => 8 => 12 => 56 => 7 => 26 => 44 => 97 => 2 => 37 => 4 => 3 => 3 => 45 => 10.

Максимальное число содержит две цифры, значит, разрядность данных k=2.

Первый проход, j=1.     Распределение по первой справа цифре: : 0 => 10        // все числа с первой справа цифрой 0 : пусто;: 12 => 2;: 3 => 3;: 44 => 4;: 45; : 56 => 26;: 7 => 97 => 37; : 8 : пусто         // все числа с первой справа цифрой 9     Cборка: соединяем списки один за другим L: 0 => 10 => 12 => 2 => 3 => 3 => 44 => 4 => 45 => 56 => 26 => 7 => 97 => 37 => 8 Второй проход, j=2.     Распределение по второй справа цифре: : 0 => 2 => 3 => 3 => 4 => 7 => 8 : 10 => 12;: 26 ;: 37; : 44 => 45;: 56;: пусто;: пусто;: пусто;: 97;    Cборка: соединяем списки Li один за другим L: 0 => 2 => 3 => 3 => 4 => 7 => 8 => 10 => 12 => 26 => 37 => 44 => 45 => 56 => 97

Число используемых карманов - количество возможных значений элемента списка. Сортировку можно организовать так, чтобы не использовать дополнительной памяти для карманов, т.е элементы списка не перемещать, а с помощью перестановки указателей присоединять их к тому или иному карману.

Алгоритм поразрядной сортировки по символьным строкам фиксированной длинны для списка из n записей, выполняется за время O(n).