13. Критерий Вильсона

Если - простое число, то

Доказательство

При утверждение теоремы очевидно, пусть, для любогоиз множества, существует и притом единственный, элементиз того же самого множества, такой, что.

Далее, тогда и только тогда, когдаили. Действительно, сравнениеэквивалентно сравнению, так что или, откуда, или, откуда.

Из следует, что

,

и если мы умножим это сравнение на сравнение

,

то получим

Тем самым критерий Вильсона доказан

Предположим теперь, что число составное. Тогда его можно представить в виде, следовательнобудет входить в качестве сомножителя в произведение, и сравнениев этом случае не разрешимо. Тем более не будет разрешимо и сравнение.

14. Вероятностные тесты определения простоты числа (на основе теоремы Ферма, Соловея-Штрассена, Рабина –Миллера).

Критерий Вильсона

Целое положительное p – простое

Теорема Ферма.

Пусть p – простое число, . Тогда.

Тест на основании теоремы Ферма.

Выбираем . Еслиn удовлетворяет сравнению не для всех возможных оснований, то при случайном выбореb с вероятностью не меньше условиене выполнится. Найдёмпо алгоритму Евклида, если - составное и , если то найдём , если- составное, если- псевдопростое по основаниюb. Если b выбирается k раз и выполняется, то вероятность того что составное числоn пройдёт k тестов равна , если толькоn не такое что выполняется для всех. Еслиk достаточно велико то мы можем быть уверенны с большой вероятностью, что n – простое.

Тест Соловея-Штрассена

Выбираем случайное b из множества 1,2,…,n-1 и проверяем с помощью алгоритма Евклида проверяем выполняется ли , если- составное, еслипроверяем выполняется ли, если сравнение не выполняется- составное, если, то ответ неизвестен, тест можно повторить ещё раз для другогоb.

Данный тест полностью аналогичен тесту на основе теоремы Ферма, однако он обладает решающим преимуществом – при его использовании возникают только две ситуации:

1. n – простое, а тест говорит что неизвестно

2. n – составное и тест с вероятностью не меньше говорит чтоn – составное.

Вероятность того что при составном n сравнение выполняется для всехkслучайно выбранных чисел b не превышает . Т.е. тест Соловея-Штрассена – это вероятностный алгоритм приводящий к выводу о том, чтоn – составное, либо что n – «вероятно» простое.

Пусть n – нечётное составное число и , гдеt-нечётное и , еслиn и b удовлетворяют одному из условий:

1)

2) существует такое , что, тоn называется сильнопсевдопростым по основанию b.

Тест Рабина-Миллера

Пусть n – большое, нечётное число, и пустьn – псевдопростое по основанию b, предполагаем . Идея критерия сильной псевдопростоты такова: представляемв виде, гдеt нечётное. Если последовательно вычислять то при простомn первым элементом отличным от 1 должен быть (-1), т.к. при простом n единственным решением сравнений - является ±1. Практически действия выполняются в обратном порядке,t – нечётно, вычисляем по модулюn, если , то вычисляемпо модулюn и т.д. до тех пор пока не получим 1.

Пусть , тогда еслиn – простое, то предыдущим числом должна быть (-1), в противном случае мы доказали что n – составное.