10. Теорема Эйлера и теорема Ферма.

Функция Эйлера определяется для всехи равна числу чисел в ряде(меньших аргумента) взаимно простых с :

Теорема Эйлера. Если числа a и m взаимно просты - (a, m)=1, m – целое положительное, то (сравнимо с 1 по модулюm). Обратное не верно.

Доказательство 1: - кольцо,- классы чисел по модулюm, - кольцо(идеал).- состоит из различных правых смежных классов по идеалу, представленных в записи своими представителями. Определим операцию сложения и умножения смежных классов через операцию сложения и умножения их представителей

Нас интересует число классов чисел, взаимно простых с модулем m.

- группа по сложению, полугруппа по умножению (так как не все элементы имеют обратный по умножению в общем случае). Из нее выделим группу, содержащую все обратимые по умножению элементы , представители смежных классов таких элементов взаимно просты с m – эта подгруппа называется мультипликативной группойи обозначается. При этом- из определения данной функции. Мультипликативная группа циклическая.

Пояснение, почему обратные имеют числа взаимно просты с модулем (для a ищем обратный элемент b)

Таким образом, если (a, m)=1, то , и если, топробегает элементы мультипликативной группы. Пустьs – порядок элемента a в мультипликативной группе, . Порядок элемента делит порядок группы:.

А из того, как именно мы ввели операцию над смежными классами следует _.

Это доказательство не было известно во времена Эйлера

Доказательство 2:

Опр: Полная система вычетов – это система состоящая из m чисел, выбираемых по одному для каждого класса чисел с одинаковым остатком от деления на m. (Для каждого смежного класса выбираем по одному представителю) каждое такое число называется вычетом.

- полная система наименьших неотрицательных вычетов

Полная система абсолютно наименьших вычетов

Приведенная система вычетов: из свойства сравнений по модулю обе части сравнения имеют один и тот же НОД с модулем сравнения. Поэтому для всех чисел, остаток от деления на модуль которых одинаков, НОД с модулем так же одинаков. В приведенную систему вычетов включаем только вычеты соответствующие классам, для чисел из которых НОД с модулем равен 1. Общее число таких вычетов в приведеннойсистеме равно функции Эйлера от модуля.

Лемма: пусть (a, m)=1, если пробегает приведенную систему вычетов, тотак же пробегает приведенную систему вычетов:1)пробегает всю систему – от противногои тот, и другой вариант противоречат условиям выбора данных чисел

2) – от противногочто противоречит условию выбора этих чисел

Возьмем приведенную систему наименьших неотрицательных вычетов по модулю m.

Обозначим эти числа

Домножим каждое из них на a из формулировки теоремы – получим - приведенную систему вычетов. Заобозначим наименьший неотрицательный вычет числа, получим

Перемножим эти сравнения .

В правой и левой частях получим одинаковый сомножитель с точностью до перестановки слагаемых, равный произведению всех чисел из системы наименьших неотрицательных вычетов по модулю m, и так как это произведение взаимнопрото с m, то можно на него сократить, после чего получим требуемое сравнение

Следствие. Малая теорема Ферма.

Пусть p – простое число, (a, p)=1. Тогда .

Доказательство: если p – простое, то , и далее подставляемp вместо m теорему Эйлера.

Другая формулировка теоремы Ферма.

Если p – простое число, то a, .

Доказательство: 1) если (a, p)=1 то по теореме Эйлера , и далее по свойству сравнений домножив обе части сравнения на a, , получим требуемое

2) если