9. Вычеты. Полная система вычетов. Полная система наименьших неотрицательных вычетов. Полная система абсолютно наименьших вычетов. Приведенная система вычетов. Сравнения, свойства сравнений.

Опр. Рассмотрим множество целых чисел Z где: m – модуль, m – классов. Возьмем из каждого класса по одному числу. Получим m – чисел по одному из каждого класса. Эти m чисел - это полная система вычетов. Каждое число из класса называется вычетом.

Полная система наименьших неотрицательных вычетов (ПСННВ) по модулю m это система чисел вида: 1,2,3 … m-1. (или ПСПНВ – полная система положительных наименьших вычетов)Полная система абсолютно наименьших вычетов (ПСАНВ):

если m=2k+1, то ПСАНВ это: -k,….., -2,-1,0,1,2,…,k.

если m=2k то ПСАНВ любая из двух: -(k-1),…,-1,0,1,..,k или -k,..,-1,0,1,..,k-1.

Пример: m=10: ПСПНВ: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. ПСАНВ: -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5 или -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4

Лемма 1: Любые m чисел попарно несравнимых друг с другом образуют полную систему вычетов. Д-во: Если m чисел попарно несравнимы друг с другом, то они принадлежат разным классам, а поскольку чисел m и классов m, то каждому классу принадлежит по одному из этих чисел, которые вместе образуют полную систему вычетов. ЧТД

Лемма 2: Пусть (a,m)=1, . Если x пробегает полную систему вычетов по модулю m, то ax+b тоже пробегает полную систему вычетов по модулю m.

Д-во: Пусть тогда достаточно показать что числа во втором множестве попарно несравнимы по модулю m. От противного: пусть числа сравнимы, то есть по свойствам сравнения что невозможно, так как принадлежат разным классам, следовательно они несравнимы. ЧТД

Опр. По свойству сравнения все вычеты одного класса чисел по модулю m имеют с m один о тот же НОД, и с каждого класса чисел, для которых этот НОД=1 берем по одному числу, получаем систему чисел, которая называется приведенная система вычетов по модулю m.

Число чисел в приведенной системе вычетов равно в точности - (функция Эйлера – количество чисел ряда 1,2, .. m взаимно простых с m. , где )

Лемма 1: Любые чисел попарно несравнимых по модулю m и взаимно простых с m образуют приведенную систему вычетов по модулю m.

Д-во: Классов чисел, вычеты которых имеет с m НОД=1 в точности . Имеем чисел, чей НОД с m равен 1 и при этом они принадлежат разным классам, то есть они образуют приведенную систему вычетов по модулю m. ЧТД

Лемма 2: Пусть (a,m)=1 Если x пробегает полную систему вычетов по модулю m, то ax тоже пробегает полную систему вычетов по модулю m.

Д-во: Пусть тогда достаточно показать что числа во втором множестве попарно несравнимы по модулю m. От противного: пусть числа сравнимы, то есть по свойствам сравнения что невозможно, так как принадлежат разным классам, следовательно они несравнимы. ЧТД

Сравнения, свойства сравненийразобьем на классы Опр. Возьмем m>0, , m – модуль. Целые числа a и b назовем сравнимыми по модулю m, если они имеют равные остатки от деление на m. Пример: m=5.,,

[0] [1] …. [m-1] Эти классы не пересекаются, их объединение дает

Утверждения: следующие 3 условия равносильны:

1.

2. a-b делится на m

3. a=b+mt,t – целое.

Д-во: 1->2 Изследует:a=mq+r; b=mq1+r => a-b=m(q-q1), 2->3 Из a-b делится на m следует a-b=tm => a=b+tm 3->1 Из Обратно так же (из a=b+mt следует что )

Свойства:

1. Сравнение по модулю m является отношением эквивалентности на множестве , т.е.

   1. (рефлексивность)

   2. => (симметричность)

   3. ,=>(транзитивность) (доказывается из a=b+mt)

2. Сравнение по модулю m является конгруэнтностью на множестве , т.е. отношением эквивалентности с двумя дополнительными условиями

   1. , =>

   2. , =>

3. Обе части сравнения можно поделить на их общий делитель, если этот общий делитель взаимно прост с модулем

Д-во: , => =>=>=>

4. Обе части сравнения можно умножить на одно и тоже число

Д-во: => =>=>=>

5. Обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и тоже число

Д-во: Из следует

6. Обе части сравнения и модуль можно поделить на их общий делитель

Д-во: Пусть Имеем

7. Если сравнение имеет место по модулю m, то оно имеет место по модулю – делителю числа m.

Д-во: Из следует, что разность а-b должна делиться на m, поэтому она должна делиться и на любой делитель d числа m

8. Если сравнение имеет место по нескольким модулям, то оно имеет место по модулю равному НОК этих модулей. =>

Д-во: Из следует, что разностьa-b делится на все модули Поэтому разность должна делиться и на НОКm этих модулей

9. Если одна часть сравнения и модуль делятся на некоторое число, то и другая часть сравнения делится на это же число

Д-во: Пусть ,, => => =>=>=>

10. Обе части сравнения имеют с модулем один и тот же НОД. =>(по свойству НОД)