Лабораторная работа №16 изучение затухающих колебаний и биений

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: исследовать затухающие колебания и явление биений.

ОБОРУДОВАНИЕ: пружина с набором грузов; секундомер; специальная установка.

Упражнение 1 Краткая теория

Рассмотрим простейшую колебательную систему — пружинный маятник (рис. 1). Он представляет собой груз массойm, подвешенный на упругой пружине. Будем считать, что масса пружины мала по сравнению с массой груза. Если первоначальная длина пружины без груза –L₀, то при подвешивании груза она растянется на величину∆L, называемую статическим удлинением пружины.

Рис. 1. Пружинный маятник

Когда маятник находится в состоянии равновесия, вес груза уравнивается силой упругости пружины:

mg = k∆L. (1)

Сместим груз из положения равновесия на расстояние, равное x. Если при этом удлинение пружины∆L+xне слишком велико и будет выполняться закон Гука, то результирующая сила, действующая на груз, находящийся в этом положении, будет равна:

F = mg – k(∆L+x).

Или с учетом (1)

F = -kx.(2)

Знак "минус" указывает на то, что смещение и сила имеют противоположные направления.

Таким образом, результирующая сила при смещении груза из положения равновесия пропорциональна величине смещения и всегда направлена к положению равновесия. Так как эта сила стремится всегда возвратить в положение равновесия, то ее называют возвращающей силой, а коэффициент kв формуле (2) называют коэффициентом жесткости пружины. Очевидно, что в пружинном маятнике роль возвращающей силы играет сила упругости пружины. Отметим, чтоквазиупругиминазывают силы, прямо пропорциональные смещению и направленные против смещения, но по своей природе не являющиеся упругими.

Если груз, оттянутый из положения равновесия на небольшое расстояние x=A₀, отпустить, то он будет совершать колебания в вертикальном направлении. За малый промежуток времени сопротивлением воздуха движению груза можно пренебречь. Тогда уравнение движения груза по второму закону Ньютона будет

(3)

При этом смещение xот положения равновесия будет изменяться со временемtпо закону:

x = A₀sinωt,(4)

где A₀— амплитуда;

ω =— угловая (циклическая) частота колебаний;

T— период колебаний.

Простой подстановкой нетрудно убедиться, что выражение (4) есть общее решение уравнения (3), называемого дифференциальным уравнением простых гармонических колебаний.

Чтобы сообщить грузу смещение x, нужно совершить против упругой силы работу

.

Эта работа идет на создание запаса потенциальной энергии колебательной системы. Поэтому, если считать потенциальную энергию в положении равновесия равной нулю, то при смещении груза на расстояние xсистема будет обладать потенциальной энергией:

.

Наибольшей потенциальной энергией колебательная система будет обладать в момент наибольшего смещения груза от положения равновесия, когда x = A₀, т.е.

В момент, когда груз проходит через положение равновесия (x= 0), система имеет наибольшую кинетическую энергиюW_{k max}. При этом скорость движения груза будет также наибольшей. Ее можно определить, воспользовавшись формулой (4):

ωcosωt

Отсюда наибольшая скорость будет тогда, когда cosωt= 1, т.е.

V_max = A₀ω.(5)

По закону сохранения энергии, когда силами трения можно пренебречь

W_{п max} = W_{k max}

Или с учетом (5)

,

отсюда

или

Следовательно,

. (6)

Таким образом, период колебания тела, подвешенного на упругой пружине, не зависит от амплитуды (при условии ее малости), а зависит от массы тела и коэффициента жесткости пружины.

Если промежуток времени велик, то существенным образом будет сказываться действие сопротивления воздуха движению колеблющегося груза и амплитуда колебаний будет со временем уменьшаться. Такие колебания называют затухающими.

Если затухающие колебания происходят медленно, то приблизительно их можно рассматривать как периодические.

При сравнительно медленных движениях колеблющегося груза можно считать, что сила сопротивления пропорциональна скорости движения колеблющегося тела:

.

Знак "минус" указывает на то, что сила сопротивления F_сопрнаправлена против скорости, а величинаr= const представляет собой коэффициент сопротивления.

Поэтому для затухающих колебаний уравнение движения груза будет:

. (7)

Амплитуда колебаний будет убывать по экспоненциальному закону и для момента времени tбудет:

, (8)

где А₀— начальная амплитуда; е — основание натурального логарифма; δ — коэффициент затухания, равный δ =r/2m.

Отношение двух амплитуд, отстоящих на период, называют декрементом затухания

Натуральный логарифм отношения этих амплитуд называют логарифмическим декрементомзатухания.

.(9)

Амплитуды колебаний, отстоящие на один период, мало отличаются друг от друга, и поэтому для более точного определения коэффициента затухания обычно измеряют, отстоящие друг от друга по времени n периодов. Равенство отношений

^δT, ^δT, … ^δT

позволяет записать:

.

Следовательно

. (10)

Очевидно, чем больше n, тем точнее можно определить по формуле (10) коэффициент затухания.

Колебательная система характеризуется еще и так называемой добротностьюQ, которая пропорциональна отношению полной энергииWк энергииW_T, рассеянной за период:

. (11)

Очевидно, чем меньше энергии рассеивается, тем больше добротность системы. Добротность связана с логарифмическим декрементом затухания соотношением:

. (12)

Отметим, что формула (12) верна при малых Δ.