ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №10

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УПРУГИХ КОНСТАНТ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: определить экспериментальным путем модуль Юнга, модуль сдвига и коэффициент Пуассона для ряда образцов.

Краткая теория

Сила характеризует воздействие одного тела на другое. В ре­зультате этого воздействия тело может прийти в движение или де­формироваться. Деформацией твердого тела называется изменение его размеров и объема. Силы можно разделить на две категории:

I) силы, обусловленные взаимодействием непосредственно соприкасающихся тел (удар, давление, растяжение тела и др.)

2) силы, связанные с особой формой материи, называемой по­лем, и осуществляющие взаимодействие между телами без их сопри­косновения (силы гравитации, электрические, магнитные, ядерные).

С другой стороны, с точки зрения закона сохране­ния энергии, силы можно разделить на консервативные и диссипативные силы. Консервативные силы зависят только от положения тела (силы тяготения, силы упругости); работа, совершаемая консерва­тивными силами, не зависит от пути, а определяется только на­чальными и конечными положениями тела в пространстве. Поле таких сил называется потенциальным.

Диссипативные силы (например, силы трения) — такие силы, при действии которых механическая энергия замкнутой системы уменьшается, она переходит в другие виды энергии (немеханические), например, в энергию теплового движения частиц тела, про­исходит диссипация — рассеивание энергии.

При деформации твердого тела, например металла, в нем про­исходят сложные явления. Металлы представляют собой совокуп­ность хаотически расположенных и различно ориентированных друг относительно друга мелких кристалликов. Вследствие этого упругие свойства металла по различным направлениям одинаковы и металл является изотропным телом.

Деформацию в металле грубо можно представить так: в зоне упругих деформаций (упругой деформацией называется такая де­формация, когда тело после прекращения действия сил, вызывавших деформацию, принимает первоначальные размеры и форму) кристаллики металла изменяют свою первоначальную форму, не сдвигаясь и не разрушаясь. После снятия нагрузки они возвращаются в прежнее со­стояние под действием сил взаимодействия между кристалликами. Таким образом, в упруго деформированном теле возникают внутрен­ние силы, которые уравновешивают внешние силы, приложенные к телу.

Физическая величина , численно равная упругой силе dF_упр, приходящейся на единицу площади сеченияdSтела, называется напряжением

Напряжение называется нормальным, если сила dF_упрнаправлена по нормали к площадиdSи касательным, если она направлена по касательной к этой площадке, Если сила упругости равномерно распределена по сечению S и направлена по нормали, то

(1)

В зоне пластических деформаций кроме из­менения формы кристалликов происходит еще и скольжение в них, а также сме­щение их относительно друг друга и разламывание. Пластические деформации возникают тогда, когда силы, действующие на тело, перешли опре­деленный предел, называемый пределом упругости, определенный для каждого тела. После превышения внешними силами этого предела те­ло не восстанавливает свои формы и размеры. Эти изменения уже не могут исчезнуть после снятия нагрузки. Тело остается де­формированным, в нем возникают остаточные деформации. Если пос­ле появления в теле остаточных деформаций мы продолжаем увели­чивать внешнюю силу, то наблюдается разрушение тела. Это явле­ние наступает тогда, когда напряжения ,возникающие в теле под действием деформирующей силы, переходят предел прочно­сти тела.

Деформации тела бывают разные: растяжение, сжатие, сдвиг, кручение, изгиб.

Мерой деформации является относительная деформация равная отношению абсолютной деформациик первоначальному значению величины X, характеризующей размеры или форму тела. Зависимость между напряжениеми относительной деформа­циейпоказана на рис. 1. ТочкаА соответствует преде­лу упругости, точкаB— пределу прочности. Область АС носит название пластических деформаций, в этой области деформа­ция возрастает без увеличения нагрузки, тело как бы "течет".

Английский физик Р. Гук открыл в 1660 г. законы упругих деформаций. Основной закон Гука говорит о том, что напряжение упру­го деформированного тела пропорционально его относительной деформации:

k, гдеk— модуль упругости.

Закон Гука справедлив только на участке ОА

(рис. 1).

При продольном растяжении или сжатии модуль упругости называется модулем Юнга, и закон Гука запишется так:

, (2)

где E—модульЮнга.

И

Рис.1 Диаграмма растяжения

з формул (I) и (2), заменив, получим:

(3)

Если , то получим модуль Юнга, т.е.модуль Юнга равен нормальному напряжению, которое возникло бы в образце при увеличении его длины в два раза, если бы при этих деформациях был бы справедлив закон Гука.

Так как относительная деформация - отвлеченное число, то единица модуля Юнга в системеСИ

.

Модуль Юнга, однако, еще не характеризует полностью свойства тела по отношению к его деформированию (или, как говорят, его упругие свойства). Это ясно видно уже в случае простого растяжения. Дело в том, что продольное растяжение стержня связано с сокращением его поперечных размеров: удлиняясь, стержень одновременно становится более тонким.

Значение модуля Юнга позволяет вычислить (по заданному напряжению) относительное удлинение стержня, но оно недостаточно для определения поперечного сжатия.

Отношение поперечного сжатия к продольному удлинениюназывают коэффициентом Пуассона(d- попереч­ный размер стержня). Таким образом

(4)

Можно показать, что коэффициент Пуассона не может превышать 0.5. Для большинства материалов его значение лежит в интервале от 0.25 до 0.5. Значение достигается у пористых тел (например, у пробки), не меняющих при растяжении своих поперечных размеров.

Подчеркнем, однако, что в наших рассуждениях мы молчаливо подразумеваем, что твердое вещество изотропное (обычно речь идет о поликристаллических материалах). Деформация же анизотропного тела - монокристалла - зависит не только от расположения внеш­них сил по отношению к телу, но и от ориентации кристаллогра­фических осей внутри тела.

Большой интерес представляют деформации, при которых меняется только форма, но не объем тела. Такие деформации называются сдвигом.При сдвиге все слои тела, параллельные данной плоскости, не искривляясь и не изменяясь в размерах, смещаются параллельно друг другу (рис.2).

Рис. 2. Деформация сдвига; -угол сдвига

Согласно закону Гука угол сдвига должен быть пропорционален касательному напряжению ,

т.е. гдеG- модуль сдвига.

Сдвиг может быть сведен к одновременному сжатию в направлении диагонали АСи растяжению в перпендикулярном к ней направлении ВD (см. рис. 2).

Такой сдвиг прямоугольного бруска представляет собой одно­родную деформацию. Деформацией чистого сдвига, но неоднородной, является кручение стержня. Она возникает, если, закрепив один конец стержня, закрутить его второй конец. При этом различные сечения стержня будут поворачиваться на различные углы относительно скрепленного основания. Так как при этом не меняется ни высота, ни площадь сечения стержня, то не меняется также его объем.

Вследствие деформации в закручиваемом стержне возникают упру­гие силы, уравновешивающие приложенные внешние сил. А так как элементы стержня могут вращаться вокруг его оси, то условие равновесия, как известно из механики, сводится к равенству мо­ментов упругих сил и моментов приложенных сил. Отсюда следует, что величина деформации кручения должна определяться моментом приложен­ных сил относительно оси стержня (или, как говорят, скручивающим моментом). При малых деформациях (когда мал угол сдвига) справедлив закон Гука, и угол закручивания стержня пропорционален скручивающему моменту:

где — угол закручивания стержня,

M — скручивающий момент,

f —модуль кручения.