ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3

ОРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ГЮЙГЕНСА-ШТЕЙНЕРА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: ознакомление с одним из способов определения момента инерции тел, проверка теоремы Гюйгенса-Щтейнера.

ОБОРУДОВАНИЕ: трифилярный подвес, электронный частотомер-хронометр, осветитель с фотодиодом, грузы, штангенциркуль, масштабная линейка, весы, разновес.

Краткая теория

Т

Рис.1 Трифилярный подвес

рифилярный подвес (рис.1) представляет собой круглую платформу, подвешенную на трех симметрично расположенных нитях 2 и укрепленных у краев этой платформы. Наверху эти нити также симметрично прикреплены к диску 3, н есколько меньшего диаметра, чем диаметр платформы. Диск укреплен на кронштейне5 и снабжен рычагом 4, при помощи которого системе можно сообщить крутильные колебания. Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси, перпендикулярной к ее плоскости и проходящей через ее середину; центр тяжести платформы при этом перемещается по оси вращения. Период колебаний определяется величиной момента инерции платформы; он будет другим, если платформу нагрузить каким-либо телом; этим и пользуются в настоящей работе. Крутильные колебания удобно наблюдать, следя за движением бумажного флажка 6, укрепленного на краю платформы I. Для определения периода колебаний собирается схема (рис.2). Если фотодиод закрыт флажком и не освещен, то ток в цепи слабый (сопротивление фотодиода велико). При отклонении флажка фотодиод освещается, его сопротивление падает, величина тока в цепи возрастает

.

Рис. 2. Блок-схема установки.

I - источник света; 2 - флажок, 3 - фотодиод; 4 - источник питания;

5 – частотомер-хронометр.

Таким образом, во время колебаний платформы фотодиод периодически то закрывается, то освещается, соответственно

меняется и величина электрического тока в цепи. Частотомер-хронометр, включенный последовательно в цепь, фиксирует периодичность возникающих в цепи электрических сигналов. Если платформа массы m , вращаясь в одном направлении, поднялась на высоту h, то приращение потенциальной энергии будет равно

, где g- ускорение силы тяжести.

Вращаясь в другом направлении, платформа придет в положение равновесия с кинетической энергией, равной

,

где I — момент инерции платформы — угловая скорость платформы в момент достижения ею положения равновесия. Пренебрегая работой сил трения, из закона сохранения механической энергии имеем:

Считая, что платформа совершает гармонические колебания, можем написать зависимость углового смещения платформы от времени в виде

,

где— угловое смещение платформы,— амплитуда смещения,

T — период колебания, t — текущее время.

Угловая скорость, являющаяся первой производнойпо времени, выражается так:

В момент прохождения через положение равновесия (t = 0,1/2Т, Т, 3/2Т) абсолютное значение величины угловой скорости будет

На основании выражений (I) и (2) имеем

Е

Рис.З. Схема для расчета высоты подъема платформы

слиL — длина нитей подвеса, R — расстояние от центра платформы до точек крепления нитей на ней, r — радиус верхнего диска, то легко видеть (рис.3), что

Так как

,

то .

При малых углах отклонениязначение синуса этого угла можно заменить просто значением, а величину знаменателя можно положить равной 2L . Учитывая это, получаем

Теперь, на основании (3) получите окончательную формулу (4) для расчета моментов инерции тел по периодам крутильных колебаний.

По этой формуле (4) может быть определен момент инерции и самой платформы, и тела, положенного на нее, т.к. величины в правой части формулы могут быть непосредственно измерены.

Как следует из вывода, формула (4) справедлива при полном отсутствии потерь энергии на трение. Учет такого рода потерь весьма затруднителен, однако можно показать, что поправки оказываются невелики, если потери энергии за период малы по сравнению с запасом колебательной энергии системы. Критерием применимости равенства (4) является, таким образом, условие

где - время, в течение которого амплитуда колебаний платформы заметно уменьшается (в 2-3 раза).