ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №19

ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАЯТНИКА МАКСВЕЛА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: ознакомиться со сложным движением твердого тела на примере движения маятника Максвелла.

Определить момент инерции маятника Максвелла.

ОБОРУДОВАНИЕ: специальная установка.

Краткая теория

Различают два вида основных движений твердого тела — поступательноеивращательное.При поступательном движении все точки тела получают за один и тот же промежуток времени равные по величине и направлению перемещения, вследствие чего скорости и ускорения всех точек в каждый момент времени оказывается одинаковым. Поэтому достаточно определить движение одной из точек тела (например, его центра масс) для того, чтобы охарактеризовать движение всего тела. При вращательном движении все точки твердого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Для описания вращательного движения нужно задать положение в пространстве оси вращения и угловую скорость тела в каждый момент времени.

Оказывается, что любое движение твердого тела может быть представлено как наложение двух указанных выше основных видов движения. Одним из этих видов движения является так называемое плоское движение. Движение тела называется плоским,если каждая его частица в процессе движения все время остается в одной и той же неизменной плоскости. Так, плоское движение совершает тело, скользящее по произвольной траектории на горизонтальной плоскости. Цилиндр, скатывающийся с наклонной плоскости, также совершает плоское движение. Изучение плоского движения твердых тел является сравнительно несложной задачей.

Назвав систему отсчета, относительно которой мы рассматриваем сложное движение твердого тела, неподвижной, движение тела можно представить как вращение с угловой скоростьюωв системе отсчета, которая движения относительно неподвижной системы поступательно со скоростьюυ_о. Следовательно, скорость точки при сложном движении может быть представлена в видеυ = υ₀ + [ω , r].

Элементарное перемещение твердого тела при плоском движении можно представить как поворот вокруг некоторой оси, называемой мгновенной осью вращения.Эта ось может лежать в пределах тела, либо вне его. Положение мгновенной оси вращения относительно самого тела и неподвижной системы отсчета, вообще говоря, меняется со временем. В случае катящегося цилиндра мгновенная ось совпадает с линией касания цилиндра с плоскостью.

Скорости всех точек тела для каждого момента времени можно считать обусловленными вращением вокруг соответствующей мгновенной оси. Следовательно, плоское движение твердого тела можно рассматривать как ряд последовательных элементарных вращений вокруг мгновенных осей.

При неплоском движении элементарное передвижение тела можно представить как поворот вокруг оси мгновенной лишь в том случае, если векторыυ₀иωвзаимно перпендикулярны. Если угол между этими векторами отличен от , движение тела в каждый момент времени будет наложением двух движений — вращения вокруг некоторой оси и поступательного движения вдоль этой оси.

В динамике вращательного движения вместо силы рассматривают момент силы относительно оси вращения или центра вращения. Модуль момента силы Mотносительно оси вращения равен произведению силы на плечо ℓ, т.е.M=Fℓ.

Направление вектора момента силы определяется по правилу правого буравчика. Если вместо плеча силы ℓ воспользоваться радиусом-вектором rточки приложения силы относительно оси вращения, тоМ = [r , F].

Угловое ускорение вращающегося тела зависит не только от массы вращающегося тела, но и от распределения массы относительно оси вращения. Поэтому в динамике вращательного движения вместо массы рассматривают момент инерции тела. Твердое тело можно представить как систему материальных точек. Скалярную величину ∆m_ίr²_ί, равную произведению массы материальной точки на квадрат расстояния ее от оси вращения, называютмоментом инерции материальной точкиотносительно этой оси. Сумму моментов инерции всех точек тела относительно оси вращения называют моментом инерции тела относительно этой же оси

I = Σ∆m_ί r²_ί.

Момент инерции — аналог массы. Как масса — мера инертности при поступательном движении, так и момент инерции — мера инертности при вращательном движении. При вращении тела вокруг различных осей моменты инерции различны. Величина момента инерции относительно какой-либо оси определяется пространственным распределением элементарных масс тела — т.е. геометрией масс. Аналитическое вычисление момента инерции производится путем интегрирования выражения:

,

где ρ– плотность вещества в элементе объемаdV, находящегося на расстоянииrот оси вращения.

При сложной форме поверхности, ограничивающей тело, или неравномерном распределении плотности, аналитический подсчет величины момента инерции может быть сложной задачей.

Экспериментальное определение момента инерции осуществимо достаточно легко. Кинетическая энергия твердого тела, совершающего произвольное плоское движение, состоит из кинетической энергии его поступательного движения, равной , и кинетической энергии его вращения около центра массC, равной, т.е. полное ее значение равно