Лабы по физике, Механика / Lab8

_{ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8}

_{ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСКОПА}

_{ЦЕЛЬ РАБОТЫ: 1)ознакомиться с особенностями движения гироскопа;}

_{2) определить угловую скорость собственного вращения гироскопа;}

_{3) определить момент инерции ротора гороскопа.}

_{ОБОРУДОВАНИЕ: гироскоп в кардановом подвесе, секундомер, груз, линейка измерительная, строботахометр.}

_{КРАТКАЯ ТЕОРИЯ}

_{Гироскопом навевается всякое твердое тело, быстро вращающееся вокруг своей оси симметрии. Основное свойство гироскопа — способность сохранять неизменным направление оси вращения при отсутствии момента внешних сил.}

_{Гироскопы находят широкое применение в технике. Под гироско­пом в технике обычно понимают симметричный волчок, вращающийся таким образом, что центр тяжести его остается неподвижным, а ось вращения его может занимать любое положение в пространстве. Если гироскоп привести во .вращение вокруг его оси при условии, что эта ось будет вначале неподвижной, то в дальнейшем она бу­дет сохранять свое положение в пространстве. Поэтому такой ги­роскоп можно использовать в качестве указателя неизменного направления при движении судов, самолетов, ракет и т.д. В осно­ве устойчивого движения снаряда, мотоцикла также лежит указанное выше свойство гороскопа.}

_{Простейшим гироскопическим прибором является гироскоп в кардановом подвесе, который входит в качестве составной части в большинство существующих гироскопических устройств (рис. 1). В этом гироскопе имеются три оси вращения, они взаимно перпендикулярны и пересекаются в одной точке:}

_{l) ось вращения АА наружного кольца подвеса;}

_{2) ось вращения ББ внутреннего кольца;}

_{ось вращения ВВ ротора гироскопа (ось гироскопа).}

_{Если общий центр тяжести подвижных частей прибора — ротора и двух колец — совпадает с точной пересечения трех осей враще­ния прибора, то такой гироскоп сохраняет равновесие при любом положении его ротора. Тогда гироскоп называется уравновешенным. Равновесие уравновешенного гироскопа в любом положении следует считать безразличным.}

_Д

_{Рис. 1}

остаточно слегка ударить по одному из колец, чтобы прибор вышел из заданного положения и оставался в некотором новом равновесном положении. Никакой устойчивостью гироскоп не обла­дает, если его ротору не сообщено быстрое вращение. Вели же сообщить ротору гироскопа быстрое вращение и затем ударить по одному из кардановых колец, то можно установить, что гиро­скоп приобрел способность сопротивляться действию усилий, стре­мящихся изменить направление его оси. Гироскоп описанного устройства, в котором существуют три оси вращения, называется гироскопом с тремя степенями свободы.

_{Если закрепить наружное кольцо неподвижно, то получится прибор с двумя степенями свободы. Если гироскоп с тремя степенями сво­бода обладает свойством устойчивости при быстром вращении, то гироскоп с двумя степенями свободы лишен этого свойства начисто.}

_{Представив себе для простоты, что ротор гироскопа в виде кольца приведен во вращение вокруг оси ZZ в направлении, указанном стрелками.}

_Т

_{Рис. 2}

огда его момент импульса будет направлен вдоль оси враще­ния вниз (рис. 2). При повороте оси гироскопа в плоскости рисунка на угол  ось займет положение Z1Z1 а гироскоп, свя­занный с осью, перейдет в положение X1YX1Y1. Новый вектор момента импульса будет направлен по Z1Z1. При этом линейные скорости всех точек кольца, кроме точек X и X1 изменяют свое направление. В точках X и X1 скорости лишь смещены параллельно сами себе и векторное изменение скорости V для них равно нулю. Для точек же Y и Y1 изменение скорости будет наибольшим, причем, для точки Y1 — направленным вверх, а для точки Y — будет направлено вниз. Для промежуточных точек кольца изменения скоростей будут лежать в пределах от 0 до ∆V, причем для всех точек половины X1YX1 эти изменения направлены вниз, а для точек половины X1Y1X1 — вверх. Вектор момента импульса при изменении положения оси также получил приращение, направленное в плоскости рисунка от прежнего положения оси к новому положению. Согласно правилу моментов это приращение момента импульса может быть вызвано силами, создающими момент в этом направлении, т.е. чтобы вы­звать эти изменения скоростей точек кольца к оси гироскопа надо приложить пару сил F и F1 лежащих в плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка 2 и направленных в соот­ветствии с правилом о направлении момента сил.

_{Таким образом, если бы ротор не вращался вокруг оси ZZ, то под действием горизонтальных сил F и F1 он начал бы вра­щаться вокруг оси XX. Если ротор вращается вокруг оси ZZ, то те же самые силы F и F1 вызывают равномерное вращение ротора вокруг оси YY1. Этот вывод можно сформулировать в виде общего правила: если приложить к вращающемуся гироскопу пару сил, стремящихся повернуть их вокруг оси XX, перпенди­кулярной к оси вращения гироскопа ZZ, то он будет поворачи­ваться вокруг оси YY1, перпендикулярной к первым двум. В этом заключается так называемый гироскопический эффект.}

_{Для получения числовой зависимости между скоростью враще­ния гироскопа и моментом приложенных к нему сил рассмотрим движение уравновешенного гироскопа. Движение гироскопа опи­сывается уравнением моментов}

_{, где M — момент внешних сил,}

_{L — момент импульса гироскопа.}

_{Дальнейшие выкладки поясняются рис. 3 и 4: расположение гироскопа и обозначение осей те же, что и на рис. 1,}

_{Пусть вначале М = 0, а гироскоп вращается с угловой скоростью , так что L = I=const (I — момент инерции гироскопа относительно оси вращения). Если затем к оси гироскопа приложить вертикальную внешнюю силу P, то возникнет момент сил М, лежащий в горизонтальной плоскости. Обратившись к уравнению (I) и рис. 3 и 4, нетрудно по­нять, что векторы M и L ортогональны друг другу, а вектор dL направлен так же, как M, поэтому сила P не изменяя величины вектора L, заставляет его конец описывать окружность в горизонтальной плоскости. За время dt проекция вектора L на горизонтальную плоскость повернется на угол d, причем как следует из (1) и рис. 3}

_,

_{где  — угол, который вектор L составляет с вертикалью.}

_{Рис.3 Рис.4}

_{Таким образом, угловая скорость  вращения вектора L равна , (2)}

_{или в векторной форме [, L] = M. (2’)}

_{Если ось гироскопа горизонтальна (рис. 4), то вместо (2) получим .}

_{В быстро вращающемся гироскопе направление вектора момента импульса приблизительно совпадает с направлением оси самого гироскопа. Поэтому под действием внешнего момента M ось гироскопа тоже начнет вращаться вокруг вертикальной оси с угло­вой скоростью , описывая в пространстве конус. Поскольку вектор M поворачивается вместе с L таким образом, что их взаимное расположение не меняется со временем, вращение оси гироскопа при постоянной силе P оказывается равномерным. Это вращение называется регулярной прецессией, а величина  — угловой скоростью прецессии.}

_{Можно сформулировать следующее правило прецессии: под дей­ствием сил, приложенных к оси быстро вращающегося гироскопа и направленных перпендикулярно к этой оси, ось гироскопа прецессирует в плоскости, перпендикулярной к направлению оси.}

_{Направление перемещения точки, в которой приложена сила найдется, если повернуть направление силы на 90 вокруг оси гироскопа в ту сторону, в которую вращается вокруг этой оси ротор гироскопа.}

_{Как уже отмечалось выше, приведенные рассуждения справед­ливы лишь для быстро вращающегося гироскопа, т.е. при}

_{ <<  (3)}

_{В этих условиях можно считать, что L = I, где I — момент инерции гироскопа относительно его собственной оси вращения. Тогда}

₍₄₎

_{Скажем несколько слов по поводу неравенства (3). Нетрудно видеть, что вектор полного момента импульса гироскопа при наличии прецессии содержит две компоненты: и ,}

_{где I1 — момент инерции гироскопа относительно его диаметра. Таким образом, вектор полного момента импульса гироскопа L, строго говоря, не совпадает по направлению с вектором угловой скорости  (с осью гироскопа). Этим несовпадением можно, однако, пренебречь при I1 << I. Моменты инерции I и I1 оказываются в нашем случае величинами одного порядка, в этом случае условием применимости формулы (4) является неравенство (3), которое в обычных гироскопах выполняется очень хорошо (величины  и  отличаются друг от друга, по крайней мере, на три порядка).}

_{ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ}

_{В качестве гироскопа применяется мотор 1, развивающий большое число оборотов в минуту. На ось мотора насажен стальной маховик 2. Гироскоп закреплен на дюралевом стержне 3 (рис. 5). Стержень 3 при помощи карданова подвеса 4, стержня 5 и резиновой трубки 6, назначением которой является гашение вибраций, подвешен к кронштейну 7. Горизонтальное положение стержня фиксируется при помощи метки M на стене. На стержне 3 при помощи хомутика может быть подвешен груз 8. Питание мотора осуществляется черва выпрямитель 9.}

_{ИЗМЕРЕНИЯ}

_{Передвигая по стержню 3 груз 8, уравновесьте гироскоп. Определите плечо L0 уравновешенного гироскопа.}

_{Наблюдения с неуравновешенным гироскопом заключаются в том, чтобы из соотношения M = Isin определить I по известным M,  и .}

_В

_{Рис. 5. Схема установки}

нашей работе прецессия гироскопа будет вызываться смещением противовеса вдоль стержня, т.е. момент сил, вызывающий прецессию, будет равен разности моментов, создаваемых противовесом в уравновешенном и неуравновешенном состоянии гироскопа. Этот момент будет равен , (5)

_{где m — масса груза,}

_{g — ускорение свободного падения,}

_{L0 — плечо уравновешенного гироскопа,}

_{L — плечо неуравновешенного гироскопа.}

_{L и L0 находятся с помощью измерительной линейки.}

_{Угловая скорость прецессии  определяется по периоду прецессии. Сместите противовес на несколько сантиметров от положения равновесия. Подайте на мотор напряжение. Пока мотор набирает обороты, гироскоп поддерживайте рукой. Когда мотор наберет максимальные обороты, конец стержня 3 поднимите несколько выше метки на стене и отпустите. Когда острие стержня окажется на одном уровне о меткой, включите секундомер и определите время, в течение которого стержень совершит n = 1 или 2 полных оборота.}

_{Повторите эксперимент 5-6 раз и рассчитайте среднюю угловую скорость прецессии по формуле}

₍₆₎

_{Затем измените момент силы M (передвиньте противовес еще на несколько сантиметров) и вновь повторите эксперимент по определению. Таким образом найдите пять значений  при разных M и одном и том же напряжении, подаваемом на мотор.}

_{Число оборотов мотора в единицу времени (а по нему и угловую скорость вращения ротора) определите с помощью строботахометра. С этой целью на маховик гироскопа наклеена узкая белая полоска. Освещая вращающийся диск светом импульсного источника, мы будем видеть изображение полоски. При совпадении частот импульсного источника и скорости вращения диска мы увидим одно неподвижное изображение полоски. Если частота импульсного источника окажется больше в два-три раза (в n раз) частоты вращения мотора, мы увидим на диске два, три (и т.д.) изображения полоски. Но одно изображение мы будем видеть также, если частота вращения мотора будет больше частоты строботахометра в целое число раз. Тогда одна вспышка источника будет приходиться на два, три и т.д. оборота мотора. Поэтому чтобы однозначно судить о быстроте вращения мотора по показаниям строботахометра, рекомендуем начать наблюдения за изображением полоски с высоких частот строботахометра, когда видны несколько изображений полоски. Уменьшая частоту импульсов строботахометра, мы, наконец, увидим одно неподвижное ее изображение на диске. Это и будет сигналом равенства частот импульсов строботахометра и вращения диска.}

_{Измерения угловой скорости  вращения диска можно проводить дважды: до наблюдения периода прецессии (когда конец стержня (3) еще в руках наблюдателя) и после наблюдения периода прецессии (после совершения стержнем двух оборотов).}

_{Для дальнейших расчетов надо брать среднее арифметическое из этих двух значений .}

_{Данные измерений оформите в виде таблицы (форму таблицы разработайте самостоятельно).}

_{Полагая, что в условиях работы sin  1, из (4) получим}

₍₇₎

_{Постройте график зависимости () = f(M), убедитесь в его линейности и найдите момент инерции I методом наименьших квадратов. Оцените погрешность измерения.}

_{СТРОБОТАХОМЕТР СТ-МЭИ}

_{Основное назначение строботахометра - бесконтактное измерение скоростей вращения валов двигателей и других механизмов. Строботахометр представляет собой весьма ценный прибор. Для того чтобы не вывести его из строя, нужно строго соблюдать указанные}

_{Рис. 6}

_{ниже правила включения.}

_{Устройство строботахометра схематически показано на рис. 6 . Конденсатор С подключен к источнику постоянного напряжения через сопротивление R. Параллельно конденсатору включе­на импульсная газоразрядная лампа А. Напряжение источни­ка недостаточно для ионизации газа в лампе, так что лампа не проводит ток до тех пор, пока на ее поджигающий электрод не будет подано напряжение от генератора поджигающих импульсов.}

_{Но когда газ в лампе ионизирован, лампа продолжает проводить ток и после прекращения поджигающего импульса, возбужденные атомы газа (ксенона) излучают свет. По мере разряда конденсатора С напряжение на лампе постепенно снижается (сопротивление R настолько велико, что практически весь ток через лампу течет за счет разряда конденсатора). Че­рез весьма короткий промежуток времени после начала разряда напряжение падает до такой величины, что уже не может поддерживать ионизацию газа и лампа гаснет.}

_{Затем, пока лампа не горит, конденсатор вновь заряжается до напряжения источника. Следующий поджигающий импульс вновь вызывает вспышку дампы и т.д. Частота. вспышек определяется частотой следования поджигающих импульсов. Она регулируется ручкой "диапазоны" (переключатель на три положения) и ручкой плавной настройки (последняя ручка двойная, допускающая как более грубое, так и более плавное вращение). Отсчет частоты производится по шкале, градуированной в об/мин.}

_{ВКЛЮЧЕНИЕ ПРИБОРА.}

_{Перед включением прибора в сеть надо убедиться, что переключатель, расположенный с левой стороны передней панели, сто­ит в положении "выкл". При включении прибора нужно сначала перевести этот переключатель в положение "сеть", при этом загораются сигнальная лампа и лампа освещения шкалы. Затем прибор должен прогреться не менее 3-х минут. И только после этого можно повернуть переключатель в следующее положение "лампа" (в противном случае лампа выйдет из строя). Держать лампу включенной без надобности не следует, при коротких перерывах в работе нужно переводить переключатель в положение "сеть", а при длительных — выключать прибор.}

_{Контрольные вопросы}

_{1. Что называется гироскопом?}

_{2. Как определить направление момента силы?}

_{3. Что такое прецессия гироскопа? Чем прецессия отличается от нутации?}

_{4. Как изменить скорость прецессии с изменением угловой скорости вращения?}

_{5. При каких условиях можно считать, что вектор момента импульса, мгновенная угловая скорость вращения и ось и ось симметрии совпадают?}

_{6. Чем уравновешивается момент внешних сил при прецессии гироскопа?}

_{ЛИТЕРАТУРА}

1. Сивухин Д.В. Общий курс физики: В 5 т. Т.1. Механика.—М.: Наука,1979.— §§ 33, 49, 50, 51.

2. Хайкин С.Э. Физические основы механики. — М.: Наука, 1971.— §§ 67, 78, 82, 99 - 104.

3. Стрелков С.П. Механика—М.:Наука, 1975.— §§ 53, 54, 66 – 71

4. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности.—М.: Высшая школа, 1986. — § 35.

5. Савельев И.В. Курс общей физики:В 3 т. Т.1.—М.: Наука, 1977.— §§38, 39, 44.