ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №20

ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЛИПСОИДА ИНЕРЦИИ ТВЁРДЫХ ТЕЛ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: проверить формулу, связывающую момент инерции тела с его главными центральными моментами инерции и определить моменты инерции тела относительно различных осей.

ОБОРУДОВАНИЕ: специальная установка, штангенциркуль, эталонные образцы.

Краткая теория

Моментом инерции твёрдого тела называется величина J = ∑r²m, где m — масса в малом элементе объема тела, r — расстояние этого элемента от оси вращения (сумма берётся во всем элементам объёма).

Момент инерции относительно какой-либо оси определяется пространственным распределением массы тела относительно этой оси. Известно, что момент инерции J относительно оси, параллельной оси, проходящей через центр масс, можно представить в виде (теорема Гюйгенса-Штейнера)

J = J₀ + md², (1)

где J₀ — момент инерции тела массы m относительно оси, проходящей через центр масс, а d — расстояние между параллельными осями.

Установим зависимость между величинами моментов инерции тела для осей вращения, пересекающихся в одной точке. Полученная зависимость покажет, что понятие момента инерции сложнее, чем понятие массы. Выведенное уравнение проверяется экспериментально.

Определим момент инерции тела относительно некоторой оси вращения ОА (см. рис. 1). За начало координат выберем произвольную точку, которая находится в теле на этой оси. С осями координат, направление которых выбрано также произвольно, ось вращения составляет углы α, β, γ.

Имеем: J = ∑r²m = ∑m[² - (OB)²] (2)

Рис. 1

Учитывая, что ² = x² + y² + z²

OB = x cos  + y cos  + z cos 

cos ²  + cos ²  + cos ² γ = 1

из уравнения (2) получаем

J = ∑m [(x² + y² + z²)( cos ²  + cos ²  + cos ² γ) –

- (x cos  + y cos  + z cos )²] . (3)

Выполнив преобразования, найдём

J = cos ² ∑m(z² + y² ) + cos ² ∑m(x² + z²) + cos ² γ∑m(x² + y²) –

- 2 cos  cos ∑myz – 2 cos cos∑mxz – 2 cos  cos ∑mxy. (4)

Видно, что момент инерции в общем случае определяется шестью величинами, а не одной, как его аналог — масса. Для различных осей, проходящих через начало координат (разные углы , , ), величина момента инерции будет естественно, различна. Выражения при квадратах косинусов углов представляет собой моменты инерции тела относительно осей координат:

∑m(z²+ y² ) = J_xx

∑m(x²+ z²) = J_yy — осевые моменты инерции

∑m(x² + y²) = J_zz (всегда положительны).

Выражения

∑myz = J_yz = J_zy

∑mzx = J_{z x}= J_xz — называются центробежными моментами

∑mxy = J_xy = J_yx инерции.

Эти величины могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.

Совокупность величин называется тензором инерции относительно точки О.

Величины J_xx, J_yy, J_zz являются диагональными элементами тензора, а остальные — недиагональными.

В нашем случае величины, расположенные симметрично относительно диагонали, равны. Такой тензор называется симметричным.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию изменения величины момента инерции тела.

Введём обозначения.

J_xx = А, J_yy = B, J_zz = C, J_yz = D, J_zx = E, J_xy = F.

Тогда уравнение (4) можно записать в виде

J = Acos²  + Bcos²  + C cos² γ - 2D coscos - 2Ecoscos - - 2F coscos. (5)

Отложим от начала координат по всем осям в произвольном, но в одном масштабе отрезки (см. рис.1) OD=, где J — момент инерции тела относительно данной оси. Концы всех отрезков образуют некоторую поверхность. Найдём уравнение этой поверхности. Координаты конца любого отрезка OD могут написаны в виде

x = OD cos , y = OD cos , z = OD cos 

Это даёт

cos  = x, cos  = y, cos  =z.

Пользуясь этими соотношениями, из уравнения (5) получаем уравнение поверхности в виде

Ax² + By² + Cz² – 2Dyz – 2Ezx – 2Fxy – 1 = 0. (6)

Так отрезки OD всегда конечны, то можно утверждать, что поверхность, описываемая уравнением (6), является поверхностью эллипсоида. Зная эту поверхность, можно всегда определить момент инерции тела относительно любой оси, проходящей через начало координат, т.к. J = 1/(OD)². Эта поверхность называется эллипсоидом инерции относительно точки О, выбранной произвольно. Оси эллипсоида инерции называются главными осями инерции тела в этой точке. В каждой точке тела имеются, следовательно, три взаимно перпендикулярные главные оси инерции.

Из аналитической геометрии известно, что эллипсоид имеет три взаимно перпендикулярные оси. Уравнение эллипсоида, отнесенное к этим осям, имеет более простой вид, оно не содержит членов с произведениями различных координат. Поэтому, принимая главные оси инерции тела (в любой точке) за оси координат, можно положить центробежные моменты равные нулю:

J_xy = J_yz = J_zx = 0

Учитывая, это, из уравнения (5) получаем

J = J_xx cos ²  + J_yy cos ²  + J_zz cos ² γ (7)

В этом случае момент инерции определяется не шестью, а как вектор, тремя величинами. Соответственно, тензор инерции будет иметь вид

О тензоре в этом случае говорят, что он приведен к диагональному виду. Если главные оси проведены через центр масс тела, они называются центральными главными осями, а тензор — центральным тензором. Для однородных симметричных тел главные центральные оси инерции — оси симметрии тела.

Можно убедиться, что общий вид эллипсоида инерции «похож» на форму однородного тела. Например, однородный параллелепипед с ребрами различной длины (форма спичечной коробки) имеет эллипсоид инерции, показанный в разрезе на рисунке 2.

Рис. 2

У тела, обладающего своей симметрией (например, у однородного цилиндра), одной из главных осей инерции является ось симметрии, в качестве двух других осей могут служить две любые взаимно перпендикулярные оси, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оси симметрии и проходящей через центр масс тела. Таким образом, у тела с осевой симметрией фиксирована только одна из главных осей инерции.

У тела с центральной симметрией, т.е. у шара, главными осями инерции являются три любые взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр инерции. Следовательно, ни одна из главных осей инерции не фиксирована.

Если осесимметричное тело имеет две взаимно перпендикулярные главные оси с одинаковыми моментами инерции, то соответствующий эллипсоид инерции будет эллипсоидом вращения. Такой случай мы наблюдаем у стержня с квадратным сечением; из условий симметрии мы заключаем, что два главных направления имеют одинаковые моменты инерции. Из тех же соображений можно установить, что эллипсоид инерции для куба вырождается в сферу.

Одним из наиболее распространенных экспериментальных методов определения инерции твёрдого тела относительно некоторой оси, является измерение периода его крутильных колебаний вокруг своей оси. Момент инерции J и период колебаний T связаны соотношением , (8)

где f — модуль кручения.