Упражнение 1 Изучение одномерной модели турбулентности

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: исследовать на одномерной модели переход от ламинарного движения к турбулентному.

ОБОРУДОВАНИЕ: компьютер с программой lab15.

Краткая теория

Т

урбулентность остается одним из наиболее сложных объектов исследования механики жидкости и газа. За всю историю ее изучения предложены десятки различных подходов, почти всегда отражающих наиболее активно развиваемых перспективных направлений математики и физики своего времени, но теория турбулентности все еще далека от завершения.

Формирование турбулентного потока показано на рис.5(а-д), где приведена картина обтекания жидкостью цилиндрической преграды при различных скоростях обтекания.

а) ламинарное обтекание Re ~1

б) образование пары вихрей Re~20

в) формирование дорожки Кармана Re~100

г) фотография вихревой дорожки в жидкости

д) турбулентный поток Re ~100000

Рис.5(а-д) Формирование турбулентного потока

Характер возникающего за цилиндром потока определяется числом Рейнольдса

где L — диаметр цилиндра;

V — скорость потока;

γ — кинематическая вязкость жидкости (газа).

Когда число Рейнольдса достигает больших значений, в поведении системы появляются черты хаотичности, не связанные с внешними воздействиями. В случае жидкости турбулентность проявляется в исчезновении корреляций между движением отдельных частей. При турбулентности происходит как бы потеря “памяти” о начальных условиях. Это означает, что конечное состояние двух жидкостей, удовлетворяющих тождественным начальным условиям, оказывается совершенно различным, что характерно для нелинейных систем.

Точное описание перехода от ламинарного потока к турбулентному через последовательность все более усложняющихся режимов с периодическим характером изменения параметров потока представляет собой достаточно сложную задачу. Исследование этого явления проводится на простых моделях, допускающих точное решение, и поведение которых качественно напоминает исследуемое явление.

Изучаемая в данной работе упрощенная модель может показаться слишком простой на первый взгляд. Однако она имеет весьма сложную структуру и своим поведением качественно воспроизводит динамику турбулентного потока.

Одномерная модель для такой многомерной системы, какой является турбулентный поток, строится с помощью отображения Пуанкаре. Идея метода Пуанкаре состоит в снижении объема перерабатываемой информации при изучении поведения фазовых траекторий путем рассмотрения лишь дискретного ряда точек на траектории. Рассмотрим рис. 6а. На нем изображено пересечение потоком траекторий некоторой плоскости S.

Рис. 6а. Отображение Пуанкаре

Отображение Пуанкаре ставит в соответствии точке X_i пересечения траекторией плоскости S точку X_i+1, в которой траектория пересекает S при следующем возврате. Таким образом, когда траектория выходит из данной точки X_i секущей плоскости, мы будем следить за траекторией до тех пор, пока она снова не пересечет плоскость S в новой точке.

Рис. 6б. Периодическое движение

Рис. 6в. Двухстадийный цикл

Рис. 6г. Четырехстадийный цикл

Траектория, таким образом, заменяется множеством точек на S, получаемых при последовательных применениях отображения Пуанкаре. При переходе от фазовых траекторий к сечению Пуанкаре происходит снижение размерности исследуемого множества. На рис. 6 (а-г) показаны различные виды периодических траекторий. Если движение не периодично, то траектория пересекает плоскость S каждый раз в новой точке, совокупность которых образует множество L.

Поскольку существенные свойства траектории сохраняются как соответствующие свойства этого множества L, трехмерная непрерывная задача формально сводится к исследованию двумерного отображения. Если L близко к некоторой линии, то двумерную задачу можно свести к одномерной, выбрав в качестве координаты расстояние точек Х_i от некоторой фиксированной точки на линии L.

Таким образом, значение координаты Х_i в i момент времени определяет ее значение в (i+1) момент времени

,

где a — параметр, определяющий динамику системы (аналогичный числу Рейнольдса).

Задача состоит в том, чтобы проследить эволюцию последовательности точек Х_i для i = 0, 1, 2, … . Это означает, что начиная с X₀ следует найтии т.д. Последовательность таких вычислений называетсяитерациями.

Модель, используемая в настоящей работе, описывается итерационной формулой вида , которую мы ранее применяли при рассмотрении динамики популяции насекомых.

Эта формула является примером простейшей нелинейной итерационной схемы, демонстрирующей различные эволюции последовательности {Хi}. Как показал Фейгенбаум, характер процессов, которые описывает эта система, является универсальным для широкого класса нелинейных систем и принят в настоящее время в качестве одного из возможных “сценариев” формирования турбулентности.

В зависимости от значения параметра a последовательность

{Х_i} i = 1, 2, 3, …, ведет себя различным образом:

a) Х_i 0 при i  ∞;

б) Х_i  Х = const при i  ∞;

в) система испытывает ряд бифуркаций.

В последнем случае система последовательно проходит через двух, -четырех, -восьми (а= 3,56) и шестнадцатистадийный (а= 3,569) цикл (см. рис.1). Последовательное удвоение происходит до тех пор, пока не будет достигнуто значениеа= 3,5699, при котором период цикла стремится к бесконечности. Приа→ 4 последовательность изменяется хаотическим образом.

Каждое течение может быть охарактеризовано своей спектральной функцией Р(ω), или энергетическим спектром, дающим представление о распределении кинетической энергии по частотам движений. Для стационарных течений график функции Р(ω) сосредоточен вблизи нулевой частоты. В области периодичности (рис. 5, в) возникают дополнительные пики при частотах, соответствующих как основному периоду колебаний, так и высшим гармоникам, частоты которых являются целыми кратными основной частоте. По мере хаотизации движения наряду с резкими спектральными линиями появляется размазанный по частотам плавный фон. Наконец, совершенно хаотическое движение обладает чисто непрерывным спектром.

Приведем характер зависимости Х_iотiдля некоторых случаев. Дляа= 0,6 (рис. 7) наблюдается релаксация начальногоХ₀≠ 0 к нулевому значению.

Рис. 7. График зависимости X_i = f(i), a = 0,6

В некотором, весьма грубом смысле, можно провести аналогию между таким режимом и ламинарным потоком (см. рис. 5а). Для а = 2,55 (рис.8) последовательность принимает в процессе итерации постоянное ненулевое значение. Поведение системы можно уподобить

ситуации со стационарными вихрями (см. рис. 5б).

Рис. 8. График зависимости X_i = f(i) a = 2,55

П

Рис. 9. Четырехстадийный цикл зависимости Xi = f(i)

ри некотором значенииа(рис.9) система {Х_i} выходит на четырехстадийный цикл, в котором последовательно повторяются четыре значенияХ_i. В некотором смысле поведение системы подобно волнообразному (см. рис. 5в) течению.

Переход к хаотическому характеру изменения {Х_i} связан с неустойчивостью траекторий, что выражается в острой чувствительности системы к начальным значениямХ₀. Для того, чтобы показать это, в программе предусмотрено одновременное вычисление двух последовательностей {Х_i} для одного значенияаи различных начальных значений и = 1.01.

Затем определяется расстояние между последовательностями по формуле

Следовательно, чем больше D при данном а, тем более неустойчиво состояние системы.

Работа с программой.

Работа с программой очень проста. После запуска программы на экране появятся слова: параметры и

Выберите Х₀ (0 < Х₀ <1), наберите его значение на клавиатуре и нажмите Enter.

Внимание! Дробная часть числа отделяется от целой не запятой, а точкой!

Например: 0,521 – неправильно! 0.521 – правильно!

Введите значение а (0 < а <4). По окончании счета на экране появится график Х_i = f(i), график спектра частот, значение D и соответствующие точки на графике X = f(a). Параметр i в данной модели играет роль времени.

Задание

Выберите значение Х₀ и исследуйте поведение модели на всем возможном диапазоне значений параметра а (см. рис.1).

1. Определите, в каком интервале значений а и Х₀ будет наблюдаться релаксация Х₀ ≠ 0 к нулевому значению (модель “ламинарного потока”).

2. Найдите интервал значений а и Х₀, при которых Х_i  Х = const (модель “потока со стационарными вихрями”).

3. Определите, при каких значениях а система проходит через двух- и четырехстадийный циклы (модель “волнообразного движения”).

4. Убедитесь в существовании восьми- и шестнадцатистадийного циклов. Можно ли наблюдать циклы большей кратности?

5. Подтвердите, что при а→4 последовательность изменяется хаотическим образом.

Отчет составьте в произвольной форме, сопроводите его графиками, указав на них значения Х₀, а , D.

Контрольные вопросы

1. Что является областью исследования синергетики?

2. Назовите имена ученых, внесших вклад в развитие синергетики.

3. Какие системы называются диссипативными?

4. Поясните смысл бифуркации.

5. Как связаны между собой информация и энтропия?

6. Что такое параметры порядка?

7. Что является предпосылкой перестройки, разрушения прежней структуры?

8. Что такое фазовое пространство, фазовая траектория?

9. Что такое аттрактор, странный аттрактор?

10. Какой поток жидкости или газа называется ламинарным (турбулентным)?

11. Поясните, как образуется вихрь позади обтекаемого тела?

12. Почему у симметричных тел возникают позади два вихря?

13. Возможно ли хаотическое поведение в динамических системах с малым числом степеней свободы?

14. Для чего в данной работе используется отображение Пуанкаре? В чем оно заключается?

15. В каком случае от двумерной модели можно перейти к одномерной?

16. В чем заключается метод итераций?

17. Какое движение частицы потока представляет собой двух- (четырехстадийный) цикл?

18. Для чего и как рассчитывается в данной работе число D?

Список литературы

1. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир. 1980. 404 с.

2. Фейгенбаум М. И. Универсальность в поведении нелинейных систем//Успехи физических наук.—1983.— Т.141. Вып. 2.— С. 343-374.

3. Каданов Л. П. Физика за рубежом.— М.: Мир, 1985. С.9-32.

4. Бакай А.С., Сигов Ю.С. Многоликая турбулентность // Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур. М.: Наука. 1996. С. 10-94.

   5. Сивухин Д.В. Общий курс физики: В 5 т. Т.1. Механика.—М.: Наука,1979.— §§ 17. С. 471-506

6. Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. М.: Постмаркет. 2001. 189 с.