ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №9

ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ И ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: исследовать затухающие колебания и явление резонанса.

ОБОРУДОВАНИЕ: крутильный подвес; частотомер-хронометр; специальная установка, масштабная линейка, штангенциркуль.

Краткая теория Гармонические и затухающие колебания

По физической природе изменяющейся величины колебательные процессы разделяют на механические, электромагнитные, электромеханические и т.д. Если физическая величина x(t) изменяется со временем по гармоническому закону

, (1)

колебания называют гармоническими. Здесь А — амплитуда колебаний; ₀=2/Т — круговая частота (Т — период); t — время;  — начальная фаза колебаний. Функция x(t) из (1) представляет решение дифференциального уравнения

, (2)

называемого уравнением свободных колебаний. Физический смысл параметров k и m выяснится ниже. Умножение обеих частей уравнения на dx/dt позволяет записать левую часть (2) в виде полной производной:

,

или

. (3)

Соотношение (3) часто называют интегралом энергии.

Физическую систему, выведенную из состояния равновесия и предоставленную самой себе, в которой изменение одного из параметров x описывается дифференциальным уравнением (2) [или, что то же самое, (3)], называют классическим гармоническим осциллятором. Рассмотрим некоторые реализации гармонических осцилляторов.

1. Грузик колеблется без трения под действием упругой силы

пружины (пружинный маятник — рис. 1,а).

Рис. 1 а) б) в) г)

Вертикальное смещение грузика при его движении обозначим x. Колебания пружинного маятника называют малыми, если сила, возникающая при смещении грузика от положения равновесия, пропорциональна его смещению и направлена в сторону положения равновесия. Для пружинного маятника условия малости колебаний удовлетворяются при смещениях, создающих возвращающую силу у пружины в пределах применимости закона Гука. Коэффициентом жесткости k пружины называют отношение силы F, растягивающей пружину, к ее удлинению x, т.е. F = k/x. Уравнение движения пружинного маятника имеет вид

.(4)

Сравнивая с (2), имеем

. (5)

Для пружинного маятника первое слагаемое в левой части (3) есть кинетическая энергия грузика, вторая — его потенциальная энергия, а (3) представляет закон сохранения энергии при малых колебаниях пружинного маятника.

2. Крутильный маятник (рис.1,б) представляет собой диск, закрепленный на толстой упругой проволоке, другой конец которой зажат в неподвижном кронштейне. При повороте тела, закрепленного на упругом подвесе, на достаточно малый угол  происходит закручивание проволоки, под действием сил упругости которой возникает возвращающий момент упругих сил

, (6)

где k— коэффициент кручения, который зависит от свойств подвеса. Предоставленный самому себе, маятник совершает крутильные колебания. Используя уравнение динамики вращательного движения, имеем

(7)

или

, (8)

где J — момент инерции диска. Сумма потенциальной и кинетической энергий при отсутствии сопротивления остается постоянной, и уравнение (3) в этом случае имеет вид

. (9)

Здесь А — максимальный угол отклонения от положения равновесия и слагаемые слева представляют кинетическую и соответственно потенциальную энергии крутильного маятника. Из сравнения (8) и (2) частота и период колебаний крутильного маятника

. (10)

3. Физическим маятником (рис.1, в) называют любое тело, которое способно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс (точка О на рис.1, в). В равновесии центр масс находится на одной вертикали с осью вращения. При отклонении тела на угол  возникает возвращающий момент сил

, (11)

где l₀—расстояние от центра масс до оси вращения. Используем далее уравнение динамики вращательного движения

, (12)

где J — момент инерции данного тела относительно оси вращения. При малых отклонениях от положения равновесия sin   и подстановка (11) в (12) дает

. (13)

Сравнив (13) с (2), получим частоту и период колебаний физического маятника:

. (14)

Отсюда, как частный случай, получается формула для периода колебаний математического маятника (т.е. материальной точки массы m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длины l₀).По определению, момент инерции материальной точки J = ml₀²,тогда

.

4. Примером гармонического осциллятора служит параллельный LC-контур, содержащий катушку индуктивности L и конденсатор С (рис.1, г). В такой цепи можно возбудить электрические колебания, сообщив обкладкам конденсатора некоторый начальный заряд Q₀ либо возбудив в катушке индуктивности ток путем изменения внешнего магнитного поля, пронизывающего витки катушки.

В процессе колебаний периодически изменяются во времени заряд Q и напряжение U_cнаобкладках конденсатора, сила тока I, текущего через индуктивность, и напряжение U_Lна ней. Колебания сопровождаются взаимными превращениями энергии Q²/(2C)электрического поля в конденсаторе и энергии LI²/2 магнитного поля, связанного с индуктивностью.

Для идеального параллельного контура сумма напряжений на емкости U_c = Q/C и на индуктивности U_L = LdI/dt должна быть равна нулю:

. (15)

Изменение заряда dQ на обкладках за время dt соответствует току в контуре I = dQ/dt, поэтому последнее уравнение можно преобразовать к виду

. (16)

Сумма энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки индуктивности — величина постоянная, и интеграл энергии

.(17)

Частота и период электромагнитного осциллятора определяются соотношениями

и . (18)

Параметры всех типов осцилляторов обобщены в таблице 1.

Таблица 1.

Осциллятор	Осциллирующая величина	Обобщенная сила F	Обобщенный коэффициент жесткости k	Обобщенная масса m
Пружинный маятник	Смещение от положения равновесия	Возвращающая сила	Коэффициент жесткости пружины	Масса груза
Крутильный маятник	Угол закручивания	Возвращающий момент сил	Коэффициент кручения	Момент инерции диска
Физический маятник	Угол отклонения	Возвращающий момент силы тяжести	Максимальный момент силы тяжести	Момент инерции тела
Колебательный контур	Заряд на конденсаторе	Напряжение на конденсаторе	Обратная емкость конденсатора	Индуктивность катушки

В реальных осцилляторах происходит рассеяние (диссипация) запасенной энергии, свободные колебания со временем затухают. Строго говоря, затухающие колебания нельзя считать периодическим процессом, так как каждое новое колебание происходит с меньшей амплитудой.

Для учета процесса диссипации энергии (в первом приближении) в дифференциальное уравнение движения обобщенного гармонического осциллятора (2) достаточно ввести слагаемое, пропорциональное скорости изменения осциллирующей величины, характеризующее силу сопротивления движению

. (19)

Здесь r — обобщенный коэффициент сопротивления. Для пружинного маятника r есть коэффициент пропорциональности между силой трения и скоростью, для крутильного и физического маятников — между тормозящим моментом и угловой скоростью, для LC-контура — сопротивление R его цепи.

Решение уравнения (19) имеет вид

, (20)

где  — частота затухающих колебаний;  — постоянная времени затухания. Амплитуда колебаний A(t) = A₀e^-t/уменьшается за время  в e = 2,718… раз (рис. 2).

Рис. 2. График затухающих колебаний

Частота затухающих колебаний(21)

меньше собственной частоты ₀.С увеличением трения времяуменьшается, и при  < 1/₀частотаоказывается мнимой, колебания прекращаются, движение становится апериодическим.

Переход колебательного движения в апериодическое происходит при критическом затухании, когда _кр=1/₀.В этом случаесистема приходит в равновесие быстрее, чем при большем или меньшем затухании.

Энергия колебаний (т.е. максимальные значения потенциальной kA²/2 или кинетической m²A²/2 энергий) изменяется по закону

. (22)

Это соотношение легко получить подстановкой выражения для амплитуды затухающих колебаний в формулу потенциальной энергии, заметив, что есть начальная энергия колебаний. Выражение (22) отражает тот факт, что энергия осциллятора не сохраняется, она расходуется на работу против диссипативных сил и превращается во внутреннюю энергию или затрачивается на излучение. Скорость рассеяния (диссипации) энергии, т.е. мощность потерь, есть —. С другой стороны,

. (23)

Характеристикой качества колебательной системы, ее способности сохранять запасенную энергию служит добротностьQ^*,определяемая как отношение запасенной энергии к потерям за время T/(2) = 1/:

. (24)

Используя выражение для мощности потерь, имеем

. (25)

Таким образом, добротность равна числу колебаний за время. За это время амплитуда уменьшается в раза, а энергия враз.

Коэффициент    носит название коэффициента затухания колебаний. На практике затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания

. (26)

Таблица 2.

Осциллятор	Обобщенный коэффициент сопротивления r	Коэффициент затухания 	Критический коэффициент сопротивления rкр	Собственная частота колебаний 0	Постоянная времени затухания 
Пружинный маятник
Крутильный маятник
Физический маятник
Колебательный контур

При малых декрементах затухания колебаний ( << 1), т.е. при большой добротности гармонического осциллятора и по (25) добротность=.

Параметры r, , r_кри r для рассмотренных выше осцилляторов приведены в таблице 2.